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01三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x) = \sin x\cos x 的最小值是（ ）
\begin{solution} 由二倍角公式，f(x)=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2xf(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.因为−1⩽sin⁡2x⩽1-1\leqslant\sin 2x\leqslant1，所以 f(x)⩾−12f(x)\geqslant-\frac{1}{2}，且当sin⁡2x=−1\sin 2x=-1时取等号.因此最小值为−12-\frac{1}{2}，选 B. \end{solution}
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2009 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 A={x∣x2−2x>0}A = \{x \mid x^2 - 2x > 0\}，则 ∁UA\complement_U A 等于（ ）
\begin{solution} 由x2−2x=x(x−2)>0x^2-2x=x(x-2)>0，得x<0x<0或x>2x>2，所以 A=(−∞,0)∪(2,+∞)A=(-\infty,0)\cup(2,+\infty).在全集R\mathbf{R}中取补集，得到 ∁UA=[0,2]={x∣0⩽x⩽2}\complement_U A=[0,2]=\{x\mid 0\leqslant x\leqslant2\}，选 A. \end{solution}
A.
{x∣0⩽x⩽2}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 2\}
B.
{x∣0<x<2}\{x\mid 0 < x < 2\}
C.
{x∣x<0 或 x>2}\{x\mid x < 0\text{ 或 }x > 2\}
D.
{x∣x⩽0 或 x⩾2}\{x\mid x\leqslant 0\text{ 或 }x\geqslant 2\}

2009 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S3=6S_{3} = 6，a1=4a_{1} = 4，则公差 dd 等于（ ）
\begin{solution} 等差数列前三项为a1=4a_1=4，a2=4+da_2=4+d，a3=4+2da_3=4+2d.由题设
S3=a1+a2+a3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6S_3=a_1+a_2+a_3=4+(4+d)+(4+2d)=12+3d=6
解得唯一公差d=−2d=-2. 回代得前三项为44，22，00，其和为66，满足题设. 选项 A、B、C、D 分别为11，53\frac{5}{3}，22，33，均不等于−2-2，故四个选项均不正确. \end{solution}
A.
11
B.
53\frac{5}{3}
C.
22
D.
33

2009 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 多选题

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04导数及其应用★☆☆☆☆
∫−π2π2(1+cos⁡x)dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos x)\mathrm{d}x 等于（ ）
\begin{solution} 由原函数的一个原函数可得
∫−π2π2(1+cos⁡x)dx=x+sin⁡x∣−π2π2=(π2+1)−(−π2−1)=π+2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)\mathrm{d}x =\left.x+\sin x\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\left(\frac{\pi}{2}+1\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi+2
因此选 D. \end{solution}
A.
π\pi
B.
22
C.
π−2\pi - 2
D.
π+2\pi + 2

2009 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 中，满足“对任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，都有 f(x1)>f(x2)f(x_{1}) > f(x_{2})”的是（ ）
\begin{solution} 当x>0x>0时，f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}的导数为f′(x)=−1x2<0f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0，所以它在(0,+∞)(0,+\infty)上严格递减，满足题设. f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2在(0,1)(0,1)上递减、在(1,+∞)(1,+\infty)上递增；f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x和f(x)=ln⁡(x+1)f(x)=\ln(x+1)的导数分别为ex>0\mathrm{e}^x>0和1x+1>0\frac{1}{x+1}>0，均严格递增.因此选 A. \end{solution}
A.
f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}
B.
f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^{2}
C.
f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}
D.
f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln (x + 1)

2009 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
\begin{solution} 程序开始时S=2S=2，n=1n=1.循环第一次计算 S=11−S=11−2=−1S=\frac{1}{1-S}=\frac{1}{1-2}=-1，随后n=2n=2；第二次计算 S=11−(−1)=12S=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}，随后n=4n=4；第三次计算 S=11−12=2S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2，随后n=8n=8.此时满足S=2S=2，输出n=8n=8，选 C. \end{solution}
A.
22
B.
44
C.
88
D.
1616

2009 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
设 mm，nn 是平面 α\alpha 内的两条不同直线，l1l_{1}，l2l_{2} 是平面 β\beta 内的两条相交直线，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的一个充分而不必要条件是（ ）
\begin{solution} 若m∥l1m\parallel l_1且n∥l2n\parallel l_2，则mm与nn的方向分别平行于平面β\beta内相交直线l1l_1与l2l_2的方向.由于mm，nn在平面α\alpha内且方向不同，平面α\alpha的两个方向均与平面β\beta的两个方向平行，从而α\alpha与β\beta平行.因此 B 是充分条件.
它不是必要条件.例如两平面平行时，可以在α\alpha内任取两条不同直线mm，nn，它们未必分别平行于指定的l1l_1，l2l_2.所以该条件充分而不必要，选 B. \end{solution}
A.
m∥βm\parallel\beta 且 l1∥αl_{1}\parallel\alpha
B.
m∥l1m\parallel l_{1} 且 n∥l2n\parallel l_{2}
C.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥βn\parallel\beta
D.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥l2n\parallel l_{2}

2009 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%40\%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出00到99之间取整数值的随机数，指定11，22，33，44表示命中，55，66，77，88，99，00表示不命中；再以每33个随机数为一组，代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了2020组随机数：
907907966966191191925925271271
932932812812458458569569683683
431431257257393393027027556556
488488730730113113537537989989
据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为（ ）
\begin{solution} 把每组的三个数字按“11，22，33，44 命中，其余不命中”判断.恰有两次命中的组为 191191、271271、932932、812812、393393，共55组.总共模拟了2020组，所以频率为 520=0.25\frac{5}{20}=0.25.因此估计的概率为0.250.25，选 B. \end{solution}
A.
0.350.35
B.
0.250.25
C.
0.200.20
D.
0.150.15

2009 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣\lvert \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \rvert 的值一定等于（ ）
\begin{solution} 设θ\theta为a\boldsymbol{a}与b\boldsymbol{b}的夹角.因为a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}且∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{c}|，所以b\boldsymbol{b}与c\boldsymbol{c}的夹角的余弦绝对值等于sin⁡θ\sin\theta.于是
∣b⋅c∣=∣b∣∣c∣∣cos⁡∠(b,c)∣=∣b∣∣a∣sin⁡θ\lvert\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\lvert\cos\angle(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\sin\theta
右端正是以a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}为邻边的平行四边形面积.因此选 C. \end{solution}
A.
以 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积

2009 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0）的图象关于直线 x=−b2ax = -\frac{b}{2a} 对称. 据此可推测，对任意的非零实数 aa，bb，cc，mm，nn，pp，关于 xx 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2 + nf(x) + p = 0 的解集都不可能是（ ）
\begin{solution} 二次函数图象关于直线x=−b2ax=-\frac{b}{2a}对称，所以对任意使f(x)f(x)有定义的xx，关于该直线对称的点 x′=−ba−xx'=-\frac{b}{a}-x满足f(x′)=f(x)f(x')=f(x).因此方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2+nf(x)+p=0的解集必须关于同一条竖直直线对称：方程先确定至多两个f(x)f(x)的取值，而每个取值的原像关于抛物线的对称轴成对出现.
集合{1,2}\{1,2\}、{1,4}\{1,4\}分别关于x=32x=\frac{3}{2}、x=52x=\frac{5}{2}对称，集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}关于x=52x=\frac{5}{2}对称，均不违反这个必要条件.它们确实可以实现. 对于集合{1,2}\{1,2\}，取f(x)=(x−32)2+1f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−54)(y+1)=0(y-\tfrac{5}{4})(y+1)=0；对于集合{1,4}\{1,4\}，取f(x)=(x−52)2+1f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−134)(y+1)=0(y-\tfrac{13}{4})(y+1)=0；对于集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，取f(x)=(x−52)2f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2，并令关于yy的二次方程为(y−94)(y−14)=0(y-\tfrac{9}{4})(y-\tfrac{1}{4})=0. 前三个例子展开后aa，bb，cc，mm，nn，pp均非零.第一个方程的解集为{1,2}\{1,2\}，第二个方程的解集为{1,4}\{1,4\}，第三个方程的解集为{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}.而{1,4,16,64}\{1,4,16,64\}中，若关于同一条竖直直线成对对称，则应有1+64=4+161+64=4+16，但65≠2065\neq20，故该集合不可能是解集.因此不可能的是 D. \end{solution}
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{1,4}\{1, 4\}
C.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
D.
{1,4,16,64}\{1, 4, 16, 64\}

2009 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
若 21−i=a+bi\frac{2}{1 - \mathrm{i}} = a + b\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位，aa，b∈Rb\in\mathbf{R}），则 a+b=a+b=______.
\begin{solution} 分母有理化得
21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i\frac{2}{1-\mathrm{i}}=\frac{2(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2(1+\mathrm{i})}{2}=1+\mathrm{i}
所以a=1a=1，b=1b=1，从而a+b=2a+b=2. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，99位评委为参赛作品 AA 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算术平均分为9191，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 xx）无法看清. 若记分员计算无误，则数字 xx 应该是______.
\begin{array}{c} \phantom{8} & \multicolumn{6}{|c}{作品 A} \\ \hline $8$ & $8$ & $9$ & $9$ & & & \\ $9$ & $2$ & $3$ & $x$ & $2$ & $1$ & $4$ \end{array}
\begin{solution} 茎叶图中的九个分数为8888，8989，8989，9191，9292，9292，9393，9494，90+x90+x.去掉最低分8888后，最高分为9494（当x⩽4x\leqslant4）或90+x90+x（当x⩾5x\geqslant5）.去掉最高、最低分后，七个分数的和应为7×91=6377\times91=637.
九个分数的总和为818+x818+x.若x⩽4x\leqslant4，去掉88,9488,94后有 818+x−88−94=637818+x-88-94=637，解得x=1x=1，符合x⩽4x\leqslant4.若x⩾5x\geqslant5，去掉8888，90+x90+x后总和为640640，不等于637637.因此x=1x=1. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点 FF 作倾斜角为 45∘45^{\circ} 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，若线段 ABAB 的长为 88，则 p=p =______.
\begin{solution} 抛物线y2=2pxy^2=2px的焦点为F(p2,0)F\left(\frac{p}{2},0\right).倾斜角为45∘45^{\circ}的直线为 y=x−p2y=x-\frac{p}{2}.代入抛物线得
(x−p2)2=2px⟺x2−3px+p24=0\left(x-\frac{p}{2}\right)^2=2px \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-3px+\frac{p^2}{4}=0
设两交点的横坐标为x1x_1，x2x_2，则 ∣x1−x2∣=9p2−p2=22p\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{9p^2-p^2}=2\sqrt{2}p.由于直线斜率为11，弦长
AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=2∣x1−x2∣=4pAB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} =\sqrt{2}\lvert x_1-x_2\rvert=4p
由AB=8AB=8得p=2p=2. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★☆☆
若曲线 f(x)=ax3+ln⁡xf(x) = ax^3 + \ln x 存在垂直于 yy 轴的切线，则实数 aa 取值范围是______.
\begin{solution} 函数定义域为x>0x>0，且 f′(x)=3ax2+1xf'(x)=3ax^2+\frac{1}{x}.切线垂直于yy轴即切线水平，所以存在x0>0x_0>0使
f′(x0)=0⟺3ax03+1=0⟺a=−13x03<0f'(x_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3ax_0^3+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=-\frac{1}{3x_0^3}<0
反之，任取a<0a<0，取x0=−13a3>0x_0=\sqrt[3]{-\frac{1}{3a}}>0，即可使f′(x0)=0f'(x_0)=0.因此aa的取值范围是(−∞,0)(-\infty,0). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100100个数时，甲同学拍手的总次数为______.
\begin{solution} 记第nn个报出的数为FnF_n，则F1=F2=1F_1=F_2=1，且Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.模33计算得到 F1F_1，F2F_2，…\ldots，F8≡1F_8\equiv1，11，22，00，22，22，11，0(mod3)0\pmod{3} 又 F9≡F1F_9\equiv F_1，F10≡F2(mod3)F_{10}\equiv F_2\pmod{3}，递推关系相同，所以之后以88为周期.因此FnF_n是33的倍数当且仅当n≡0n\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}.
甲同学第一次报第11个数，五人循环，所以甲报数的序号为n=1+5kn=1+5k.报到第100100个数时0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19.条件 1+5k≡01+5k\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}分别给出k≡3k\equiv3或7(mod8)7\pmod{8}.在0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19中，这些kk为33，77，1111，1515，1919，共55个.因此甲同学拍手55次. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
从集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 的所有非空子集中，等可能地取出一个.
(1) 记性质 rr：集合中的所有元素之和为 1010，求所取出的非空子集满足性质 rr 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 EξE_{\xi}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有25−1=312^5-1=31个，且每个被取出的可能性相同.元素和为1010的非空子集为 {1,4,5}\{1,4,5\}、{2,3,5}\{2,3,5\}、{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，共33个，所以P(r)=331P(r)=\dfrac{3}{31}.
\item 记所取子集的元素个数为ξ\xi.当ξ=k\xi=k时，从55个元素中选出kk个，共有C5k\mathrm C_5^k种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi&11&22&33&44&55\ \hline PP&531\dfrac{5}{31}&1031\dfrac{10}{31}&1031\dfrac{10}{31}&531\dfrac{5}{31}&131\dfrac{1}{31} \end{tabular} \end{center} 并且
Eξ=1⋅531+2⋅1031+3⋅1031+4⋅531+5⋅131=8031E_{\xi}=1\cdot\frac{5}{31}+2\cdot\frac{10}{31}+3\cdot\frac{10}{31}+4\cdot\frac{5}{31}+5\cdot\frac{1}{31} =\frac{80}{31}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥MD \perp 平面 ABCDABCD，NB⊥NB \perp 平面 ABCDABCD，且 MD=NB=1MD = NB = 1，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 NENE 与 AMAM 所成角的余弦值； (2) 在线段 ANAN 上是否存在点 SS，使得 ES⊥ES \perp 平面 AMNAMN？若存在，求线段 ASAS 的长；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，使DD为原点，DCDC、DADA、DMDM分别为三个坐标轴正方向.则A(0,1,0)A(0,1,0)、B(1,1,0)B(1,1,0)、C(1,0,0)C(1,0,0)、M(0,0,1)M(0,0,1)、N(1,1,1)N(1,1,1)、E(1,12,0)E\left(1,\frac{1}{2},0\right). 于是NE→=(0,−12,−1)\overrightarrow{NE}=\left(0,-\frac{1}{2},-1\right)，AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，且 NE→⋅AM→=−12\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}、∣NE→∣=52|\overrightarrow{NE}|=\frac{\sqrt{5}}{2}、∣AM→∣=2|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}. 异面直线所成角取锐角，故其余弦值为
∣NE→⋅AM→∣∣NE→∣∣AM→∣=12102=1010\frac{|\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{AM}|} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}
\item 设SS在线段ANAN上，令S=A+t(N−A)=(t,1,t)S=A+t(N-A)=(t,1,t)，其中0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1.平面AMNAMN内有 AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，AN→=(1,0,1)\overrightarrow{AN}=(1,0,1)，其法向量可取
AM→×AN→=(−1,1,1)\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AN}=(-1,1,1)
又ES→=(t−1,12,t)\overrightarrow{ES}=\left(t-1,\frac{1}{2},t\right).要使ES⊥ES\perp平面AMNAMN，必须有ES→\overrightarrow{ES}平行于(−1,1,1)(-1,1,1).比较第二坐标得比例因子为12\frac{1}{2}，于是第一、第三坐标分别给出t−1=−12t-1=-\frac{1}{2}和t=12t=\frac{1}{2}，两者一致.因此存在这样的点SS，且
AS=t∣AN∣=1212+12=22AS=t|AN|=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，某市拟在长为 8 km8 \mathrm{~km} 的道路 OPOP 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的前一部分为曲线段 OSMOSM，该曲线段为函数 y=Asin⁡ωxy = A \sin \omega x（A>0A > 0，ω>0\omega > 0），x∈[0,4]x \in [0,4] 的图象，且图象的最高点为 S(3,23)S(3, 2\sqrt{3})；赛道的后一部分为折线段 MNPMNP. 为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP=120∘\angle MNP = 120^{\circ}.
(1) 求 AA，ω\omega 的值和 MM，PP 两点间的距离； (2) 应如何设计，才能使折线段赛道 MNPMNP 最长？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为图象的最高点为S(3,23)S(3,2\sqrt{3})，所以振幅A=23A=2\sqrt{3}，且sin⁡(3ω)=1\sin(3\omega)=1.写成3ω=π2+2kπ3\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi.由ω>0\omega>0知k⩾0k\geqslant0.若k⩾1k\geqslant1，则前一个最高点的横坐标为3−2πω∈(0,3)3-\frac{2\pi}{\omega}\in(0,3)，与最高点只有SS不符，故k=0k=0，从而ω=π6\omega=\frac{\pi}{6}.
曲线在x=4x=4处的终点为
M(4,23sin⁡2π3)=(4,3)M\left(4,2\sqrt{3}\sin\frac{2\pi}{3}\right)=(4,3)
而P=(8,0)P=(8,0)，所以
MP=(8−4)2+(0−3)2=5MP=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=5
\item 设MN=uMN=u，NP=vNP=v，其中uu，v>0v>0.在三角形MNPMNP中，∠MNP=120∘\angle MNP=120^{\circ}，由余弦定理
MP2=u2+v2−2uvcos⁡120∘=u2+v2+uv=25MP^2=u^2+v^2-2uv\cos120^{\circ}=u^2+v^2+uv=25
因此由u2+v2⩾2uvu^2+v^2\geqslant2uv得25⩾3uv25\geqslant3uv，即uv⩽253uv\leqslant\frac{25}{3}.于是
(u+v)2=u2+v2+2uv=25+uv⩽25+253=1003(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=25+uv\leqslant25+\frac{25}{3}=\frac{100}{3}
等号当且仅当u=vu=v，即MN=NPMN=NP.此时三角形为等腰三角形，底角 ∠PMN=∠MPN=180∘−120∘2=30∘\angle PMN=\angle MPN=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}.所以应设计为MN=NPMN=NP，等价于∠PMN=30∘\angle PMN=30^{\circ}. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知 AA，BB 分别为曲线 C:x2a2+y2=1C: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1（y⩾0y \geqslant 0，a>0a > 0）与 xx 轴的左，右两个交点，直线 ll 过点 BB，且与 xx 轴垂直，SS 为 ll 上异于点 BB 的一点，连结 ASAS 交曲线 CC 于点 TT.
(1) 若曲线 CC 为半圆，点 TT 为圆弧 AB^\widehat{AB} 的三等分点，试求出点 SS 的坐标； (2) 如图，点 MM 是以 SBSB 为直径的圆与线段 TBTB 的交点. 试问：是否存在 aa，使得 OO，MM，SS 三点共线？若存在，求出 aa 的值，若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当CC为半圆时a=1a=1，故A=(−1,0)A=(-1,0)，B=(1,0)B=(1,0).圆弧ABAB的两个三等分点为T1(12,32)T_1\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)和T2(−12,32)T_2\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
直线AT1AT_1的斜率为33\frac{\sqrt{3}}{3}，代入x=1x=1得y=233y=\frac{2\sqrt{3}}{3}；直线AT2AT_2的斜率为3\sqrt{3}，代入x=1x=1得y=23y=2\sqrt{3}.因此
S=(1,233)或S=(1,23)S=\left(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\quad\text{或}\quad S=(1,2\sqrt{3})
\item 设S=(a,s)S=(a,s).由于第二个交点TT在y⩾0y\geqslant0的上半椭圆上，且S≠BS\neq B，故取s>0s>0.令直线ASAS上的点为(x,y)=(−a+2au,su)(x,y)=(-a+2au,su).代入椭圆方程，除去对应于AA的根u=0u=0，得到 (−1+2u)2+s2u2=1(-1+2u)^2+s^2u^2=1，⟹\Longrightarrow，u=44+s2u=\frac{4}{4+s^2}， 所以
T=(a(−1+84+s2),4s4+s2)T=\left(a\left(-1+\frac{8}{4+s^2}\right),\frac{4s}{4+s^2}\right)
圆SBSB以SBSB为直径，其方程为(x−a)2+y2−sy=0(x-a)^2+y^2-sy=0.若OO，MM，SS共线，设M=λS=(λa,λs)M=\lambda S=(\lambda a,\lambda s).由于MM在TBTB上而SS不在TBTB上，故λ≠1\lambda\neq1.由∠SMB=90∘\angle SMB=90^{\circ}得
(S−M)⋅(B−M)=(1−λ)[a2(1−λ)−λs2]=0(S-M)\cdot(B-M)=(1-\lambda)\bigl[a^2(1-\lambda)-\lambda s^2\bigr]=0
由于λ≠1\lambda\neq1，所以
a2(1−λ)−λs2=0a^2(1-\lambda)-\lambda s^2=0
从而λ=a2a2+s2\lambda=\frac{a^2}{a^2+s^2}，即
M=(a3a2+s2,a2sa2+s2)M=\left(\frac{a^3}{a^2+s^2},\frac{a^2s}{a^2+s^2}\right)
另一方面，由上式中TT的坐标，直线BTBT的斜率为yTxT−a=−2as\frac{y_T}{x_T-a}=-\frac{2}{as}；而BMBM的斜率为−as-\frac{a}{s}.要使BB，TT，MM共线，必须有−as=−2as-\frac{a}{s}=-\frac{2}{as}，所以a2=2a^2=2.因为a>0a>0，得到a=2a=\sqrt{2}.此时 M−B=4+s22(2+s2)(T−B)M-B=\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}(T-B)，0<4+s22(2+s2)<10<\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}<1， 故MM确在线段TBTB上，所求值存在. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + ax^2 + bx，且 f′(−1)=0f'(-1) = 0.
(1) 试用含 aa 的代数式表示 bb，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 令 a=−1a = -1，设函数 f(x)f(x) 在 x1x_1，x2x_2（x1<x2x_1 < x_2）处取得极值，记点 M(x1,f(x1))M(x_1, f(x_1))，N(x2,f(x2))N(x_2, f(x_2))，P(m,f(m))P(m, f(m))，x1<m<x2x_1 < m < x_2. 请仔细观察曲线 f(x)f(x) 在点 PP 处的切线与线段 MPMP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
(i) 若对任意的 m∈(t,x2]m \in (t, x_2]，线段 MPMP 与曲线 f(x)f(x) 均有异于 MM，PP 的公共点，试确定 tt 的最小值，并证明你的结论； (ii) 若存在点 Q(n,f(n))Q(n, f(n))，x1⩽n<mx_1 \leqslant n < m，使得线段 PQPQ 与曲线 f(x)f(x) 有异于 PP，QQ 的公共点，请直接写出 mm 的取值范围. （不必给出求解过程）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 f′(x)=x2+2ax+bf'(x)=x^2+2ax+b，f′(−1)=1−2a+b=0f'(-1)=1-2a+b=0 得b=2a−1b=2a-1.于是
f′(x)=x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)=(x+1)(x−(1−2a))f'(x)=x^2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)=(x+1)(x-(1-2a))
当a>1a>1时，1−2a<−11-2a<-1，故f′(x)f'(x)在(−∞,1−2a)(-\infty,1-2a)和(−1,+∞)(-1,+\infty)上为正，在(1−2a,−1)(1-2a,-1)上为负.因此增区间为(−∞,1−2a)(-\infty,1-2a)和(−1,+∞)(-1,+\infty)，减区间为(1−2a,−1)(1-2a,-1).
当a=1a=1时，f′(x)=(x+1)2⩾0f'(x)=(x+1)^2\geqslant0，所以f(x)f(x)在R\mathbf{R}上单调递增.
当a<1a<1时，−1<1−2a-1<1-2a，故f′(x)f'(x)在(−∞,−1)(-\infty,-1)和(1−2a,+∞)(1-2a,+\infty)上为正，在(−1,1−2a)(-1,1-2a)上为负.因此增区间为(−∞,−1)(-\infty,-1)和(1−2a,+∞)(1-2a,+\infty)，减区间为(−1,1−2a)(-1,1-2a).
\item 令a=−1a=-1，则b=−3b=-3，故f(x)=13x3−x2−3xf(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x，f′(x)=(x+1)(x−3)f'(x)=(x+1)(x-3)，所以x1=−1x_1=-1，x2=3x_2=3.
对曲线上横坐标为uu，vv的两个点作割线.由于f(x)f(x)的三次项系数为13\frac{1}{3}，割线方程与曲线方程相减后所得三次方程的三个根为uu，vv，ww.该三次方程的首项为13x3\frac{1}{3}x^3，而二次项系数为−1-1，与13(x−u)(x−v)(x−w)\frac{1}{3}(x-u)(x-v)(x-w)比较可得−u+v+w3=−1-\frac{u+v+w}{3}=-1，即u+v+w=3u+v+w=3，所以第三个交点的横坐标为w=3−u−vw=3-u-v.
\begin{enumerate} \item 取u=x1=−1u=x_1=-1，v=mv=m，得w=4−mw=4-m.当m∈(t,3]m\in(t,3]时，线段MPMP与曲线有异于MM，PP的公共点，要求第三个交点的横坐标满足−1<w<m-1<w<m.代入w=4−mw=4-m得4−m<m4-m<m，即m>2m>2；当m=3m=3时仍有w=1w=1，满足条件.因此对所有m∈(2,3]m\in(2,3]均成立，而任意t<2t<2都会使m=2m=2落入(t,3](t,3]，此时w=mw=m并无异于PP的第三个交点.故tt的最小值为22.
\item 取u=nu=n，v=mv=m，第三个交点横坐标为w=3−m−nw=3-m-n.它位于线段PQPQ内部当且仅当
n<3−m−n<m⟺3−2m<n<3−m2n<3-m-n<m \quad\Longleftrightarrow\quad 3-2m<n<\frac{3-m}{2}
还需满足−1⩽n<m-1\leqslant n<m.当m⩽1m\leqslant1时，3−2m⩾m3-2m\geqslant m，不存在这样的nn；当1<m<31<m<3时，上述不等式区间与[−1,m)[-1,m)有公共部分，可以选取这样的nn.所以mm的取值范围为(1,3)(1,3). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
M=(2−31−1)M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
所对应的线性变换把点 A(x,y)A(x, y) 变成点 A′(13,5)A'(13, 5)，试求 MM 的逆矩阵及点 AA 的坐标.
\begin{solution} 矩阵MM的行列式为 det⁡M=2×(−1)−(−3)×1=1≠0\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0，所以MM可逆，且
M−1=1det⁡M(−13−12)=(−13−12)M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
由线性变换关系
M(xy)=(135)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
得
(xy)=M−1(135)=(−13−12)(135)=(2−3)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
因此A=(2,−3)A=(2,-3). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll：3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 与圆 CC：
{x=−1+2cos⁡θ,y=2+2sin⁡θ,\begin{cases} x = -1 + 2\cos \theta,\\ y = 2 + 2\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），试判断他们的公共点个数.
\begin{solution} 圆CC的圆心为O1=(−1,2)O_1=(-1,2)，半径为22.圆心到直线l:3x+4y−12=0l:3x+4y-12=0的距离为
d=∣3(−1)+4×2−12∣32+42=75<2d=\frac{|3(-1)+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}<2
因此直线与圆相交于两个不同的公共点，公共点个数为22. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
解不等式 ∣2x−1∣<∣x∣+1|2x - 1| < |x| + 1.
\begin{solution} 两边均为非负数，可以平方而不改变不等号方向，得
(2x−1)2<(∣x∣+1)2⟺3x2−4x<2∣x∣(2x-1)^2<(|x|+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-4x<2|x|
当x⩾0x\geqslant0时，∣x∣=x|x|=x，所以 3x2−6x<03x^2-6x<0，即0<x<20<x<2. 当x<0x<0时，∣x∣=−x|x|=-x，所以 3x2−2x<03x^2-2x<0，即x(3x−2)<0x(3x-2)<0，但此时两个因子均为负，乘积为正，无解. 综上，不等式的解集为(0,2)(0,2). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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