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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 P={1,2,3,4,5,6}P = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，Q={x∈R∣2⩽x⩽6}Q = \{x \in \mathbf{R} \mid 2 \leqslant x \leqslant 6\}，那么下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 由 Q=[2,6]Q=\left[2,6\right]，得 P∩Q={2,3,4,5,6}P\cap Q=\{2,3,4,5,6\}，这是 PP 的真子集，所以 P∩Q≠PP\cap Q\ne P，且 P∩Q⊉QP\cap Q\nsupseteq Q. 又因为 1∈P1\in P 且 1∉Q1\notin Q，所以 P∪Q≠QP\cup Q\ne Q，并且 P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P. 因此正确结论为 P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P，与答案一致. \end{solution}
A.
P∩Q=PP\cap Q = P
B.
P∩Q⊇QP\cap Q\supseteq Q
C.
P∪Q=QP\cup Q = Q
D.
P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P

2004 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x⩾2\frac{x - 1}{x} \geqslant 2 的解集为（ ）
\begin{solution} 分母不能为零，所以 x≠0x\ne0. 移项并通分，原不等式等价于 x−1x−2=−x−1x⩾0\dfrac{x-1}{x}-2=\dfrac{-x-1}{x}\geqslant0，即 x+1x⩽0\dfrac{x+1}{x}\leqslant0. 临界点为 −1-1 和 00，作符号判断可知在 [−1,0)[-1,0) 上成立，在其余区间不成立，其中 −1-1 取等号而 00 不在定义域内. 因此解集为 [−1,0)[-1,0)，故选 A. \end{solution}
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1]∪(0,+∞)(-\infty, -1] \cup (0, +\infty)

2004 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
若平面向量 b\boldsymbol{b} 与向量 a=(1,−2)\boldsymbol{a} = (1, -2) 的夹角是 180∘180^{\circ}，且 ∣b∣=35\left|\boldsymbol{b}\right| = 3\sqrt{5}，则 b=\boldsymbol{b} =（ ）
\begin{solution} 因为两个向量的夹角为 180∘180^{\circ}，所以 b\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 方向相反，设 b=ta\boldsymbol{b}=t\boldsymbol{a}，其中 t<0t<0. 又 ∣a∣=12+(−2)2=5\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5，故 ∣t∣5=35\left|t\right|\sqrt5=3\sqrt5，从而 ∣t∣=3\left|t\right|=3. 结合 t<0t<0，得 t=−3t=-3，所以 b=−3(1,−2)=(−3,6)\boldsymbol{b}=-3(1,-2)=(-3,6). 故选 A. \end{solution}
A.
(−3,6)(-3,6)
B.
(3,−6)(3, - 6)
C.
(6,−3)(6, - 3)
D.
(−6,3)(-6,3)

2004 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
某工厂生产 AA，BB，CC 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:52:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 nn 的样本，样本中 AA 种型号产品有 1616 件. 那么此样本的容量 nn =______.
\begin{solution} 分层抽样时样本中各型号产品的数量比等于总体数量比. 设样本中三种产品的数量分别为 2t2t，3t3t，5t5t，则 2t=162t=16，得 t=8t=8. 因此样本容量为 n=2t+3t+5t=10t=80n=2t+3t+5t=10t=80. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(2,−3)\boldsymbol{b}=(2,-3)，若 ka−2bk\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 垂直，则实数 kk 等于______.
\begin{solution} 由 ka−2b=(k,k)−(4,−6)=(k−4,k+6)k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(k,k)-(4,-6)=(k-4,k+6). 垂直条件给出 (k−4,k+6)⋅(1,1)=0(k-4,k+6)\cdot(1,1)=0，即 k−4+k+6=0k-4+k+6=0. 所以 2k+2=02k+2=0，解得 k=−1k=-1. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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