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01复数★★☆☆☆
若 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z2=−1z^2 = -1 的 θ\theta 值可能是（ ）
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 由复数的三角形式，
z2=cos⁡2θ+isin⁡2θz^2=\cos 2\theta+\mathrm{i}\sin 2\theta
要使 z2=−1z^2=-1，必须有 cos⁡2θ=−1\cos 2\theta=-1 且 sin⁡2θ=0\sin 2\theta=0，即 2θ=(2k+1)π2\theta=(2k+1)\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因而 θ=2k+12π\theta=\frac{2k+1}{2}\pi. 四个选项中只有 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 满足条件，故选 D. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2007 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设 α∈{−1,1,12,3}\alpha \in \left\{-1, 1, \frac{1}{2}, 3\right\}，则使函数 y=xαy = x^{\alpha} 的定义域为 R\mathbf{R} 且为奇函数的所有 α\alpha 值为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 逐一考察集合中的指数：当 α=−1\alpha=-1 时，y=x−1y=x^{-1} 在 x=0x=0 处无定义；当 α=12\alpha=\frac{1}{2} 时，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，二者都不满足定义域为 R\mathbf{R}. 当 α=1\alpha=1 或 α=3\alpha=3 时，定义域均为 R\mathbf{R}，且
(−x)α=−xα(-x)^\alpha=-x^\alpha
因此所求 α\alpha 为 1,31,3，故选 A. \end{solution}
A.
11，33
B.
−1-1，11
C.
−1-1，33
D.
−1-1，11，33

2007 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+π6)+cos⁡(2x+π3)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的最小正周期和最大值分别为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 利用和差化积公式，
y=sin⁡(2x+π6)+sin⁡(π2−2x−π3)=sin⁡(2x+π6)+sin⁡(π6−2x)=2sin⁡π6cos⁡2x=cos⁡2xy=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=2\sin\frac{\pi}{6}\cos 2x=\cos 2x
所以函数的最小正周期为 π\pi，最大值为 11，故选 A. \end{solution}
A.
π,1\pi, 1
B.
π\pi，2\sqrt{2}
C.
2π2\pi，11
D.
2π2\pi，2\sqrt{2}

2007 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y)，f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y)f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}. 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
\begin{answer}B\end{answer}
\begin{solution} 对 f(x)=3xf(x)=3^x，有 f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y)f(x+y)=3^{x+y}=3^x3^y=f(x)f(y)，满足第二个等式. 对 f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，在 xx，y>0y>0 时有 f(xy)=log⁡2(xy)=log⁡2x+log⁡2yf(xy)=\log_2(xy)=\log_2x+\log_2y，满足第一个等式. 对 f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x，在两边有定义且分母不为零时，由正切的和角公式满足第三个等式.
而 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 不满足第一个等式，例如取 x=y=π2x=y=\frac{\pi}{2}，有 sin⁡(xy)=sin⁡π24≠2\sin(xy)=\sin\frac{\pi^2}{4}\neq2；也不满足第二个等式，例如取 x=y=π2x=y=\frac{\pi}{2}，有 sin⁡(x+y)=0≠1\sin(x+y)=0\neq1；第三个等式是正切的和角公式，正弦函数也不满足，例如取 x=y=π6x=y=\frac{\pi}{6}，左边为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，右边为 12+121−14=43\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}. 因此选 B. \end{solution}
A.
f(x)=3xf(x) = 3^{x}
B.
f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
C.
f(x)=log⁡2xf(x) = \log_2x
D.
f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x

2007 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
某班 5050 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒13\text{ 秒} 与 19 秒19\text{ 秒} 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒13\text{ 秒} 且小于 14 秒14\text{ 秒}；第二组，成绩大于等于 14 秒14\text{ 秒} 且小于 15 秒15\text{ 秒}；…；第六组，成绩大于等于 18 秒18\text{ 秒} 且小于 19 秒19\text{ 秒}. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
设成绩小于 17 秒17\text{ 秒} 的学生人数占全班总人数的百分比为 xx，成绩大于等于 15 秒15\text{ 秒} 且小于 17 秒17\text{ 秒} 的学生人数为 yy，则从频率分布直方图中可分析出 xx 和 yy 分别为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 由频率分布直方图读得六组的频率依次为 0.020.02，0.180.18，0.360.36，0.340.34，0.060.06，0.040.04，它们的组距均为 1 秒1\text{ 秒}，故各柱高与对应频率相同. 成绩小于 17 秒17\text{ 秒} 的频率为
x=0.02+0.18+0.36+0.34=0.90x=0.02+0.18+0.36+0.34=0.90
成绩在 [15,17)[15,17) 秒内的频率为 0.36+0.34=0.700.36+0.34=0.70，所以人数为
y=50×0.70=35y=50\times0.70=35
故选 A. \end{solution}
A.
0.90.9，3535
B.
0.90.9，4545
C.
0.10.1，3535
D.
0.10.1，4545

2007 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，若输入的 nn 是 100100，则输出的变量 SS 和 TT 的值依次是
（ ）
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 程序从 S=T=0S=T=0、n=100n=100 开始. 每次循环先把当前偶数加入 SS，再把减去 11 后的奇数加入 TT，随后再把 nn 减去 11. 当循环结束时，
S=2+4+⋯+100=2(1+2+⋯+50)=50×51=2550S=2+4+\cdots+100=2(1+2+\cdots+50)=50\times51=2550
T=1+3+⋯+99=502=2500T=1+3+\cdots+99=50^2=2500
因此输出 SS，TT 依次为 2550,25002550,2500，故选 D. \end{solution}
A.
25002500，25002500
B.
25502550，25502550
C.
25002500，25502550
D.
25502550，25002500

2007 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12概率与统计★★☆☆☆
位于坐标原点的一个质点 PP 按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上，向右移动的概率都是 12\frac{1}{2}. 质点 PP 移动 55 次后位于点 (2,3)(2,3) 的概率为（ ）
\begin{answer}B\end{answer}
\begin{solution} 每次移动只有“向上”和“向右”两种结果，且各次相互独立，单次概率均为 12\frac12. 从 (0,0)(0,0) 到 (2,3)(2,3) 共需向右移动 22 次、向上移动 33 次，恰好 55 次移动，因此只需在 55 个位置中选出 22 个位置向右. 有 C52\mathrm C_5^2 条路径，每条路径的概率为 (12)5\left(\frac12\right)^5. 所求概率为
C52(12)5\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^5
故选 B. \end{solution}
A.
(12)5\left(\frac{1}{2}\right)^{5}
B.
C52(12)5\mathrm{C}_5^2\left(\frac{1}{2}\right)^5
C.
C53(12)3\mathrm{C}_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^3
D.
C52C53(12)5\mathrm{C}_5^2\mathrm{C}_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^5

2007 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
设 OO 是坐标原点，FF 是抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点，AA 是抛物线上的一点，FA→\overrightarrow{FA} 与 xx 轴正向的夹角为 60∘60^{\circ}，则 ∣OA→∣\left|\overrightarrow{OA}\right| 为______.
\begin{answer}212p\frac{\sqrt{21}}{2}p\end{answer}
\begin{solution} 抛物线 y2=2pxy^2=2px 的焦点为 F(p2,0)F\left(\frac{p}{2},0\right). 设 A(x,y)A(x,y)，因为向量 FA→\overrightarrow{FA} 与 xx 轴正向的夹角为 60∘60^\circ，所以
y=3(x−p2)y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)
令 t=x−p2t=x-\frac{p}{2}，则 y=3ty=\sqrt{3}t. 代入抛物线方程得 3t2=2p(t+p2)3t^2=2p\left(t+\frac{p}{2}\right)，3t2−2pt−p2=03t^2-2pt-p^2=0. 解得 t=pt=p 或 t=−p3t=-\frac{p}{3}. 由于 FA→\overrightarrow{FA} 指向与正向夹角为 60∘60^\circ 的射线，须有 t>0t>0，故 t=pt=p. 于是
A(3p2,3p)A\left(\frac{3p}{2},\sqrt{3}p\right)
因此
∣OA→∣=(3p2)2+(3p)2=212p|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\left(\frac{3p}{2}\right)^2+(\sqrt{3}p)^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}p
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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