在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $Ox$ 为始边, 它们的终边关于原点对称。若 $2\alpha \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, 则 $\cos \beta$ 的最大值为 ______。