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01复数★☆☆☆☆
若 z∈Cz \in \mathbf{C}，(3+z)i=1(3 + z)\mathrm{i} = 1（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z=z =______.
\begin{answer} −3−i-3-\mathrm{i} \end{answer}
\begin{solution} 由 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，且 i≠0\mathrm{i}\ne0，原式两边同除以 i\mathrm{i}，得 3+z=1i=−i3+z=\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}，所以 z=−3−iz=-3-\mathrm{i}. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^\circ，且 ∣a∣=2|\boldsymbol{a}| = 2，∣b∣=5|\boldsymbol{b}| = 5，则 (2a−b)⋅a=(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} =______.
\begin{answer} 1313 \end{answer}
\begin{solution} 由向量数量积公式，a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡120∘=2×5×(−12)=−5\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\cos120^\circ=2\times5\times\left(-\frac12\right)=-5. 因此 (2a−b)⋅a=2∣a∣2−b⋅a=2×22−(−5)=13(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=2|\boldsymbol{a}|^2-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=2\times2^2-(-5)=13. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡3(1−2×3x)=2x+1\log_{3}(1 - 2\times 3^{x}) = 2x + 1 的解 x=x =______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 由对数的真数为正，得 1−2×3x>01-2\times3^x>0. 令 u=3xu=3^x，则 u>0u>0，且原方程化为 log⁡3(1−2u)=2x+1\log_3(1-2u)=2x+1，从而 1−2u=32x+1=3u21-2u=3^{2x+1}=3u^2. 因此 3u2+2u−1=03u^2+2u-1=0，即 (3u−1)(u+1)=0(3u-1)(u+1)=0. 因为 u>0u>0，所以 u=13u=\frac13，故 x=−1x=-1. 此时真数为 1−2×13=13>01-2\times\frac13=\frac13>0，满足定义域，故解为 x=−1x=-1. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱锥的底面边长为 23 cm2\sqrt{3}\mathrm{~cm}，体积为 4 cm34\mathrm{~cm}^{3}，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______.
\begin{answer} 30∘30^\circ \end{answer}
\begin{solution} 设正四棱锥的高为 hh，底面中心为 OO，取一条底面棱的中点 MM，设棱锥顶点为 SS. 底面正方形的面积为 (23)2=12(2\sqrt{3})^2=12，由体积公式 13×12h=4\frac13\times12h=4，得 h=SO=1h=SO=1. 又 OMOM 是正方形的内切半径，所以 OM=3OM=\sqrt{3}. 过 MM 作底面棱的垂线，得到侧面与底面的二面角的平面角 ∠SMO\angle SMO. 在直角三角形 SOMSOM 中，tan⁡∠SMO=SOOM=13\tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\frac1{\sqrt3}，故二面角为 30∘30^\circ. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (1+3x)n(1 + 3x)^{n} 和 (2x+5)n(2x + 5)^{n} 的展开式中，各项系数之和分别记为 ana_{n}，bnb_{n}，nn 是正整数，则 lim⁡n→∞an−2bn3an−4bn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 x=1x=1，二项式 (1+3x)n(1+3x)^n 和 (2x+5)n(2x+5)^n 的各项系数之和分别为 an=4na_n=4^n，bn=7nb_n=7^n. 因而
an−2bn3an−4bn=(47)n−23(47)n−4\frac{a_n-2b_n}{3a_n-4b_n}=\frac{(\frac{4}{7})^n-2}{3(\frac{4}{7})^n-4}
由于 0<47<10<\frac47<1，有 (47)n→0\left(\frac47\right)^n\to0，所以原极限为 −2−4=12\frac{-2}{-4}=\frac12. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 (x+1)2+y2=1(x + 1)^2 + y^2 = 1 和圆外一点 P(0,2)P(0,2)，过点 PP 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______.
\begin{answer} 43\frac{4}{3} \end{answer}
\begin{solution} 圆心为 C0(−1,0)C_0(-1,0)，半径为 11. 过 P(0,2)P(0,2) 的非竖直直线可设为 y−2=mxy-2=m x. 它与圆相切当且仅当圆心到直线的距离等于半径，即
∣2−m∣m2+1=1\frac{|2-m|}{\sqrt{m^2+1}}=1
平方并化简得 (2−m)2=m2+1(2-m)^2=m^2+1，所以 m=34m=\frac34. 另一条切线为竖直直线 x=0x=0，它与圆在 (0,0)(0,0) 相切. 设两切线的夹角为 φ\varphi，则斜率为 34\frac34 的直线与竖直线的夹角满足 tan⁡φ=134=43\tan\varphi=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac43，故正切值为 43\frac43. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 99 名增至 1414 名，但只任取其中 77 名裁判的评分作为有效分，若 1414 名裁判中有 22 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是______. （结果用数值表示）
\begin{answer} 313\frac{3}{13} \end{answer}
\begin{solution} 从 1414 名裁判中任取 77 名作为有效评分，共有 C147\mathrm C_{14}^{7} 种等可能结果. 若有效分中没有受贿裁判，则必须从 1212 名未受贿裁判中任取 77 名，共有 C127\mathrm C_{12}^{7} 种结果. 所求概率为
C127C147=12!7!5!7!7!14!=313\frac{\mathrm C_{12}^{7}}{\mathrm C_{14}^{7}}=\frac{12!}{7!5!}\frac{7!7!}{14!}=\frac{3}{13}
\end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★★☆☆☆
曲线
{x=t2−1,y=2t+1,\begin{cases} x = t^2 - 1,\\ y = 2t + 1, \end{cases}
（tt 为参数）的焦点坐标是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}
\begin{solution} 由参数方程 y=2t+1y=2t+1 得 t=y−12t=\frac{y-1}{2}，代入 x=t2−1x=t^2-1，得
x=(y−1)24−1x=\frac{(y-1)^2}{4}-1
即
(y−1)2=4(x+1)(y-1)^2=4(x+1)
这是顶点为 (−1,1)(-1,1)、焦参数为 11 的抛物线，焦点坐标为 (−1+1,1)=(0,1)(-1+1,1)=(0,1). \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
若 AA，BB 两点的极坐标 A(4,π3)A\left(4, \frac{\pi}{3}\right)，B(6,0)B(6,0)，则 ABAB 中点的极坐标是______.
\begin{answer} (19,arctan⁡34)\left(\sqrt{19},\arctan\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \end{answer}
\begin{solution} 将极坐标化为直角坐标，得 A(4cos⁡π3,4sin⁡π3)=(2,23)A\left(4\cos\frac{\pi}{3},4\sin\frac{\pi}{3}\right)=(2,2\sqrt{3})，B(6,0)B(6,0). 因此 ABAB 的中点为
M(2+62,23+02)=(4,3)M\left(\frac{2+6}{2},\frac{2\sqrt{3}+0}{2}\right)=(4,\sqrt{3})
点 MM 在第一象限，所以其极径为 r=42+(3)2=19r=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{19}，极角满足 tan⁡θ=34\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}4，从而
θ=arctan⁡34\theta=\arctan\frac{\sqrt{3}}4
故中点的极坐标为 (19,arctan⁡34)\left(\sqrt{19},\arctan\frac{\sqrt{3}}4\right). \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，若 f(x+t)f(x + t) 是偶函数，则 tt 的一个可能值是______.
\begin{answer} π4\frac{\pi}{4} \end{answer}
\begin{solution} 令 g(x)=f(x+t)=sin⁡(2x+2t)g(x)=f(x+t)=\sin(2x+2t). 利用和角公式，得
g(x)=sin⁡2xcos⁡2t+cos⁡2xsin⁡2tg(x)=\sin2x\cos2t+\cos2x\sin2t
而
g(−x)=−sin⁡2xcos⁡2t+cos⁡2xsin⁡2tg(-x)=-\sin2x\cos2t+\cos2x\sin2t
要使 g(x)g(x) 为偶函数，必须对任意 xx 有 g(x)=g(−x)g(x)=g(-x)，于是
2sin⁡2xcos⁡2t=02\sin2x\cos2t=0
该等式对任意 xx 成立，当且仅当 cos⁡2t=0\cos2t=0，即 2t=π2+kπ2t=\frac{\pi}{2}+k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因而 t=π4+kπ2t=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}，取 k=0k=0，得到一个可能值 t=π4t=\frac{\pi}{4}. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=3a_{1} = 3，且 an+1=an2a_{n+1} = a_{n}^{2}（nn 是正整数），则数列的通项 an=a_{n} =______.
\begin{answer} 32n−13^{2^{n-1}} \end{answer}
\begin{solution} 由 a1=3a_1=3，有 a1=320a_1=3^{2^0}. 若对某个正整数 nn 有 an=32n−1a_n=3^{2^{n-1}}，则
an+1=an2=(32n−1)2=32na_{n+1}=a_n^2=\left(3^{2^{n-1}}\right)^2=3^{2^n}
因此由数学归纳法，对任意正整数 nn，数列的通项为 an=32n−1a_n=3^{2^{n-1}}. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（定义域为 DD，值域为 AA）有反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，则方程 f(x)=0f(x) = 0 有解 x=ax = a，且 f(x)>xf(x) > x（x∈Dx \in D）的充要条件是 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 满足______.
\begin{answer} f−1(0)=af^{-1}(0)=a，且 f−1(x)<xf^{-1}(x)<x（x∈Ax\in A） \end{answer}
\begin{solution} 由方程 f(x)=0f(x)=0 有解 x=ax=a，可知 f(a)=0f(a)=0. 因为 ff 有反函数，故 0∈A0\in A，且对等式两边作用 f−1f^{-1}，得 f−1(0)=af^{-1}(0)=a.
再设 x∈Dx\in D，令 y=f(x)y=f(x)，则 y∈Ay\in A，并且
f(x)>x⟺y>x⟺f−1(y)=x<yf(x)>x\Longleftrightarrow y>x\Longleftrightarrow f^{-1}(y)=x<y
所以 f(x)>xf(x)>x 对任意 x∈Dx\in D 成立，当且仅当 f−1(y)<yf^{-1}(y)<y 对任意 y∈Ay\in A 成立. 将 yy 改记为 xx，所求条件为 f−1(x)<xf^{-1}(x)<x（x∈Ax\in A）. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13复数★☆☆☆☆
如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设复数 z=x+yiz=x+y\mathrm{i}，则 ∣z∣⩽1|z|\leqslant1 表示点 (x,y)(x,y) 在单位圆及其内部，Im⁡z=y\operatorname{Im}z=y. 图中的阴影部分位于直线 y=12y=\frac12 的上方，并且包含边界，因此还需满足 Im⁡z⩾12\operatorname{Im}z\geqslant\frac12. 所以阴影部分对应的集合为
{z∣∣z∣⩽1, Im⁡z⩾12, z∈C}\left\{z\mid |z|\leqslant1,\ \operatorname{Im}z\geqslant\frac12,\ z\in\mathbf C\right\}
故选 D. \end{solution}
A.
{z∣∣z∣=1,π6⩽arg⁡z⩽5π6,z∈C}\left\{z \mid |z| = 1, \frac{\pi}{6} \leqslant \arg z \leqslant \frac{5\pi}{6}, z \in \mathbf{C}\right\}
B.
{z∣∣z∣⩽1,π6⩽arg⁡z⩽5π6,z∈C}\left\{z \mid |z| \leqslant 1, \frac{\pi}{6} \leqslant \arg z \leqslant \frac{5\pi}{6}, z \in \mathbf{C}\right\}
C.
{z∣∣z∣=1,Im⁡z⩾12,z∈C}\left\{z \mid |z| = 1, \operatorname{Im} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}
D.
{z∣∣z∣⩽1,Im⁡z⩾12,z∈C}\left\{z \mid |z| \leqslant 1, \operatorname{Im} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}

2002 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知直线 ll，mm，平面 α\alpha，β\beta，且 l⊥αl \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，给出下列四个命题.
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，l⊥ml \perp m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l∥ml \parallel m，α⊥β\alpha \perp \beta.
其中正确命题的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 第一项中，若 α∥β\alpha\parallel\beta，且 l⊥αl\perp\alpha，则 l⊥βl\perp\beta，从而 l⊥ml\perp m，所以该命题正确.
第二项不能由 l⊥ml\perp m 推出 α∥β\alpha\parallel\beta. 例如取 α⊥β\alpha\perp\beta，则垂直于 α\alpha 的直线 ll 的方向在平面 β\beta 内；再在 β\beta 内取一条与 ll 垂直的直线 mm，此时 l⊥ml\perp m，但 α\alpha 与 β\beta 不平行，所以该命题错误.
第三项即使 α⊥β\alpha\perp\beta，平面 β\beta 内也有许多方向不同的直线，不一定都有与 ll 相同的方向，因此不能推出 l∥ml\parallel m，该命题错误.
第四项若 l∥ml\parallel m，由 l⊥αl\perp\alpha 可得 m⊥αm\perp\alpha. 又因为 m⊂βm\subset\beta，平面 β\beta 经过一条垂直于平面 α\alpha 的直线，所以 β⊥α\beta\perp\alpha，即 α⊥β\alpha\perp\beta，该命题正确.
因此正确命题有 22 个，故选 B. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2002 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x+sin⁡∣x∣y = x + \sin |x|，x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi] 的大致图象是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 当 −π⩽x⩽0-\pi\leqslant x\leqslant0 时，∣x∣=−x|x|=-x，所以
f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x
当 0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant\pi 时，∣x∣=x|x|=x，所以
f(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin x
在左半段，f′(x)=1−cos⁡x⩾0f'(x)=1-\cos x\geqslant0，且 f′′(x)=sin⁡x⩽0f''(x)=\sin x\leqslant0；在右半段，f′(x)=1+cos⁡x⩾0f'(x)=1+\cos x\geqslant0，且 f′′(x)=−sin⁡x⩽0f''(x)=-\sin x\leqslant0. 因而函数在整个区间上单调增加，两段图象均向下弯曲.
又 f(−π)=−πf(-\pi)=-\pi，f(0)=0f(0)=0，f(π)=πf(\pi)=\pi，且在 x=0x=0 处左导数为 00、右导数为 22，图象在原点处有折点. 这些特征与选项 C 的图象一致，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2002 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（∘C^{\circ}\mathrm{C}）有一定的关系. 图（1）表示某年 1212 个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年 1212 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 比较两幅柱状图可知，气温最高的月份与用电量最多的月份并不相同，所以“气温最高时，用电量最多”不正确；气温最低的月份用电量也不是最少，所以“气温最低时，用电量最少”不正确.
在高温段，例如气温从约 27 ∘C27\,^{\circ}\mathrm{C} 升高到约 28 ∘C28\,^{\circ}\mathrm{C} 时，用电量也从约 110 千瓦时110\text{ 千瓦时} 增加到约 120 千瓦时120\text{ 千瓦时}，因此存在某个温度值，使气温大于该值时，用电量随气温增高而增加. 低温段的柱高不能支持“气温降低时用电量增加”的说法，所以第四项不正确.
故选 C. \end{solution}
A.
气温最高时，用电量最多
B.
气温最低时，用电量最少
C.
当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.
当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

2002 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABO−A′B′O′ABO - A'B'O' 中，OO′=4OO' = 4，OA=4OA = 4，OB=3OB = 3，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ，DD 是线段 A′B′A'B' 的中点，PP 是侧棱 BB′BB' 上的一点，若 OP⊥BDOP \perp BD，求 OPOP 与底面 AOBAOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2002 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
已知点 A(−3,0)A(-\sqrt{3},0) 和 B(3,0)B(\sqrt{3},0)，动点 CC 到 AA，BB 两点的距离之差的绝对值为 22，点 CC 的轨迹与直线 y=x−2y = x - 2 交于 DD，EE 两点，求线段 DEDE 的长.

2002 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2x⋅tan⁡θ−1f(x) = x^2 + 2x \cdot \tan \theta - 1，x∈[−1,3]x \in [-1, \sqrt{3}]，其中 θ∈(−π2,π2)\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 当 θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6} 时，求函数 y=f(x)y = f(x) 的最大值与最小值. (2) 求实数 θ\theta 的取值范围，使 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−1,3][-1, \sqrt{3}] 上是单调函数.

2002 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%80\% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元400\text{ 元} 的商品，则消费金额为 320 元320\text{ 元}. 获得的优惠额为：400×0.2+30=110 元400 \times 0.2 + 30 = 110\text{ 元}，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价\dfrac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}，试问：
(1) 若购买一件标价为 1000 元1000\text{ 元} 的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2) 对于标价在 [500,800] 元[500,800]\text{ 元} 内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 13\dfrac{1}{3} 的优惠率？

2002 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知函数 f(x)=a×bxf(x) = a \times b^x 的图象过点 A(4,14)A\left(4, \frac{1}{4}\right) 和 B(5,1)B(5,1).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 记 an=log⁡2f(n)a_{n} = \log_{2}f(n)，nn 是正整数，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，解关于 nn 的不等式 anSn⩽0a_{n}S_{n} \leqslant 0； (3) 对于（2）中的 ana_{n} 与 SnS_{n}，整数 10410^{4} 是否为数列 {anSn}\{a_{n}S_{n}\} 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

2002 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
规定 Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数，且 Cx0=1\mathrm C_{x}^{0} = 1，这是组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m}（nn，mm 是正整数，且 m⩽nm \leqslant n）的一种推广.
(1) 求 C−155\mathrm C_{-15}^{5} 的值. (2) 组合数的两个性质：
① Cnm=Cnn−m\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}； ② Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}.
是否都能推广到 Cxm\mathrm C_{x}^{m}（x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3) 已知组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m} 是正整数，证明：当 x∈Zx \in \mathbf{Z}，mm 是正整数时，Cxm∈Z\mathrm C_{x}^{m} \in \mathbf{Z}.

2002 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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