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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣x2−5x+6>0}A=\{x\mid x^2-5x+6>0\}，B={x∣x−1<0}B=\{x\mid x-1<0\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
(−∞,1)(-\infty,1)
B.
(−2,1)(-2,1)
C.
(−3,−1)(-3,-1)
D.
(3,+∞)(3,+\infty)

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=−3+2iz=-3+2\mathrm{i}，则在复平面内 zz 的共轭复数对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知 AB→=(2,3)\overrightarrow{AB}=(2,3)，AC→=(3,t)\overrightarrow{AC}=(3,t)，∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}|=1，则 AB→⋅BC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
22
D.
33

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2L_2 点的轨道运行. L2L_2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 M1M_1，月球质量为 M2M_2，地月距离为 RR，L2L_2 点到月球的距离为 rr，根据牛顿运动定律和万有引力定律，rr 满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3\dfrac{M_1}{(R+r)^2}+\dfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\dfrac{M_1}{R^3}.
设 α=rR\alpha=\dfrac rR. 由于 α\alpha 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3\dfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3，则 rr 的近似值为（ ）
A.
RM2M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}
B.
RM22M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_1}}
C.
R3M2M13R\sqrt[3]{\dfrac{3M_2}{M_1}}
D.
RM23M13R\sqrt[3]{\dfrac{M_2}{3M_1}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
演讲比赛共有 99 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 99 个原始评分中去掉 11 个最高分，11 个最低分，得到 77 个有效评分. 77 个有效评分与 99 个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A.
中位数
B.
平均数
C.
方差
D.
极差

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若 a>ba>b，则（ ）
A.
ln⁡(a−b)>0\ln(a-b)>0
B.
3a<3b3^a<3^b
C.
a3−b3>0a^3-b^3>0
D.
∣a∣>∣b∣|a|>|b|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
设 α\alpha，β\beta 为两个平面，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的充要条件是（ ）
A.
α\alpha 内有无数条直线与 β\beta 平行
B.
α\alpha 内有两条相交直线与 β\beta 平行
C.
α\alpha，β\beta 平行于同一条直线
D.
α\alpha，β\beta 垂直于同一平面

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点是椭圆 x23p+y2p=1\dfrac{x^2}{3p}+\dfrac{y^2}{p}=1 的一个焦点，则 p=p=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
88

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
下列函数中，以 π2\dfrac{\pi}{2} 为周期且在区间 (π4,π2)\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增的是（ ）
A.
f(x)=∣cos⁡2x∣f(x)=|\cos 2x|
B.
f(x)=∣sin⁡2x∣f(x)=|\sin 2x|
C.
f(x)=cos⁡∣x∣f(x)=\cos|x|
D.
f(x)=sin⁡∣x∣f(x)=\sin|x|

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10三角函数★★★☆☆
已知 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)，2sin⁡2α=cos⁡2α+12\sin2\alpha=\cos2\alpha+1，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
15\dfrac15
B.
55\dfrac{\sqrt5}{5}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
255\dfrac{2\sqrt5}{5}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，满足 f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x)，且当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=x(x−1)f(x)=x(x-1). 若对任意 x∈(−∞,m]x\in(-\infty,m]，都有 f(x)≥−89f(x)\ge -\dfrac89，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,94](-\infty,\dfrac94]
B.
(−∞,73](-\infty,\dfrac73]
C.
(−∞,52](-\infty,\dfrac52]
D.
(−∞,83](-\infty,\dfrac83]

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13概率与统计★☆☆☆☆
我国高铁发展迅速，技术先进. 经统计，在经停某站的高铁列车中，有 1010 个车次的正点率为 0.970.97，有 2020 个车次的正点率为 0.980.98，有 1010 个车次的正点率为 0.990.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，且当 x<0x<0 时，f(x)=−eaxf(x)=-\mathrm{e}^{ax}. 若 f(ln⁡2)=8f(\ln2)=8，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}

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15三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 b=6b=6，a=2ca=2c，B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥平面EB1C1BE\perp \text{平面} EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，求二面角 B−EC−C1B-EC-C_1 的正弦值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 11 分，当某局打成 10:1010:10 平后，每球交换发球权，先多得 22 分的一方获胜，该局比赛结束. 甲，乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.50.5，乙发球时甲得分的概率为 0.40.4，各球的结果相互独立. 在某局双方 10:1010:10 平后，甲先发球，两人又打了 XX 个球该局比赛结束.
(1) 求 P(X=2)P(X=2)； (2) 求事件“X=4X=4 且甲获胜”的概率.

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，OO 为极点，点 M(ρ0,θ0)M(\rho_0,\theta_0)（ρ0>0\rho_0>0）在曲线 C:ρ=4sin⁡θC:\rho=4\sin\theta 上，直线 ll 过点 A(4,0)A(4,0) 且与 OMOM 垂直，垂足为 PP.
(1) 当 θ0=π3\theta_0=\dfrac{\pi}{3} 时，求 ρ0\rho_0 及 ll 的极坐标方程； (2) 当 MM 在 CC 上运动且 PP 在线段 OMOM 上时，求 PP 点轨迹的极坐标方程.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x>−1}A=\{x\mid x>-1\}，B={x∣x<2}B=\{x\mid x<2\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
B.
(−∞,2)(-\infty,2)
C.
(−1,2)(-1,2)
D.
∅\varnothing

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=i(2+i)z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})，则 z‾=\overline z=（ ）
A.
1+2i1+2\mathrm{i}
B.
−1+2i-1+2\mathrm{i}
C.
1−2i1-2\mathrm{i}
D.
−1−2i-1-2\mathrm{i}

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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