已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4$.

(1) 证明：$a_1=b_1$； (2) 求集合 $\{k\mid b_k=a_m+a_1,\ 1\le m\le 500\}$ 中元素个数.

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，分别以 $a$，$b$，$c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_1$，$S_2$，$S_3$. 已知 $S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt3}{2}$，$\sin B=\frac13$.

(1) 求 $\triangle ABC$ 的面积； (2) 若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt2}{3}$，求 $b$.

在某地区进行流行病学调查，随机调查了 $100$ 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[20,70)$ 的概率； (3) 已知该地区这种疾病的患病率为 $0.1\%$，该地区年龄位于区间 $[40,50)$ 的人口占该地区总人口的 $16\%$. 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40,50)$，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 $0.0001$）.

如图，$PO$ 是三棱锥 $P-ABC$ 的高，$PA=PB$，$AB\perp AC$，$E$ 是 $PB$ 的中点.

(1) 证明：$OE\parallel\text{平面 }PAC$； (2) 若 $\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$，$PO=3$，$PA=5$，求二面角 $C-AE-B$ 的正弦值.

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$） 的右焦点为 $F(2,0)$，渐近线方程为 $y=\pm \sqrt3 x$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A$，$B$ 两点，点 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上，且 $x_1>x_2>0$，$y_1>0$. 过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt3$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt3$ 的直线交于点 $M$. 从下面 $\circled{1}$，$\circled{2}$，$\circled{3}$ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

① $M$ 在 $AB$ 上； ② $PQ\parallel AB$； ③ $|MA|=|MB|$.

已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x$.

(1) 当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围； (3) 设 $n\in \mathbf{N}^*$，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1)$.