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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集为 U={1,2,3}U = \{1, 2, 3\}， A={1,2}A = \{1, 2\}，若集合则 ∁UA=\complement_U A =______.
\begin{answer} {3}\{3\} \end{answer}
\begin{solution} 全集中属于 UU 而不属于 AA 的元素只有 33，所以 ∁UA=U\A={3}\complement_U A=U\mathbin{\backslash} A=\{3\}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
计算： 1+ii=\frac{1 + \mathrm{i}}{\mathrm{i}} =______（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位）.
\begin{answer} 1−i1-\mathrm{i} \end{answer}
\begin{solution} 因为 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，所以 1+ii=1i+1=−i+1=1−i\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{i}}+1=-\mathrm{i}+1=1-\mathrm{i}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+π4)y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期为______.
\begin{answer} π\pi \end{answer}
\begin{solution} 正弦函数 sin⁡(ωx+φ)\sin(\omega x+\varphi) 的最小正周期为 2π∣ω∣\frac{2\pi}{|\omega|}. 这里 ∣ω∣=2|\omega|=2，因此最小正周期为 2π2=π\frac{2\pi}{2}=\pi. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04数列★☆☆☆☆
计算： lim⁡n→∞n2−32n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3}{2n^2 + n} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母同除以 n2n^2，得 n2−32n2+n=1−3n22+1n\frac{n^2-3}{2n^2+n}=\frac{1-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}. 令 n→∞n\to\infty，有 1−02+0=12\frac{1-0}{2+0}=\frac12. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
以 (2,6)(2, 6) 为圆心，11 为半径的圆的标准方程为______.
\begin{answer} (x−2)2+(y−6)2=1(x-2)^2+(y-6)^2=1 \end{answer}
\begin{solution} 圆心为 (x0,y0)(x_0,y_0)、半径为 rr 的圆的标准方程是 (x−x0)2+(y−y0)2=r2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2. 代入 (x0,y0)=(2,6)(x_0,y_0)=(2,6) 和 r=1r=1，得 (x−2)2+(y−6)2=1(x-2)^2+(y-6)^2=1. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a} = (1, 3)， b=(m,−1)\boldsymbol{b} = (m, -1)，若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 m=m =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 由两向量垂直，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 因而 1⋅m+3⋅(−1)=01\cdot m+3\cdot(-1)=0，即 m−3=0m-3=0，所以 m=3m=3. \end{solution}

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07函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2−2x+4y = x^2 - 2x + 4，x∈[0,2]x \in [0, 2] 的值域为______.
\begin{answer} [3,4][3,4] \end{answer}
\begin{solution} 将函数配方，得 y=x2−2x+4=(x−1)2+3y=x^2-2x+4=(x-1)^2+3. 当 x∈[0,2]x\in[0,2] 时，(x−1)2∈[0,1](x-1)^2\in[0,1]，所以 y∈[3,4]y\in[3,4]. 当 x=1x=1 时取得最小值 33，当 x=0x=0 或 x=2x=2 时取得最大值 44. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08不等式★☆☆☆☆
若线性方程组的增广矩阵为
(a0201b)\begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ 0 & 1 & b \end{pmatrix}
，解为
{x=2,y=1\begin{cases} x = 2,\\ y = 1 \end{cases}
，则 a+b=a + b =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 增广矩阵对应的方程组为
{ax=2,y=b\begin{cases} ax=2,\\ y=b \end{cases}
. 将解 x=2x=2、y=1y=1 代入，得 2a=22a=2 和 b=1b=1，即 a=1a=1、b=1b=1. 因此 a+b=2a+b=2. \end{solution}

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13不等式★☆☆☆☆
若 a<0<ba < 0 < b，则下列不等式恒成立的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 a<0<ba<0<b，可知 a3<0<b3a^3<0<b^3，因此 a3<b3a^3<b^3 恒成立. 选项 A 中左边为负、右边为正，不成立；选项 B、C 分别需要比较 −a-a 与 bb、∣a∣|a| 与 bb，均不能由已知条件确定. 故选 D. \end{solution}
A.
1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b}
B.
−a>b-a > b
C.
a2>b2a^2 > b^2
D.
a3<b3a^3 < b^3

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2y = x^{2}（x≥1x \geq 1） 的反函数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 原函数限制在 x≥1x\geq1 上，值域为 y≥1y\geq1. 交换 xx、yy 得 x=y2x=y^2，又因反函数的函数值满足 y≥1y\geq1，所以 y=xy=\sqrt{x} 且 x≥1x\geq1. 故选 A. \end{solution}
A.
y=xy = \sqrt{x}（x≥1x \geq 1）
B.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤−1x \leq -1）
C.
y=xy = \sqrt{x}（x≥0x \geq 0）
D.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤0x \leq 0）

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15不等式★☆☆☆☆
不等式 2−3xx−1>0\frac{2-3x}{x-1}>0的解集为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母的零点分别为 x=23x=\frac23 和 x=1x=1. 在 (−∞,23)(-\infty,\frac23)、(23,1)(\frac23,1)、(1,+∞)(1,+\infty) 上分别判断符号，只有 (23,1)(\frac23,1) 内分子、分母同号且分式为正. 两个端点均不能取，故解集为 (23,1)\left(\frac23,1\right). 选 D. \end{solution}
A.
(−∞,34)\left(-\infty,\frac{3}{4}\right)
B.
(−∞,23)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)
C.
(−∞,23)∪(1,+∞)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup(1,+\infty)
D.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)

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17解析几何★☆☆☆☆
直线 3x−4y−5=03x - 4y - 5 = 0 的倾斜角为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 将直线方程化为斜截式，得 y=34x−54y=\frac34x-\frac54，所以直线斜率为 34>0\frac34>0. 倾斜角 α∈[0,π)\alpha\in[0,\pi) 满足 tan⁡α=34\tan\alpha=\frac34，故 α=arctan⁡34\alpha=\arctan\frac34. 选 A. \end{solution}
A.
arctan⁡34\arctan\frac{3}{4}
B.
π−arctan⁡34\pi - \arctan\frac{3}{4}
C.
arctan⁡43\arctan\frac{4}{3}
D.
π−arctan⁡43\pi - \arctan\frac{4}{3}

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18立体几何初步★☆☆☆☆
底面半径为11，母线长为22的圆锥的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆锥的高为 h=22−12=3h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3. 因而体积为 V=13πr2h=13π⋅12⋅3=3π3V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot1^2\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3\pi}{3}. 故选 D. \end{solution}
A.
2π2\pi
B.
3π\sqrt{3}\pi
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
3π3\frac{\sqrt{3}\pi}{3}

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19解析几何★☆☆☆☆
以 (−3,0)(-3,0)和 (3,0)(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 焦点为 (−3,0)(-3,0)、(3,0)(3,0)，所以焦半距 c=3c=3. 长轴长为 88，故 a=4a=4. 由 b2=a2−c2b^2=a^2-c^2，得 b2=16−9=7b^2=16-9=7. 因此椭圆方程为 x216+y27=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1. 选 B. \end{solution}
A.
x216+y225=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
B.
x216+y27=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1
C.
x225+y216=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
D.
x27+y216=1\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{16}=1

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20复数★☆☆☆☆
在复平面上，满足 ∣z−1∣=∣z+i∣|z-1|=|z+\mathrm{i}|（i\mathrm{i} 为虚数单位）的复数 zz 对应的点的轨迹为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} ∣z−1∣=∣z+i∣|z-1|=|z+\mathrm{i}| 表示点 zz 到点 11 和点 −i-\mathrm{i} 的距离相等. 两个定点不同，满足到它们距离相等的点在这两个定点连线的垂直平分线上，是一条直线. 故选 D. \end{solution}
A.
椭圆
B.
圆
C.
线段
D.
直线

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