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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 P={1,2,3,4,5,6}P = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，Q={x∈R∣2⩽x⩽6}Q = \{x \in \mathbf{R} \mid 2 \leqslant x \leqslant 6\}，那么下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 由 Q=[2,6]Q=\left[2,6\right]，得 P∩Q={2,3,4,5,6}P\cap Q=\{2,3,4,5,6\}，这是 PP 的真子集，所以 P∩Q≠PP\cap Q\ne P，且 P∩Q⊉QP\cap Q\nsupseteq Q. 又因为 1∈P1\in P 且 1∉Q1\notin Q，所以 P∪Q≠QP\cup Q\ne Q，并且 P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P. 因此正确结论为 P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P，与答案一致. \end{solution}
A.
P∩Q=PP\cap Q = P
B.
P∩Q⊇QP\cap Q\supseteq Q
C.
P∪Q=QP\cup Q = Q
D.
P∩Q⊉PP\cap Q\nsupseteq P

2004 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x⩾2\frac{x - 1}{x} \geqslant 2 的解集为（ ）
\begin{solution} 分母不能为零，所以 x≠0x\ne0. 移项并通分，原不等式等价于 x−1x−2=−x−1x⩾0\dfrac{x-1}{x}-2=\dfrac{-x-1}{x}\geqslant0，即 x+1x⩽0\dfrac{x+1}{x}\leqslant0. 临界点为 −1-1 和 00，作符号判断可知在 [−1,0)[-1,0) 上成立，在其余区间不成立，其中 −1-1 取等号而 00 不在定义域内. 因此解集为 [−1,0)[-1,0)，故选 A. \end{solution}
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1]∪(0,+∞)(-\infty, -1] \cup (0, +\infty)

2004 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
对任意实数 aa，bb，cc 在下列命题中，真命题是（ ）
\begin{solution} 因为 ac>bcac>bc 等价于 c(a−b)>0c(a-b)>0，当 a>ba>b 且 c=0c=0 时，ac=bcac=bc，所以“ac>bcac>bc”不是“a>ba>b”的必要条件；当 c<0c<0 时，ac>bcac>bc 反而推出 a<ba<b，所以它也不是“a>ba>b”的充分条件.
若 a=ba=b，则无论 cc 取何值都有 ac=bcac=bc，所以“ac=bcac=bc”是“a=ba=b”的必要条件. 反过来取 c=0c=0 且 a≠ba\ne b，仍有 ac=bcac=bc，故它不是充分条件. 因此正确命题是“ac=bcac=bc”是“a=ba=b”的必要条件，与答案一致. \end{solution}
A.
“ac>bcac > bc”是“a>ba > b”的必要条件
B.
“ac=bcac = bc”是“a=ba = b”的必要条件
C.
“ac>bcac > bc”是“a>ba > b”的充分条件
D.
“ac=bcac = bc”是“a=ba = b”的充分条件

2004 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
若平面向量 b\boldsymbol{b} 与向量 a=(1,−2)\boldsymbol{a} = (1, -2) 的夹角是 180∘180^{\circ}，且 ∣b∣=35\left|\boldsymbol{b}\right| = 3\sqrt{5}，则 b=\boldsymbol{b} =（ ）
\begin{solution} 因为两个向量的夹角为 180∘180^{\circ}，所以 b\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 方向相反，设 b=ta\boldsymbol{b}=t\boldsymbol{a}，其中 t<0t<0. 又 ∣a∣=12+(−2)2=5\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5，故 ∣t∣5=35\left|t\right|\sqrt5=3\sqrt5，从而 ∣t∣=3\left|t\right|=3. 结合 t<0t<0，得 t=−3t=-3，所以 b=−3(1,−2)=(−3,6)\boldsymbol{b}=-3(1,-2)=(-3,6). 故选 A. \end{solution}
A.
(−3,6)(-3,6)
B.
(3,−6)(3, - 6)
C.
(6,−3)(6, - 3)
D.
(−6,3)(-6,3)

2004 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设 PP 是双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−2y=03x - 2y = 0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线的左，右焦点，若 ∣PF1∣=3|PF_1| = 3，则 ∣PF2∣=|PF_2| =（ ）
\begin{solution} 双曲线的标准形式中，半实轴为 aa，半虚轴为 bb，渐近线为 y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x. 题中分母 y2y^2 的系数给出 b=3b=3，而渐近线 3x−2y=03x-2y=0 即 y=32xy=\dfrac32x，所以 ba=32\dfrac{b}{a}=\dfrac32，得 a=2a=2.
对双曲线上任一点 PP，有 ∣PF1−PF2∣=2a=4\left|PF_1-PF_2\right|=2a=4. 已知 PF1=3PF_1=3，故 ∣3−PF2∣=4\left|3-PF_2\right|=4. 距离必须为正，因此只能取 PF2=7PF_2=7，故选 C. \end{solution}
A.
11 或 55
B.
66
C.
77
D.
99

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x （0<a<10 < a < 1）在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最大值是最小的 33 倍，则 a=a =（ ）
\begin{solution} 因为 0<a<10<a<1，函数 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减，所以在 [a,2a][a,2a] 上的最大值和最小值分别为 f(a)=1f(a)=1 和 f(2a)=log⁡a2+1f(2a)=\log_a2+1. 由题意， 1=3(log⁡a2+1)1=3\left(\log_a2+1\right)，所以 log⁡a2=−23\log_a2=-\dfrac23. 于是 a−23=2a^{-\frac23}=2，即 a23=12a^{\frac23}=\dfrac12，从而 a=(12)32=24a=\left(\dfrac12\right)^{\frac32}=\dfrac{\sqrt2}{4}. 故选 A. \end{solution}
A.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

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07解析几何★★★☆☆
若过定点 M(−1,0)M(-1,0) 且斜率为 kk 的直线与圆 x2+4x+y2−5=0x^{2} + 4x + y^{2} - 5 = 0 在第一象限内的部分有交点，则 kk 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 圆的方程化为 (x+2)2+y2=9(x+2)^2+y^2=9，圆心为 (−2,0)(-2,0)，半径为 33. 过 M(−1,0)M(-1,0) 且斜率为 kk 的直线为 y=k(x+1)y=k(x+1). 要与第一象限内的圆弧相交，必须有 k>0k>0，因为交点需满足 x>0x>0 和 y>0y>0.
将直线代入圆的方程，得 (x+2)2+k2(x+1)2=9(x+2)^2+k^2(x+1)^2=9. 在 x⩾0x\geqslant0 时，左端随 xx 增大而增大；当 x=0x=0 时左端为 4+k24+k^2，当 x=1x=1 时左端为 9+4k2>99+4k^2>9. 因此存在 0<x<10<x<1 的交点当且仅当 4+k2<94+k^2<9，即 k<5k<\sqrt5. 端点 k=0k=0 时交点在 xx 轴上，端点 k=5k=\sqrt5 时交点为 (0,5)(0,\sqrt5)，均不在第一象限内. 因此 0<k<50<k<\sqrt5，故选 A. \end{solution}
A.
0<k<50 < k < \sqrt{5}
B.
−5<k<0-\sqrt{5} < k < 0
C.
0<k<130 < k < \sqrt{13}
D.
0<k<50 < k < 5

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，定点 AA 和 BB 都在平面 α\alpha 内，定点 P∉αP\notin \alpha，PB⊥αPB \perp \alpha，CC 是 α\alpha 内异于 AA 和 BB 的动点，且 PC⊥ACPC \perp AC. 那么，动点 CC 在平面 α\alpha 内的轨迹是（ ）
\begin{solution} 在平面 α\alpha 内取 BB 为原点，令 BA→=a\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}，BC→=c\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}，并设 PB=h>0PB=h>0. 由于 PB⊥αPB\perp\alpha，向量 CP→\overrightarrow{CP} 的平面内分量为 −c-\boldsymbol{c}，而 CA→=a−c\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}. 条件 PC⊥ACPC\perp AC 给出 CP→⋅CA→=(−c)⋅(a−c)=0\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=(-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=0，即 c⋅(c−a)=0\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0.
配方得 ∣c−12a∣2=14∣a∣2\left|\boldsymbol{c}-\dfrac12\boldsymbol{a}\right|^2=\dfrac14\left|\boldsymbol{a}\right|^2. 因此 CC 在以 ABAB 为直径的圆上. 题设规定 CC 异于 AA 和 BB，所以要从该圆上去掉这两个点，故选 B. \end{solution}
A.
一条线段，但要去掉两个点
B.
一个圆，但要去掉两个点
C.
一个椭圆，但要去掉两个点
D.
半圆，但要去掉两个点

2004 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=3x2−1y = 3^{x^2 - 1}（−1⩽x<0-1 \leqslant x < 0）的反函数是（ ）
\begin{solution} 由 −1⩽x<0-1\leqslant x<0，可知 0<x2⩽10<x^2\leqslant1，所以 −1<x2−1⩽0-1<x^2-1\leqslant0，从而函数值满足 13<y⩽1\dfrac13<y\leqslant1. 由 y=3x2−1y=3^{x^2-1} 得 log⁡3y=x2−1\log_3y=x^2-1，即 x2=1+log⁡3yx^2=1+\log_3y. 原函数的定义域在负半轴上，故反函数应取负平方根： y=−1+log⁡3xy=-\sqrt{1+\log_3x}，且 13<x⩽1\dfrac13<x\leqslant1. 故选 D. \end{solution}
A.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_{3} x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
B.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_{3} x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
C.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_{3} x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）
D.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_{3} x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）

2004 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡(π6−2x)y = 2\sin \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)（x∈[0,π]x \in [0, \pi]）为增函数的区间是（ ）
\begin{solution} 求导得 y′=−4cos⁡(π6−2x)y'=-4\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right). 函数递增时需满足 cos⁡(π6−2x)<0\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right)<0. 在 x∈[0,π]x\in[0,\pi] 内解得 π3<x<5π6\dfrac\pi3<x<\dfrac{5\pi}{6}. 在两个端点处导数为零，且导数在区间内部为正，所以函数在 [π3,5π6]\left[\dfrac\pi3,\dfrac{5\pi}{6}\right] 上为增函数，故选 C. \end{solution}
A.
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
B.
[π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right]
C.
[π3,5π6]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]
D.
[5π6,π]\left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]

2004 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=6AB = 6，AD=4AD = 4，AA1=3AA_{1} = 3. 分别过 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V1=VAEA1−DFD1V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}，V2=VEBE1A1−FCF1D1V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}，V3=VB1E1B−C1F1CV_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}. 若 V1:V2:V3=1:4:1V_{1}:V_{2}:V_{3} = 1:4:1，则截面 A1EFD1A_{1}EFD_{1} 的面积为（ ）
\begin{solution} 在正视图 ABB1A1ABB_1A_1 中，设 AE=xAE=x. 两个截面平行，所以它们在正视图中的截线 A1EA_1E 与 BE1BE_1 平行；由两侧直角三角形的高都为 AA1=BB1=3AA_1=BB_1=3，可得 B1E1=AE=xB_1E_1=AE=x. 同理，在后视图中 DF=xDF=x，且 C1F1=xC_1F_1=x.
沿 ADAD 方向观察，三个部分的截面面积分别为两个全等直角三角形和中间剩余部分： S1=12⋅3x=3x2S_1=\dfrac12\cdot3x=\dfrac{3x}{2}， S3=3x2S_3=\dfrac{3x}{2}，S2=6⋅3−S1−S3=18−3xS_2=6\cdot3-S_1-S_3=18-3x. 三部分沿同一方向延伸长度 AD=4AD=4，所以体积比等于截面面积比. 由题意 3x2:(18−3x):3x2=1:4:1\dfrac{3x}{2}:\left(18-3x\right):\dfrac{3x}{2}=1:4:1，得 18−3x=4⋅3x2=6x18-3x=4\cdot\dfrac{3x}{2}=6x，所以 x=2x=2.
截面 A1EFD1A_1EFD_1 是以 AD=4AD=4 和 A1EA_1E 为两条互相垂直的边的矩形，且 A1E=AA12+AE2=32+22=13A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}. 因此其面积为 4134\sqrt{13}，故选 C. \end{solution}
A.
4104\sqrt{10}
B.
838\sqrt{3}
C.
4134\sqrt{13}
D.
1616

2004 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 既是偶函数又是周期函数，若 f(x)f(x) 的最小正周期是 π\pi，且当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，则 f(5π3)f\left(\frac{5\pi}{3}\right) 的值为（ ）
\begin{solution} 由周期为 π\pi，得 f(5π3)=f(2π3)f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right). 又因为 ff 是偶函数， f(2π3)=f(−2π3)=f(π3)f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)，其中最后一次等号利用了周期 π\pi. 由于 π3∈[0,π2]\dfrac\pi3\in\left[0,\dfrac\pi2\right]，所以 f(5π3)=f(π3)=sin⁡π3=32f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)=\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}. 故选 D. \end{solution}
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2004 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
某工厂生产 AA，BB，CC 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:52:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 nn 的样本，样本中 AA 种型号产品有 1616 件. 那么此样本的容量 nn =______.
\begin{solution} 分层抽样时样本中各型号产品的数量比等于总体数量比. 设样本中三种产品的数量分别为 2t2t，3t3t，5t5t，则 2t=162t=16，得 t=8t=8. 因此样本容量为 n=2t+3t+5t=10t=80n=2t+3t+5t=10t=80. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(2,−3)\boldsymbol{b}=(2,-3)，若 ka−2bk\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 垂直，则实数 kk 等于______.
\begin{solution} 由 ka−2b=(k,k)−(4,−6)=(k−4,k+6)k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(k,k)-(4,-6)=(k-4,k+6). 垂直条件给出 (k−4,k+6)⋅(1,1)=0(k-4,k+6)\cdot(1,1)=0，即 k−4+k+6=0k-4+k+6=0. 所以 2k+2=02k+2=0，解得 k=−1k=-1. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如果过两点 A(a,0)A(a,0) 和 B(0,a)B(0,a) 的直线与抛物线 y=x2−2x−3y = x^{2} - 2x - 3 没有交点，那么实数 aa 的取值范围是______.
\begin{solution} 过 A(a,0)A(a,0)，B(0,a)B(0,a) 的直线方程为 x+y=ax+y=a，即 y=a−xy=a-x. 将它与抛物线方程联立，得 a−x=x2−2x−3a-x=x^2-2x-3，整理为 x2−x−a−3=0x^2-x-a-3=0. 直线与抛物线没有交点，等价于这个关于 xx 的方程没有实根，因此判别式满足 Δ=(−1)2−4(−a−3)=4a+13<0\Delta=(-1)^2-4(-a-3)=4a+13<0. 所以 a<−134a< -\dfrac{13}{4}，即 a∈(−∞,−134)a\in\left(-\infty,-\dfrac{13}{4}\right). \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 00，11，22，33，44，55 中任取 33 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 55 整除的三位数共有______ 个.（用数字作答）
\begin{solution} 能被 55 整除的三位数个位必须是 00 或 55.
当个位为 00 时，百位从 11，22，33，44，55 中选取，有 55 种；十位从剩下的 44 个数字中选取，有 44 种，共有 5⋅4=205\cdot4=20 个.
当个位为 55 时，百位不能为 00 或 55，有 44 种；十位从剩下的 44 个数字中选取，共有 4⋅4=164\cdot4=16 个. 因此共有 20+16=3620+16=36 个. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 tan⁡(π4+α)=12\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1}{2}.
(1) 求 tan⁡α\tan\alpha 的值； (2) 求 sin⁡2α−cos⁡2α1+cos⁡2α\frac{\sin 2\alpha - \cos^{2}\alpha}{1 + \cos 2\alpha} 的值.

2004 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛.
(1) 求所选 33 人都是男生的概率； (2) 求所选 33 人中恰有 11 名女生的概率； (3) 求所选 33 人中至少有 11 名女生的概率.

2004 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，侧棱 PD⊥PD \perp 底面 ABCDABCD，PD=DCPD = DC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 证明：PA∥PA \parallel 平面 EDBEDB； (2) 求 EBEB 与底面 ABCDABCD 所成的角的正切值.

2004 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是一个公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列，它的前 1010 项和 S10=110S_{10} = 110 且 a1a_{1}，a2a_{2}，a4a_{4} 成等比数列.
(1) 证明 a1=da_1 = d； (2) 求公差 dd 的值和数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2004 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+cx+df(x) = ax^3 + cx + d（a≠0a \neq 0）是 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x=1x = 1 时 f(x)f(x) 取得极值 −2-2.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极大值； (2) 证明对任意 x1x_{1}，x2∈(−1,1)x_{2} \in (-1, 1)，不等式 ∣f(x1)−f(x2)∣<4|f(x_{1}) - f(x_{2})| < 4 恒成立.

2004 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
椭圆的中心是原点 OO，它的短轴长为 222\sqrt{2}. 相应于焦点 F(c,0)F(c,0) （c>0c > 0）的准线 ll 与 xx 轴相交于点 AA，∣OF∣=2∣FA∣|OF| = 2|FA|. 过点 AA 的直线与椭圆相交于 PP，QQ 两点.
(1) 求椭圆的方程及离心率； (2) 若 OP→⋅OQ→=0\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0，求直线 PQPQ 的方程.

2004 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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