记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin A+\sqrt3\cos A=2$.

(1) 求 $A$； (2) 若 $a=2$，$\sqrt2 b\sin C=c\sin 2B$，求 $\triangle ABC$ 的周长.

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3$.

(1) 当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0，求 $a$ 的取值范围.

如图，平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$CD=3$，$AD=5\sqrt3$，$\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAD=30^\circ$，点 $E$，$F$ 满足 $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 对折至 $\triangle PEF$，使得 $PC=4\sqrt3$.

(1) 证明：$EF\perp PD$； (2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成二面角的正弦值.

某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3\text{ 次}$，若 $3\text{ 次}$都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 $0\text{ 分}$；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 $3\text{ 次}$，每次投中得 $5\text{ 分}$，未投中得 $0\text{ 分}$，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲，乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$，乙每次投中的概率为 $q$，各次投中与否相互独立.

(1) 若 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率； (2) 假设 $0<p<q$，

(i) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

已知双曲线 $C:x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n$（$n=2$，$3$，$\dots$）：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $(x_n,y_n)$.

(1) 若 $k=\frac12$，求 $x_2$，$y_2$； (2) 证明：数列 $\{x_n-y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列； (3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$.