若 $z \in \mathbf{C}$，$(3 + z)\mathrm{i} = 1$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z =$______.

\begin{answer} $-3-\mathrm{i}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $\mathrm{i}^2=-1$，且 $\mathrm{i}\ne0$，原式两边同除以 $\mathrm{i}$，得 $3+z=\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，所以 $z=-3-\mathrm{i}$. \end{solution}

已知向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^\circ$，且 $|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 5$，则 $(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} =$______.

\begin{answer} $13$ \end{answer}

\begin{solution} 由向量数量积公式，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\cos120^\circ=2\times5\times\left(-\frac12\right)=-5$. 因此 $(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=2|\boldsymbol{a}|^2-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=2\times2^2-(-5)=13$. \end{solution}

如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设复数 $z=x+y\mathrm{i}$，则 $|z|\leqslant1$ 表示点 $(x,y)$ 在单位圆及其内部，$\operatorname{Im}z=y$. 图中的阴影部分位于直线 $y=\frac12$ 的上方，并且包含边界，因此还需满足 $\operatorname{Im}z\geqslant\frac12$. 所以阴影部分对应的集合为 故选 D. \end{solution}