已知函数 $f(x) = \cos(2x + \varphi)$ ($0 \le \varphi < \pi$), $f(0) = \frac{1}{2}$。

(1) 求 $\varphi$;

(2) 设函数 $g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$, 求 $g(x)$ 的值域和单调区间。