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01三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x) = \sin x\cos x 的最小值是（ ）
\begin{solution} 由二倍角公式，f(x)=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2xf(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.因为−1⩽sin⁡2x⩽1-1\leqslant\sin 2x\leqslant1，所以 f(x)⩾−12f(x)\geqslant-\frac{1}{2}，且当sin⁡2x=−1\sin 2x=-1时取等号.因此最小值为−12-\frac{1}{2}，选 B. \end{solution}
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2009 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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03数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S3=6S_{3} = 6，a1=4a_{1} = 4，则公差 dd 等于（ ）
\begin{solution} 等差数列前三项为a1=4a_1=4，a2=4+da_2=4+d，a3=4+2da_3=4+2d.由题设
S3=a1+a2+a3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6S_3=a_1+a_2+a_3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6
解得唯一公差d=−2d=-2. 回代得前三项为44，22，00，其和为66，满足题设. 选项 A、B、C、D 分别为11，53\frac{5}{3}，22，33，均不等于−2-2，故四个选项均不正确. \end{solution}
A.
11
B.
53\frac{5}{3}
C.
22
D.
33

2009 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 多选题

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04导数及其应用★☆☆☆☆
∫−π2π2(1+cos⁡x)dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos x)\mathrm{d}x 等于（ ）
\begin{solution} 由原函数的一个原函数可得
∫−π2π2(1+cos⁡x)dx=x+sin⁡x∣−π2π2=(π2+1)−(−π2−1)=π+2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)\mathrm{d}x =\left.x+\sin x\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\left(\frac{\pi}{2}+1\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi+2
因此选 D. \end{solution}
A.
π\pi
B.
22
C.
π−2\pi - 2
D.
π+2\pi + 2

2009 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 中，满足“对任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，都有 f(x1)>f(x2)f(x_{1}) > f(x_{2})”的是（ ）
\begin{solution} 当x>0x>0时，f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}的导数为f′(x)=−1x2<0f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0，所以它在(0,+∞)(0,+\infty)上严格递减，满足题设. f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2在(0,1)(0,1)上递减、在(1,+∞)(1,+\infty)上递增；f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x和f(x)=ln⁡(x+1)f(x)=\ln(x+1)的导数分别为ex>0\mathrm{e}^x>0和1x+1>0\frac{1}{x+1}>0，均严格递增.因此选 A. \end{solution}
A.
f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}
B.
f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^{2}
C.
f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}
D.
f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln (x + 1)

2009 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
若 21−i=a+bi\frac{2}{1 - \mathrm{i}} = a + b\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位，aa，b∈Rb\in\mathbf{R}），则 a+b=a+b=______.
\begin{solution} 分母有理化得
21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i\frac{2}{1-\mathrm{i}}=\frac{2(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2(1+\mathrm{i})}{2}=1+\mathrm{i}
所以a=1a=1，b=1b=1，从而a+b=2a+b=2. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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