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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集为 U={1,2,3}U = \{1, 2, 3\}， A={1,2}A = \{1, 2\}，若集合则 ∁UA=\complement_U A =______.
\begin{answer} {3}\{3\} \end{answer}
\begin{solution} 全集中属于 UU 而不属于 AA 的元素只有 33，所以 ∁UA=U\A={3}\complement_U A=U\mathbin{\backslash} A=\{3\}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
计算： 1+ii=\frac{1 + \mathrm{i}}{\mathrm{i}} =______（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位）.
\begin{answer} 1−i1-\mathrm{i} \end{answer}
\begin{solution} 因为 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，所以 1+ii=1i+1=−i+1=1−i\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{i}}+1=-\mathrm{i}+1=1-\mathrm{i}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+π4)y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期为______.
\begin{answer} π\pi \end{answer}
\begin{solution} 正弦函数 sin⁡(ωx+φ)\sin(\omega x+\varphi) 的最小正周期为 2π∣ω∣\frac{2\pi}{|\omega|}. 这里 ∣ω∣=2|\omega|=2，因此最小正周期为 2π2=π\frac{2\pi}{2}=\pi. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04数列★☆☆☆☆
计算： lim⁡n→∞n2−32n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3}{2n^2 + n} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母同除以 n2n^2，得 n2−32n2+n=1−3n22+1n\frac{n^2-3}{2n^2+n}=\frac{1-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}. 令 n→∞n\to\infty，有 1−02+0=12\frac{1-0}{2+0}=\frac12. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
以 (2,6)(2, 6) 为圆心，11 为半径的圆的标准方程为______.
\begin{answer} (x−2)2+(y−6)2=1(x-2)^2+(y-6)^2=1 \end{answer}
\begin{solution} 圆心为 (x0,y0)(x_0,y_0)、半径为 rr 的圆的标准方程是 (x−x0)2+(y−y0)2=r2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2. 代入 (x0,y0)=(2,6)(x_0,y_0)=(2,6) 和 r=1r=1，得 (x−2)2+(y−6)2=1(x-2)^2+(y-6)^2=1. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(1,3)\boldsymbol{a} = (1, 3)， b=(m,−1)\boldsymbol{b} = (m, -1)，若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 m=m =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 由两向量垂直，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 因而 1⋅m+3⋅(−1)=01\cdot m+3\cdot(-1)=0，即 m−3=0m-3=0，所以 m=3m=3. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2−2x+4y = x^2 - 2x + 4，x∈[0,2]x \in [0, 2] 的值域为______.
\begin{answer} [3,4][3,4] \end{answer}
\begin{solution} 将函数配方，得 y=x2−2x+4=(x−1)2+3y=x^2-2x+4=(x-1)^2+3. 当 x∈[0,2]x\in[0,2] 时，(x−1)2∈[0,1](x-1)^2\in[0,1]，所以 y∈[3,4]y\in[3,4]. 当 x=1x=1 时取得最小值 33，当 x=0x=0 或 x=2x=2 时取得最大值 44. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08不等式★☆☆☆☆
若线性方程组的增广矩阵为
(a0201b)\begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ 0 & 1 & b \end{pmatrix}
，解为
{x=2,y=1\begin{cases} x = 2,\\ y = 1 \end{cases}
，则 a+b=a + b =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 增广矩阵对应的方程组为
{ax=2,y=b\begin{cases} ax=2,\\ y=b \end{cases}
. 将解 x=2x=2、y=1y=1 代入，得 2a=22a=2 和 b=1b=1，即 a=1a=1、b=1b=1. 因此 a+b=2a+b=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 lg⁡(2x+1)+lg⁡x=1\lg(2x+1)+\lg x=1 的解集为______.
\begin{answer} {2}\{2\} \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 x>0x>0，此时 2x+1>02x+1>0. 由对数运算法则，原方程等价于 lg⁡(x(2x+1))=1\lg\bigl(x(2x+1)\bigr)=1，所以 2x2+x=102x^2+x=10，即 2x2+x−10=02x^2+x-10=0. 因式分解得 (2x+5)(x−2)=0(2x+5)(x-2)=0，故 x=−52x=-\frac52 或 x=2x=2. 由定义域舍去 −52-\frac52，解集为 {2}\{2\}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+1x2)9\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{9} 的二项展开式中，常数项的值为______.
\begin{answer} 8484 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 C9kx9−k(x−2)k=C9kx9−3k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(x^{-2}\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-3k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 要得到常数项，必须有 9−3k=09-3k=0，所以 k=3k=3. 因此常数项的值为 C93=84\mathrm C_9^3=84. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为______（结果用数值表示）.
\begin{answer} 题面缺少所用数字集合，答案无法唯一确定. \end{answer}
\begin{solution} 原 PDF 题干只写“用数字组成”，没有给出所用数字的集合，因此答案不能由题面唯一确定. 例如，若所用数字为 11，22，33，则个位有 22 种奇数可选，百位、十位依次有 22、11 种选择，奇数共有 2×2×1=42\times2\times1=4 个；若所用数字为 00，11，…\ldots，99，则三位数为奇数当且仅当个位为奇数，个位有 55 种选择，百位不能为 00 且不能与个位重复，有 88 种选择，十位有 88 种选择，奇数共有 5×8×8=3205\times8\times8=320 个. 所以在不补充所用数字集合前，本题没有唯一确定的数值答案. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
已知点 A(1,0)A(1,0)，直线 ll：x=−1x=-1，两个动圆均过点 AA 且与 ll 相切，其圆心分别为 C1C_1，C2C_2，若动点 MM 满足 2C2M→=C2C1→+C2A→2\overrightarrow{C_2M} = \overrightarrow{C_2C_1} + \overrightarrow{C_2A}，则 MM 的轨迹方程为______.
\begin{answer} y2=2x−1y^2=2x-1 \end{answer}
\begin{solution} 设任一动圆圆心为 C=(u,v)C=(u,v). 因为圆过 A(1,0)A(1,0) 且与直线 x=−1x=-1 相切，所以圆心到 AA 的距离等于圆心到直线 x=−1x=-1 的距离，即 (u−1)2+v2=(u+1)2(u-1)^2+v^2=(u+1)^2. 化简得 v2=4uv^2=4u.
由向量关系，2(M−C2)=(C1−C2)+(A−C2)2(M-C_2)=(C_1-C_2)+(A-C_2)，从而 2M=C1+A2M=C_1+A. 设 C1=(u,v)C_1=(u,v)、M=(x,y)M=(x,y)，则 x=u+12x=\frac{u+1}{2}、y=v2y=\frac v2，即 u=2x−1u=2x-1、v=2yv=2y. 代入 v2=4uv^2=4u，得 4y2=4(2x−1)4y^2=4(2x-1)，所以轨迹方程为 y2=2x−1y^2=2x-1. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★☆☆☆☆
若 a<0<ba < 0 < b，则下列不等式恒成立的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 a<0<ba<0<b，可知 a3<0<b3a^3<0<b^3，因此 a3<b3a^3<b^3 恒成立. 选项 A 中左边为负、右边为正，不成立；选项 B、C 分别需要比较 −a-a 与 bb、∣a∣|a| 与 bb，均不能由已知条件确定. 故选 D. \end{solution}
A.
1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b}
B.
−a>b-a > b
C.
a2>b2a^2 > b^2
D.
a3<b3a^3 < b^3

2015 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2y = x^{2}（x≥1x \geq 1） 的反函数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 原函数限制在 x≥1x\geq1 上，值域为 y≥1y\geq1. 交换 xx、yy 得 x=y2x=y^2，又因反函数的函数值满足 y≥1y\geq1，所以 y=xy=\sqrt{x} 且 x≥1x\geq1. 故选 A. \end{solution}
A.
y=xy = \sqrt{x}（x≥1x \geq 1）
B.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤−1x \leq -1）
C.
y=xy = \sqrt{x}（x≥0x \geq 0）
D.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤0x \leq 0）

2015 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15不等式★☆☆☆☆
不等式 2−3xx−1>0\frac{2-3x}{x-1}>0的解集为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母的零点分别为 x=23x=\frac23 和 x=1x=1. 在 (−∞,23)(-\infty,\frac23)、(23,1)(\frac23,1)、(1,+∞)(1,+\infty) 上分别判断符号，只有 (23,1)(\frac23,1) 内分子、分母同号且分式为正. 两个端点均不能取，故解集为 (23,1)\left(\frac23,1\right). 选 D. \end{solution}
A.
(−∞,34)\left(-\infty,\frac{3}{4}\right)
B.
(−∞,23)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)
C.
(−∞,23)∪(1,+∞)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup(1,+\infty)
D.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)

2015 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，是奇函数且在 (0,+∞)(0,+\infty)上单调递增的为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=x2y=x^2 不是奇函数；函数 y=x−1y=x^{-1} 虽为奇函数，但在正半轴上单调递减；函数 y=x−12y=x^{-\frac12} 的定义域不是关于原点对称，且在正半轴上递减. 函数 y=x13y=x^{\frac13} 满足 (−x)13=−x13(-x)^{\frac13}=-x^{\frac13}，是奇函数，并且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增. 故选 B. \end{solution}
A.
y=x2y = x^{2}
B.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}
C.
y=x−1y = x^{-1}
D.
y=x−12y = x^{-\frac{1}{2}}

2015 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17解析几何★☆☆☆☆
直线 3x−4y−5=03x - 4y - 5 = 0 的倾斜角为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 将直线方程化为斜截式，得 y=34x−54y=\frac34x-\frac54，所以直线斜率为 34>0\frac34>0. 倾斜角 α∈[0,π)\alpha\in[0,\pi) 满足 tan⁡α=34\tan\alpha=\frac34，故 α=arctan⁡34\alpha=\arctan\frac34. 选 A. \end{solution}
A.
arctan⁡34\arctan\frac{3}{4}
B.
π−arctan⁡34\pi - \arctan\frac{3}{4}
C.
arctan⁡43\arctan\frac{4}{3}
D.
π−arctan⁡43\pi - \arctan\frac{4}{3}

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18立体几何初步★☆☆☆☆
底面半径为11，母线长为22的圆锥的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆锥的高为 h=22−12=3h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3. 因而体积为 V=13πr2h=13π⋅12⋅3=3π3V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot1^2\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3\pi}{3}. 故选 D. \end{solution}
A.
2π2\pi
B.
3π\sqrt{3}\pi
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
3π3\frac{\sqrt{3}\pi}{3}

2015 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 选择题

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19解析几何★☆☆☆☆
以 (−3,0)(-3,0)和 (3,0)(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 焦点为 (−3,0)(-3,0)、(3,0)(3,0)，所以焦半距 c=3c=3. 长轴长为 88，故 a=4a=4. 由 b2=a2−c2b^2=a^2-c^2，得 b2=16−9=7b^2=16-9=7. 因此椭圆方程为 x216+y27=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1. 选 B. \end{solution}
A.
x216+y225=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
B.
x216+y27=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1
C.
x225+y216=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
D.
x27+y216=1\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{16}=1

2015 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 选择题

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20复数★☆☆☆☆
在复平面上，满足 ∣z−1∣=∣z+i∣|z-1|=|z+\mathrm{i}|（i\mathrm{i} 为虚数单位）的复数 zz 对应的点的轨迹为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} ∣z−1∣=∣z+i∣|z-1|=|z+\mathrm{i}| 表示点 zz 到点 11 和点 −i-\mathrm{i} 的距离相等. 两个定点不同，满足到它们距离相等的点在这两个定点连线的垂直平分线上，是一条直线. 故选 D. \end{solution}
A.
椭圆
B.
圆
C.
线段
D.
直线

2015 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 选择题

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21数列★★★☆☆
若无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1>0a_{1} > 0，公差 d<0d < 0， {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d，且 d<0d<0，所以 ana_n 随 nn 严格递减，并且 an→−∞a_n\to-\infty. 又 Sn+1−Sn=an+1S_{n+1}-S_n=a_{n+1}，而 an+1a_{n+1} 随 nn 严格递减且最终为负，所以 SnS_n 的增减趋势至多从增大变为减小；若某项 an+1=0a_{n+1}=0，则相邻两项 SnS_n 和 Sn+1S_{n+1} 相等. 因此 SnS_n 必有最大值. 又
Sn=n2(2a1+(n−1)d)→−∞S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)\to-\infty
所以没有最小值. 故选 C. \end{solution}
A.
SnS_{n} 单调递减
B.
SnS_{n} 单调递增
C.
SnS_{n} 有最大值
D.
SnS_{n} 有最小值

2015 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 选择题

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22不等式★★☆☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，若 a+b=4a + b = 4，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b=4a+b=4，有 a2+b2≥(a+b)22=8a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=8，且当 a=b=2a=b=2 时取等号，所以选项 A 正确. 另一方面，ab\sqrt{ab} 在 a=ba=b 时取得最大值；1a+1b=4ab\frac1a+\frac1b=\frac4{ab} 在 a=ba=b 时取得最小值而无最大值；由 a+b≤22\sqrt a+\sqrt b\leq2\sqrt2，得 1a+b≥122\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\geq\frac{1}{2\sqrt2}，其在 a=b=2a=b=2 时取得最小值，且上确界 12\frac12 不取到，因而没有最大值. 故选 A. \end{solution}
A.
a2+b2a^2 + b^2有最小值
B.
ab\sqrt{ab}有最小值
C.
1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b}有最大值
D.
1a+b\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}有最大值

2015 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 选择题

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23计数原理与组合数学★★☆☆☆
组合数 Cnm+2Cnm−1+Cnm−2\mathrm C_n^m + 2\mathrm C_n^{m-1} + \mathrm C_n^{m-2}（n≥m≥2n \geq m \geq 2，mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）恒等于（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 利用组合数递推公式，Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_n^m+\mathrm C_n^{m-1}=\mathrm C_{n+1}^m，且 Cnm−1+Cnm−2=Cn+1m−1\mathrm C_n^{m-1}+\mathrm C_n^{m-2}=\mathrm C_{n+1}^{m-1}. 因而原式等于 Cn+1m+Cn+1m−1=Cn+2m\mathrm C_{n+1}^m+\mathrm C_{n+1}^{m-1}=\mathrm C_{n+2}^m. 故选 A. \end{solution}
A.
Cn+2m\mathrm C_{n+2}^{m}
B.
Cn+2m+1\mathrm C_{n+2}^{m+1}
C.
Cn+1m\mathrm C_{n+1}^{m}
D.
Cn+1m+1\mathrm C_{n+1}^{m+1}

2015 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 选择题

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24集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 P1={x∣x2+ax+1>0}P_1 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 1 > 0 \right\}， P2={x∣x2+ax+2>0}P_2 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 2 > 0 \right\}， Q1={x∣x2+x+b>0}Q_1 = \left\{ x \mid x^2 + x + b > 0 \right\}， Q2={x∣x2+2x+b>0}Q_2 = \left\{ x \mid x^2 + 2x + b > 0 \right\} 其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 x∈P1x\in P_1，则 x2+ax+1>0x^2+ax+1>0，从而 x2+ax+2=(x2+ax+1)+1>0x^2+ax+2=(x^2+ax+1)+1>0，所以对任意 aa，都有 P1⊆P2P_1\subseteq P_2.
取 b>1b>1，则 x2+x+b>0x^2+x+b>0 和 x2+2x+b>0x^2+2x+b>0 的判别式分别为 1−4b<01-4b<0 和 4−4b<04-4b<0，于是 Q1=Q2=RQ_1=Q_2=\mathbf{R}，特别地 Q1⊆Q2Q_1\subseteq Q_2. 因此选项 B 正确. \end{solution}
A.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
B.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集
C.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
D.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集

2015 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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25立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱中 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}， AB=1AB=1， D1BD_{1}B 和平面 ABCDABCD 所成的角的大小为 arctan⁡324\arctan\frac{3\sqrt{2}}{4}，求该四棱柱的表面积.
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 hh. 线段 D1BD_1B 在底面 ABCDABCD 上的射影为底面对角线 DBDB，所以 DB=2DB=\sqrt2. 设 D1BD_1B 与底面所成的角为 θ\theta，则 tan⁡θ=hDB=h2\tan\theta=\frac{h}{DB}=\frac{h}{\sqrt2}. 由题意 tan⁡θ=324\tan\theta=\frac{3\sqrt2}{4}，故 h=2⋅324=32h=\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{4}=\frac32.
正四棱柱的表面积为两个底面积与四个侧面积之和，因此 S=2⋅12+4⋅1⋅32=8S=2\cdot1^2+4\cdot1\cdot\frac32=8. 所以该四棱柱的表面积为 88. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 25 题 · 解答题

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