已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且

(1) 记 $b_n=a_{2n}$，写出 $b_1$，$b_2$，并求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 求 $\{a_n\}$ 的前 $20$ 项和.

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 $20$ 分，否则得 $0$ 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 $80$ 分，否则得 $0$ 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 $0.8$，能正确回答 B 类问题的概率为 $0.6$，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1) 若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$. 已知 $b^2=ac$，点 $D$ 在边 $AC$ 上，且 $BD\sin\angle ABC=a\sin C$.

(1) 证明：$BD=b$； (2) 若 $AD=2DC$，求 $\cos\angle ABC$.

如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$，$AB=AD$，$O$ 为 $BD$ 的中点.

(1) 证明：$OA\perp CD$； (2) 若 $\triangle OCD$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $E$ 在棱 $AD$ 上，$DE=2EA$，且二面角 $E-BC-D$ 的大小为 $45^\circ$，求三棱锥 $A-BCD$ 的体积.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1(-\sqrt{17},0)$，$F_2(\sqrt{17},0)$，满足 $|MF_1|-|MF_2|=2$ 的点 $M$ 的轨迹为 $C$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点和 $P$，$Q$ 两点，且 $TA\cdot TB=TP\cdot TQ$，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和.

已知函数 $f(x)=x\left( 1-\ln x \right)$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 设 $a$，$b$ 为两个不相等的正数，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，证明 $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$.