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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡35⋅log⁡59\log_{3}5\cdot\log_{5}9 的值等于______. \begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 利用换底公式， log⁡35⋅log⁡59=ln⁡5ln⁡3⋅ln⁡9ln⁡5=ln⁡9ln⁡3=2\log_{3}5\cdot\log_{5}9=\dfrac{\ln5}{\ln3}\cdot\dfrac{\ln9}{\ln5}=\dfrac{\ln9}{\ln3}=2. 因此填 22. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=8a_{1} = 8，且满足 an=2an−1a_{n} = 2a_{n-1}（n=2n = 2，33，⋯\cdots），则 a4a_{4} 的数值是______. \begin{answer} 6464 \end{answer}
\begin{solution} 由递推关系逐项计算，a2=2a1=16a_{2}=2a_{1}=16，a3=2a2=32a_{3}=2a_{2}=32，a4=2a3=64a_{4}=2a_{3}=64. 因此填 6464. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★★☆☆☆
复数 3−i\sqrt{3}-\mathrm{i} 的三角形式是______. \begin{answer} 2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right) \end{answer}
\begin{solution} 复数 z=3−iz=\sqrt3-\mathrm{i} 的模为 ∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2. 它的实部为正、虚部为负，辐角在第四象限，且 cos⁡θ=32\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}、sin⁡θ=−12\sin\theta=-\frac12，故可取 θ=11π6\theta=\frac{11\pi}{6}. 所以 z=2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)z=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)，与答案一致. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
如果 f(1x)=x1−x2f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1-x^{2}}，则 f(x)=f(x)=______. \begin{answer} xx2−1\frac{x}{x^{2}-1} \end{answer}
\begin{solution} 令 t=1xt=\frac1x，则 x=1tx=\frac1t. 在原式有意义的范围内， f(t)=1t1−1t2=1t(t2−1)t2=tt2−1f(t)=\dfrac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t^{2}}}=\dfrac{\frac{1}{t}}{\frac{(t^{2}-1)}{t^{2}}}=\dfrac{t}{t^{2}-1}. 将字母 tt 改写为 xx，得 f(x)=xx2−1f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}. 这里原条件要求代换时 x≠0x\ne0，±1\pm1，所得函数式在相应定义范围内成立. \end{solution}

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05立体几何初步★★☆☆☆
如果一个圆锥底面的半径增大到原来的 3 倍，但要保持它的体积不变，则其高必须缩小到原来的______. \begin{answer} 19\frac{1}{9} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥原来的底面半径和高分别为 rr、hh，则体积为 V=13πr2hV=\frac13\pi r^{2}h. 半径变为 3r3r 后，若高为 h′h'，由体积不变得 13π(3r)2h′=13πr2h\frac13\pi(3r)^{2}h'=\frac13\pi r^{2}h，所以 9h′=h9h'=h，即 h′=19hh'=\frac19h. 因此填 19\frac19. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★☆☆☆☆
cos⁡π5+cos⁡2π5+cos⁡3π5+cos⁡4π5\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} 的值等于______. \begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 利用 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta，有 cos⁡4π5=−cos⁡π5\cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac{\pi}{5}，以及 cos⁡3π5=−cos⁡2π5\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}. 因而四项两两相消，原和为 00. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2)}{n(n + 1)} 的值等于______. \begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分子是首项为 11、公差为 33、项数为 nn 的等差数列之和，因此 1+4+7+⋯+(3n−2)=n[1+(3n−2)]2=n(3n−1)21+4+7+\cdots+(3n-2)=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}. 所以 lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)=lim⁡n→∞3n−12(n+1)=32\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\cdots+(3n-2)}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2(n+1)}=\frac32. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★☆☆☆☆
在一个长方体中，和其中一条确定的棱相垂直的棱的总数是______ 条. \begin{answer} 88 \end{answer}
\begin{solution} 长方体的棱只有三个方向，任取一条固定的棱后，与它同方向的另外三条棱均平行，不能计入；另外两个方向各有四条棱，并且这八条棱的方向都与固定棱垂直. 因此总数为 4+4=84+4=8 条. \end{solution}

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09解析几何★★☆☆☆
双曲线 x23−y2=1\frac{x^2}{3} - y^2 = 1 的两条渐近线所夹的锐角的大小是______ 弧度. \begin{answer} π3\frac{\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 双曲线可写为 x2(3)2−y212=1\frac{x^{2}}{(\sqrt3)^{2}}-\frac{y^{2}}{1^{2}}=1，所以两条渐近线为 y=x3y=\frac{x}{\sqrt3} 和 y=−x3y=-\frac{x}{\sqrt3}. 设它们的锐角为 θ\theta，则 tan⁡θ=∣13−(−13)1−13∣=3\tan\theta=\left|\dfrac{\frac1{\sqrt3}-(-\frac1{\sqrt3})}{1-\frac13}\right|=\sqrt3. 因为 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2，故 θ=π3\theta=\frac\pi3. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡2(2x)y = \sin^{2}(2x) 的最小正周期是______. \begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由恒等式 sin⁡2(2x)=1−cos⁡4x2\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos4x}{2}，函数的周期由 cos⁡4x\cos4x 决定. 其最小正周期 TT 满足 4T=2π4T=2\pi，所以 T=π2T=\frac\pi2. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=2−xy = 2^{-x} 的图象的大致形状是（ ）
\begin{answer} E \end{answer}
\begin{solution} y=2−x=(12)xy=2^{-x}=\left(\frac12\right)^x 的函数值始终为正，且底数 12\frac12 小于 11，所以图象从左向右递减；又有 f(0)=1f(0)=1，并且当 x→+∞x\to+\infty 时 f(x)→0f(x)\to0. 第五项的图象同时具有这些特征，故选第五项. \end{solution}
A.
B.
C.
D.
E.

1985 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=lg⁡(1−x)y = \sqrt{\lg(1 - x)} 的定义域是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 要使 lg⁡(1−x)\sqrt{\lg(1-x)} 有意义，首先须有 1−x>01-x>0，并且根式内还须满足 lg⁡(1−x)⩾0\lg(1-x)\geqslant0. 因为常用对数的底数大于 11，所以 1−x⩾11-x\geqslant1，即 x⩽0x\leqslant0. 定义域为 (−∞,0](-\infty,0]，故选第二项. \end{solution}
A.
(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
B.
(−∞,0](-\infty, 0]
C.
(−∞,0)(-\infty, 0)
D.
(−∞,1](-\infty, 1]
E.
(−∞,1)(-\infty, 1)

1985 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
以 A(1,3)A(1, 3)，B(−5,1)B(-5, 1) 为端点的线段的垂直平分线的方程是（ ）
\begin{answer} E \end{answer}
\begin{solution} 线段 ABAB 的中点为 M(−2,2)M\left(-2,2\right)，斜率为 1−3−5−1=13\dfrac{1-3}{-5-1}=\frac13. 垂直平分线的斜率为 −3-3，所以其方程为 y−2=−3(x+2)y-2=-3(x+2)，即 3x+y+4=03x+y+4=0. 因此选 E. \end{solution}
A.
3x−y+8=03x - y + 8 = 0
B.
3x+y+8=03x + y + 8 = 0
C.
2x−y−6=02x - y - 6 = 0
D.
2x+y+2=02x + y + 2 = 0
E.
3x+y+4=03x + y + 4 = 0

1985 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14三角函数★★☆☆☆
下列不等式中，成立的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 sin⁡7π8=sin⁡π8\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\frac\pi8，而 3π8>π8\frac{3\pi}{8}>\frac\pi8 且正弦函数在 (0,π2)\left(0,\frac\pi2\right) 上递增，所以 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，第一项错. cos⁡3π8>0>cos⁡7π8\cos\frac{3\pi}{8}>0>\cos\frac{7\pi}{8}，所以第二项错. 两个正弦值均为正，且 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，取倒数后不等号反向，得到 csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc\frac{3\pi}{8}<\csc\frac{7\pi}{8}，第三项对. 又 cot⁡3π8>0>cot⁡7π8\cot\frac{3\pi}{8}>0>\cot\frac{7\pi}{8}，第四项错；tan⁡3π8>0>tan⁡7π8\tan\frac{3\pi}{8}>0>\tan\frac{7\pi}{8}，第五项错. 故选第三项. \end{solution}
A.
sin⁡3π8<sin⁡7π8\sin \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{7\pi}{8}
B.
cos⁡3π8<cos⁡7π8\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{7\pi}{8}
C.
csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc \frac{3\pi}{8} < \csc \frac{7\pi}{8}
D.
cot⁡3π8<cot⁡7π8\cot \frac{3\pi}{8} < \cot \frac{7\pi}{8}
E.
tan⁡3π8<tan⁡7π8\tan \frac{3\pi}{8} < \tan \frac{7\pi}{8}

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15函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，为奇函数的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 逐项检验奇函数条件 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). x2+x3x^{2}+x^{3} 的偶次项不满足该条件；log⁡xx\log_xx 的定义域为 x>0x>0 且 x≠1x\ne1，不是关于原点对称；sin⁡x+1\sin x+1 含常数项；∣x∣3|x|^{3} 是偶函数. 对于 f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=−x3=−x3=−f(x)f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x)，所以它是奇函数. 故选第四项. \end{solution}
A.
x2+x3x^{2} + x^{3}
B.
log⁡xx\log_{x}x
C.
sin⁡x+1\sin x + 1
D.
x3\sqrt[3]{x}
E.
∣x∣3|x|^{3}

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16三角函数★★☆☆☆
已知 180∘<α<270∘180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}，且 sin⁡(270∘+α)=45\sin (270^{\circ} + \alpha) = \frac{4}{5}，则 tan⁡α2=\tan \frac{\alpha}{2} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡(270∘+α)=−cos⁡α\sin(270^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha，题设给出 cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45. 因为 180∘<α<270∘180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}，故 sin⁡α=−35\sin\alpha=-\frac35. 半角公式给出 tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=−351−45=−3\tan\frac\alpha2=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{1-\frac{4}{5}}=-3. 因此选第四项. \end{solution}
A.
3
B.
2
C.
−2-2
D.
−3-3
E.
−13-\frac{1}{3}

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17函数与初等函数★☆☆☆☆
y=x2y = x^{2}（x⩽0x \leqslant 0）的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 原函数在 x⩽0x\leqslant0 上为单调递减，值域为 [0,+∞)[0,+\infty). 由 y=x2y=x^{2} 且 x⩽0x\leqslant0，解得 x=−yx=-\sqrt y. 交换自变量与因变量，反函数为 y=−xy=-\sqrt x，其定义域为 x⩾0x\geqslant0. 故选第三项. \end{solution}
A.
y=xy = \sqrt{x}
B.
y=±xy = \pm \sqrt{x}
C.
y=−xy = -\sqrt{x}
D.
y=−xy = \sqrt{-x}
E.
y=−−xy = -\sqrt{-x}

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18集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 R={实数}R = \{\text{实数}\}，M={纯虚数}M = \{\text{纯虚数}\}，C={复数}C = \{\text{复数}\}，其中 CC 是全集，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在全集 CC 中，R‾\overline R 是实数集 RR 的补集，因此任意复数必属于 RR 或 R‾\overline R，且不可能同时属于二者，从而 R∪R‾=CR\cup\overline R=C，第一项正确. 对第二项，M‾∪R\overline M\cup R 不包含非零纯虚数；对第三项，M∪RM\cup R 不包含实部、虚部均非零的复数；对第四项，按本题“纯虚数”的定义，M∩R=∅≠{0}M\cap R=\varnothing\ne\{0\}；对第五项，C∩R‾=R‾C\cap\overline R=\overline R 是非实数复数集，不等于纯虚数集 MM. 因此只有第一项正确，故选第一项. \end{solution}
A.
R∪R‾=CR \cup \overline{R} = C
B.
M‾∪R=C\overline{M} \cup R = C
C.
M∪R=CM \cup R = C
D.
M∩R={0}M \cap R = \{0\}
E.
C∩R‾=MC \cap \overline{R} = M

1985 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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19复数★★☆☆☆
设向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 对应于复数 −23+4i-2\sqrt{3} + 4\mathrm{i}. 把 OZ→\overrightarrow{OZ} 按顺时针方向旋转 60∘60^\circ 得到 OZ1→\overrightarrow{OZ_1}，则与向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_1} 对应的复数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 顺时针旋转 60∘60^{\circ} 等价于乘以复数 cos⁡(−60∘)+isin⁡(−60∘)=12−32i\cos(-60^{\circ})+\mathrm{i}\sin(-60^{\circ})=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}. 因而旋转后的复数为 (−23+4i)(12−32i)=−3+3i+2i+23=3+5i(-2\sqrt3+4\mathrm{i})\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)=-\sqrt3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+2\sqrt3=\sqrt3+5\mathrm{i}. 所以选第二项. \end{solution}
A.
−33−i-3\sqrt{3} - \mathrm{i}
B.
3+5i\sqrt{3} + 5\mathrm{i}
C.
−23−4i-2\sqrt{3} - 4\mathrm{i}
D.
23+4i2\sqrt{3} + 4\mathrm{i}
E.
1+33i1 + 3\sqrt{3}\mathrm{i}

1985 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 选择题

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20计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班上午要上语文，数学，体育，外语四门课，其中体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 体育课只能安排在第二节或第三节，有 22 种选择. 确定体育课的位置后，语文、数学、外语在其余三节中任意排列，有 3!=63!=6 种. 因此排课方案数为 2×3!=122\times3!=12，选 B. \end{solution}
A.
10
B.
12
C.
20
D.
22
E.
24

1985 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 选择题

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21计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)6\left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的展开式中常数项是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 展开通项中，若取 kk 个 xx，取 6−k6-k 个 x−12x^{-\frac{1}{2}}，则该项的幂次为 k−6−k2=3k−62k-\frac{6-k}{2}=\frac{3k-6}{2}. 常数项要求幂次为零，所以 k=2k=2. 其系数为 C62=15\mathrm C_6^2=15，故选第三项. \end{solution}
A.
1
B.
6
C.
15
D.
20
E.
30

1985 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 选择题

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22不等式★★☆☆☆
不等式 ∣2x−3∣>3|2x-3|>3 的解集是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 绝对值不等式等价于 2x−3>32x-3>3 或 2x−3<−32x-3<-3. 分别解得 x>3x>3 或 x<0x<0，所以解集为 {x∣x>3或x<0}\{x\mid x>3\text{或}x<0\}，选 D. \end{solution}
A.
{x∣x>3}\{x\mid x>3\}
B.
{x∣x<0}\{x\mid x<0\}
C.
{x∣x>3且x<0}\{x\mid x>3 \text{且} x<0\}
D.
{x∣x>3或x<0}\{x\mid x>3\text{或}x<0\}
E.
{x∣0<x<3}\{x\mid 0<x<3\}

1985 · 广东 · 文 · 第 22 题 · 选择题

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23解析几何★☆☆☆☆
已知圆的方程为 x2+y2−2x+6y+8=0x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + 8 = 0，那么通过圆心的一条直线的方程是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 配方得 x2−2x+y2+6y+8=0x^{2}-2x+y^{2}+6y+8=0，即 (x−1)2+(y+3)2=2(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=2. 所以圆心为 (1,−3)(1,-3). 逐项代入圆心坐标，只有 2x+y+1=2−3+1=02x+y+1=2-3+1=0 成立，故通过圆心的直线可取第二项. \end{solution}
A.
2x−y+1=02x - y + 1 = 0
B.
2x+y+1=02x + y + 1 = 0
C.
2x−y−1=02x - y - 1 = 0
D.
2x+y−1=02x + y - 1 = 0
E.
y−2x+2=0y - 2x + 2 = 0

1985 · 广东 · 文 · 第 23 题 · 选择题

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24解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的焦点是 (1,0)(1, 0) 和 (−3,0)(-3, 0)，且短半轴长为 3，则椭圆的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 两焦点的中点是椭圆中心 (−1,0)(-1,0)，半焦距为 c=2c=2. 短半轴长为 b=3b=3，故长半轴满足 a2=b2+c2=9+4=13a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+4=13. 长轴在 xx 轴上，所以椭圆方程为 (x+1)213+y29=1\dfrac{(x+1)^{2}}{13}+\dfrac{y^{2}}9=1，选 A. \end{solution}
A.
(x+1)213+y29=1\frac{(x + 1)^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
B.
x213+y29=1\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
C.
(x−1)213+y29=1\frac{(x - 1)^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
D.
(x+1)29+y213=1\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{y^2}{13} = 1
E.
x213+(y−1)29=1\frac{x^2}{13} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1

1985 · 广东 · 文 · 第 24 题 · 选择题

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25立体几何初步★★☆☆☆
在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 两条相交直线可以确定一个平面，但第一、第二、第五项都没有排除直线共点、平行或异面等情形，第三项的三个点也可能共线，均不能保证唯一确定平面. 若三条直线两两相交但不共点，任取其中两条直线确定一个平面；第三条直线分别与这两条直线相交于两个不同的点，因此第三条直线也在该平面内. 所以三条直线共面并确定一个平面，故选第四项. \end{solution}
A.
两两相交的三条直线
B.
三条直线，其中的一条直线与另外两条直线分别相交
C.
三个点
D.
三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
E.
两条直线

1985 · 广东 · 文 · 第 25 题 · 选择题

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