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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡35⋅log⁡59\log_{3}5\cdot\log_{5}9 的值等于______. \begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 利用换底公式， log⁡35⋅log⁡59=ln⁡5ln⁡3⋅ln⁡9ln⁡5=ln⁡9ln⁡3=2\log_{3}5\cdot\log_{5}9=\dfrac{\ln5}{\ln3}\cdot\dfrac{\ln9}{\ln5}=\dfrac{\ln9}{\ln3}=2. 因此填 22. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=8a_{1} = 8，且满足 an=2an−1a_{n} = 2a_{n-1}（n=2n = 2，33，⋯\cdots），则 a4a_{4} 的数值是______. \begin{answer} 6464 \end{answer}
\begin{solution} 由递推关系逐项计算，a2=2a1=16a_{2}=2a_{1}=16，a3=2a2=32a_{3}=2a_{2}=32，a4=2a3=64a_{4}=2a_{3}=64. 因此填 6464. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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06三角函数★☆☆☆☆
cos⁡π5+cos⁡2π5+cos⁡3π5+cos⁡4π5\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} 的值等于______. \begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 利用 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta，有 cos⁡4π5=−cos⁡π5\cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac{\pi}{5}，以及 cos⁡3π5=−cos⁡2π5\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}. 因而四项两两相消，原和为 00. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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08立体几何初步★☆☆☆☆
在一个长方体中，和其中一条确定的棱相垂直的棱的总数是______ 条. \begin{answer} 88 \end{answer}
\begin{solution} 长方体的棱只有三个方向，任取一条固定的棱后，与它同方向的另外三条棱均平行，不能计入；另外两个方向各有四条棱，并且这八条棱的方向都与固定棱垂直. 因此总数为 4+4=84+4=8 条. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=2−xy = 2^{-x} 的图象的大致形状是（ ）
\begin{answer} E \end{answer}
\begin{solution} y=2−x=(12)xy=2^{-x}=\left(\frac12\right)^x 的函数值始终为正，且底数 12\frac12 小于 11，所以图象从左向右递减；又有 f(0)=1f(0)=1，并且当 x→+∞x\to+\infty 时 f(x)→0f(x)\to0. 第五项的图象同时具有这些特征，故选第五项. \end{solution}
A.
B.
C.
D.
E.

1985 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=lg⁡(1−x)y = \sqrt{\lg(1 - x)} 的定义域是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 要使 lg⁡(1−x)\sqrt{\lg(1-x)} 有意义，首先须有 1−x>01-x>0，并且根式内还须满足 lg⁡(1−x)⩾0\lg(1-x)\geqslant0. 因为常用对数的底数大于 11，所以 1−x⩾11-x\geqslant1，即 x⩽0x\leqslant0. 定义域为 (−∞,0](-\infty,0]，故选第二项. \end{solution}
A.
(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
B.
(−∞,0](-\infty, 0]
C.
(−∞,0)(-\infty, 0)
D.
(−∞,1](-\infty, 1]
E.
(−∞,1)(-\infty, 1)

1985 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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15函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，为奇函数的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 逐项检验奇函数条件 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). x2+x3x^{2}+x^{3} 的偶次项不满足该条件；log⁡xx\log_xx 的定义域为 x>0x>0 且 x≠1x\ne1，不是关于原点对称；sin⁡x+1\sin x+1 含常数项；∣x∣3|x|^{3} 是偶函数. 对于 f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=−x3=−x3=−f(x)f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x)，所以它是奇函数. 故选第四项. \end{solution}
A.
x2+x3x^{2} + x^{3}
B.
log⁡xx\log_{x}x
C.
sin⁡x+1\sin x + 1
D.
x3\sqrt[3]{x}
E.
∣x∣3|x|^{3}

1985 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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17函数与初等函数★☆☆☆☆
y=x2y = x^{2}（x⩽0x \leqslant 0）的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 原函数在 x⩽0x\leqslant0 上为单调递减，值域为 [0,+∞)[0,+\infty). 由 y=x2y=x^{2} 且 x⩽0x\leqslant0，解得 x=−yx=-\sqrt y. 交换自变量与因变量，反函数为 y=−xy=-\sqrt x，其定义域为 x⩾0x\geqslant0. 故选第三项. \end{solution}
A.
y=xy = \sqrt{x}
B.
y=±xy = \pm \sqrt{x}
C.
y=−xy = -\sqrt{x}
D.
y=−xy = \sqrt{-x}
E.
y=−−xy = -\sqrt{-x}

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23解析几何★☆☆☆☆
已知圆的方程为 x2+y2−2x+6y+8=0x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + 8 = 0，那么通过圆心的一条直线的方程是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 配方得 x2−2x+y2+6y+8=0x^{2}-2x+y^{2}+6y+8=0，即 (x−1)2+(y+3)2=2(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=2. 所以圆心为 (1,−3)(1,-3). 逐项代入圆心坐标，只有 2x+y+1=2−3+1=02x+y+1=2-3+1=0 成立，故通过圆心的直线可取第二项. \end{solution}
A.
2x−y+1=02x - y + 1 = 0
B.
2x+y+1=02x + y + 1 = 0
C.
2x−y−1=02x - y - 1 = 0
D.
2x+y−1=02x + y - 1 = 0
E.
y−2x+2=0y - 2x + 2 = 0

1985 · 广东 · 文 · 第 23 题 · 选择题

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