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组题
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01复数★★☆☆☆
若 z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z2=−1z^2 = -1 的 θ\theta 值可能是（ ）
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 由复数的三角形式，
z2=cos⁡2θ+isin⁡2θz^2=\cos 2\theta+\mathrm{i}\sin 2\theta
要使 z2=−1z^2=-1，必须有 cos⁡2θ=−1\cos 2\theta=-1 且 sin⁡2θ=0\sin 2\theta=0，即 2θ=(2k+1)π2\theta=(2k+1)\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因而 θ=2k+12π\theta=\frac{2k+1}{2}\pi. 四个选项中只有 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 满足条件，故选 D. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2007 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={−1,1}M = \{-1, 1\}，N={x∣12<2x+1<4,x∈Z}N = \left\{x \mid \frac{1}{2} < 2^{x+1} < 4, x \in \mathbf{Z}\right\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
\begin{answer}B\end{answer}
\begin{solution} 因为底数 2>12>1，不等式
12<2x+1<4\frac{1}{2}<2^{x+1}<4
等价于 2−1<2x+1<222^{-1}<2^{x+1}<2^2，所以 −1<x+1<2-1<x+1<2，即 −2<x<1-2<x<1. 又 x∈Zx\in\mathbf{Z}，故 N={−1,0}N=\{-1,0\}. 因此
M∩N={−1,1}∩{−1,0}={−1}M\cap N=\{-1,1\}\cap\{-1,0\}=\{-1\}
故选 B. \end{solution}
A.
{−1,1}\{-1, 1\}
B.
{−1}\{-1\}
C.
{0}\{0\}
D.
{−1,0}\{-1,0\}

2007 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
（ ）
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 正方体的三个视图均为正方形，三者都相同，不符合“有且仅有两个视图相同”. 圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，而俯视图为圆形，所以恰有两个视图相同. 对三棱台，按图形的三个投影方向可得主视图、左视图为底边比例不同的梯形，俯视图为三角形，三者没有恰好两幅完全相同. 正四棱锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，而俯视图为正方形，所以也恰有两个视图相同. 因而符合条件的是第2个和第4个几何体，故选 D. \end{solution}
A.
①②
B.
①③
C.
①④
D.
②④

2007 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设 α∈{−1,1,12,3}\alpha \in \left\{-1, 1, \frac{1}{2}, 3\right\}，则使函数 y=xαy = x^{\alpha} 的定义域为 R\mathbf{R} 且为奇函数的所有 α\alpha 值为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 逐一考察集合中的指数：当 α=−1\alpha=-1 时，y=x−1y=x^{-1} 在 x=0x=0 处无定义；当 α=12\alpha=\frac{1}{2} 时，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，二者都不满足定义域为 R\mathbf{R}. 当 α=1\alpha=1 或 α=3\alpha=3 时，定义域均为 R\mathbf{R}，且
(−x)α=−xα(-x)^\alpha=-x^\alpha
因此所求 α\alpha 为 1,31,3，故选 A. \end{solution}
A.
11，33
B.
−1-1，11
C.
−1-1，33
D.
−1-1，11，33

2007 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+π6)+cos⁡(2x+π3)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的最小正周期和最大值分别为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 利用和差化积公式，
y=sin⁡(2x+π6)+sin⁡(π2−2x−π3)=sin⁡(2x+π6)+sin⁡(π6−2x)=2sin⁡π6cos⁡2x=cos⁡2xy=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=2\sin\frac{\pi}{6}\cos 2x=\cos 2x
所以函数的最小正周期为 π\pi，最大值为 11，故选 A. \end{solution}
A.
π,1\pi, 1
B.
π\pi，2\sqrt{2}
C.
2π2\pi，11
D.
2π2\pi，2\sqrt{2}

2007 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y)，f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y)f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}. 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
\begin{answer}B\end{answer}
\begin{solution} 对 f(x)=3xf(x)=3^x，有 f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y)f(x+y)=3^{x+y}=3^x3^y=f(x)f(y)，满足第二个等式. 对 f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，在 xx，y>0y>0 时有 f(xy)=log⁡2(xy)=log⁡2x+log⁡2yf(xy)=\log_2(xy)=\log_2x+\log_2y，满足第一个等式. 对 f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x，在两边有定义且分母不为零时，由正切的和角公式满足第三个等式.
而 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 不满足第一个等式，例如取 x=y=π2x=y=\frac{\pi}{2}，有 sin⁡(xy)=sin⁡π24≠2\sin(xy)=\sin\frac{\pi^2}{4}\neq2；也不满足第二个等式，例如取 x=y=π2x=y=\frac{\pi}{2}，有 sin⁡(x+y)=0≠1\sin(x+y)=0\neq1；第三个等式是正切的和角公式，正弦函数也不满足，例如取 x=y=π6x=y=\frac{\pi}{6}，左边为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，右边为 12+121−14=43\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}. 因此选 B. \end{solution}
A.
f(x)=3xf(x) = 3^{x}
B.
f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
C.
f(x)=log⁡2xf(x) = \log_2x
D.
f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x

2007 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“对任意的 x∈Rx \in \mathbf{R}，x3−x2+1⩽0x^3 - x^2 + 1 \leqslant 0”的否定是（ ）
\begin{answer}C\end{answer}
\begin{solution} 命题是“对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，x3−x2+1⩽0x^3-x^2+1\leqslant0”. 全称命题的否定是存在一个取值使原不等式不成立，因此否定为“存在 x∈Rx\in\mathbf{R}，x3−x2+1>0x^3-x^2+1>0”，故选 C. \end{solution}
A.
不存在 x∈Rx \in \mathbf{R}，x3−x2+1⩽0x^3 - x^2 + 1 \leqslant 0
B.
存在 x∈Rx \in \mathbf{R}，x3−x2+1⩽0x^3 - x^2 + 1 \leqslant 0
C.
存在 x∈Rx \in \mathbf{R}，x3−x2+1>0x^3 - x^2 + 1 > 0
D.
对任意的 x∈Rx \in \mathbf{R}，x3−x2+1>0x^3 - x^2 + 1 > 0

2007 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
某班 5050 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒13\text{ 秒} 与 19 秒19\text{ 秒} 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒13\text{ 秒} 且小于 14 秒14\text{ 秒}；第二组，成绩大于等于 14 秒14\text{ 秒} 且小于 15 秒15\text{ 秒}；…；第六组，成绩大于等于 18 秒18\text{ 秒} 且小于 19 秒19\text{ 秒}. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
设成绩小于 17 秒17\text{ 秒} 的学生人数占全班总人数的百分比为 xx，成绩大于等于 15 秒15\text{ 秒} 且小于 17 秒17\text{ 秒} 的学生人数为 yy，则从频率分布直方图中可分析出 xx 和 yy 分别为（ ）
\begin{answer}A\end{answer}
\begin{solution} 由频率分布直方图读得六组的频率依次为 0.020.02，0.180.18，0.360.36，0.340.34，0.060.06，0.040.04，它们的组距均为 1 秒1\text{ 秒}，故各柱高与对应频率相同. 成绩小于 17 秒17\text{ 秒} 的频率为
x=0.02+0.18+0.36+0.34=0.90x=0.02+0.18+0.36+0.34=0.90
成绩在 [15,17)[15,17) 秒内的频率为 0.36+0.34=0.700.36+0.34=0.70，所以人数为
y=50×0.70=35y=50\times0.70=35
故选 A. \end{solution}
A.
0.90.9，3535
B.
0.90.9，4545
C.
0.10.1，3535
D.
0.10.1，4545

2007 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
下列各小题中，pp 是 qq 的充要条件的是（ ）
① pp：m<2m < 2 或 m>6m > 6；qq：y=x2+mx+m+3y = x^{2} + mx + m + 3 有两个不同的零点. ② pp：f(−x)f(x)=1\frac{f(-x)}{f(x)} = 1；qq：y=f(x)y = f(x) 是偶函数. ③ pp：cos⁡α=cos⁡β\cos \alpha = \cos \beta；qq：tan⁡α=tan⁡β\tan \alpha = \tan \beta. ④ pp：A∩B=AA \cap B = A；qq：∁UB⊆∁UA\complement_U B \subseteq \complement_U A.
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 对第1小题，二次函数有两个不同的零点的充要条件是
Δ=m2−4(m+3)>0\Delta=m^2-4(m+3)>0
即 (m−6)(m+2)>0(m-6)(m+2)>0，所以 qq 等价于 m<−2m<-2 或 m>6m>6. 原始文件第1小题的 pp 印为 m<2m<2 或 m>6m>6. 按这一字面条件，q⇒pq\Rightarrow p，但取 m=0m=0 时 pp 成立而 Δ=−12<0\Delta=-12<0，故 p⇏qp\not\Rightarrow q，第1小题并非充要条件；公开同题版本将此处记为 m<−2m<-2 或 m>6m>6 时，第1小题才成立.
第2小题中，若 pp 成立，则分式有意义且等于 11，从而 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以 p⇒qp\Rightarrow q. 但 q⇏pq\not\Rightarrow p：例如 f(x)=x2f(x)=x^2 是偶函数，而 x=0x=0 时 f(−x)f(x)\frac{f(-x)}{f(x)} 无意义，故第2小题不是充要条件. 第3小题也不等价：取 α=π3\alpha=\frac{\pi}{3}，β=−π3\beta=-\frac{\pi}{3}，有 cos⁡α=cos⁡β\cos\alpha=\cos\beta，但 tan⁡α≠tan⁡β\tan\alpha\neq\tan\beta. 另一方面取 α=0\alpha=0，β=π\beta=\pi，有 tan⁡α=tan⁡β\tan\alpha=\tan\beta，但 cos⁡α≠cos⁡β\cos\alpha\neq\cos\beta.
第4小题中，
A∩B=A⟺A⊆BA\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B
由补集的性质，
∁UB⊆∁UA⟺A⊆B\complement_U B\subseteq\complement_U A\Longleftrightarrow A\subseteq B
所以第4小题成立. 因而按公开同题版本的更正条件，成立的小题为第1和第4小题，答案为 D；但本卷原始文件清晰页第1小题印为 m<2m<2 或 m>6m>6，按该字面条件仅第4小题成立，四个选项均不成立，题面、答案和公开同题资料存在印刷冲突，详见来源记录. \end{solution}
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④

2007 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，若输入的 nn 是 100100，则输出的变量 SS 和 TT 的值依次是
（ ）
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 程序从 S=T=0S=T=0、n=100n=100 开始. 每次循环先把当前偶数加入 SS，再把减去 11 后的奇数加入 TT，随后再把 nn 减去 11. 当循环结束时，
S=2+4+⋯+100=2(1+2+⋯+50)=50×51=2550S=2+4+\cdots+100=2(1+2+\cdots+50)=50\times51=2550
T=1+3+⋯+99=502=2500T=1+3+\cdots+99=50^2=2500
因此输出 SS，TT 依次为 2550,25002550,2500，故选 D. \end{solution}
A.
25002500，25002500
B.
25502550，25502550
C.
25002500，25502550
D.
25502550，25002500

2007 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★★★☆☆
在直角 △ABC\triangle ABC 中，CDCD 是斜边 ABAB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
\begin{answer}C\end{answer}
\begin{solution} 因为 △ABC\triangle ABC 在 CC 处为直角，故 AC→⊥BC→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}，且 AB→=AC→+CB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}、BA→=BC→+CA→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}. 因此 AC→⋅AB→=∣AC→∣2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|^2，BA→⋅BC→=∣BC→∣2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|^2. 所以选项 A、B 成立.
令 u=∣AC∣>0u=|AC|>0、v=∣BC∣>0v=|BC|>0，取坐标 C=(0,0)C=(0,0)、A=(u,0)A=(u,0)、B=(0,v)B=(0,v). 斜边 ABAB 的方程为 xu+yv=1\frac{x}{u}+\frac{y}{v}=1，从 CC 向其作垂线所得垂足为
D(uv2u2+v2,u2vu2+v2)D\left(\frac{uv^2}{u^2+v^2},\frac{u^2v}{u^2+v^2}\right)
因此
AC→⋅CD→=(−u,0)⋅CD→=−u2v2u2+v2<0\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD} =(-u,0)\cdot\overrightarrow{CD} =-\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}<0
而 ∣AB→∣2=u2+v2>0|\overrightarrow{AB}|^2=u^2+v^2>0，故选项 C 不成立. 又由直角三角形面积相等，
∣CD∣=uvu2+v2|CD|=\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}
从而
∣CD→∣2=u2v2u2+v2=(AC→⋅AB→)(BA→⋅BC→)∣AB→∣2|\overrightarrow{CD}|^2=\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{|\overrightarrow{AB}|^2}
选项 D 成立. 故选 C. \end{solution}
A.
∣AC→∣2=AC→⋅AB→\left|\overrightarrow{AC}\right|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}
B.
∣BC→∣2=BA→⋅BC→|\overrightarrow{BC}|^2 = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
C.
∣AB→∣2=AC→⋅CD→|\overrightarrow{AB}|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}
D.
∣CD→∣2=(AC→⋅AB→)×(BA→⋅BC→)∣AB→∣2\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\times\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}}

2007 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12概率与统计★★☆☆☆
位于坐标原点的一个质点 PP 按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上，向右移动的概率都是 12\frac{1}{2}. 质点 PP 移动 55 次后位于点 (2,3)(2,3) 的概率为（ ）
\begin{answer}B\end{answer}
\begin{solution} 每次移动只有“向上”和“向右”两种结果，且各次相互独立，单次概率均为 12\frac12. 从 (0,0)(0,0) 到 (2,3)(2,3) 共需向右移动 22 次、向上移动 33 次，恰好 55 次移动，因此只需在 55 个位置中选出 22 个位置向右. 有 C52\mathrm C_5^2 条路径，每条路径的概率为 (12)5\left(\frac12\right)^5. 所求概率为
C52(12)5\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^5
故选 B. \end{solution}
A.
(12)5\left(\frac{1}{2}\right)^{5}
B.
C52(12)5\mathrm{C}_5^2\left(\frac{1}{2}\right)^5
C.
C53(12)3\mathrm{C}_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^3
D.
C52C53(12)5\mathrm{C}_5^2\mathrm{C}_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^5

2007 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
设 OO 是坐标原点，FF 是抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点，AA 是抛物线上的一点，FA→\overrightarrow{FA} 与 xx 轴正向的夹角为 60∘60^{\circ}，则 ∣OA→∣\left|\overrightarrow{OA}\right| 为______.
\begin{answer}212p\frac{\sqrt{21}}{2}p\end{answer}
\begin{solution} 抛物线 y2=2pxy^2=2px 的焦点为 F(p2,0)F\left(\frac{p}{2},0\right). 设 A(x,y)A(x,y)，因为向量 FA→\overrightarrow{FA} 与 xx 轴正向的夹角为 60∘60^\circ，所以
y=3(x−p2)y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)
令 t=x−p2t=x-\frac{p}{2}，则 y=3ty=\sqrt{3}t. 代入抛物线方程得 3t2=2p(t+p2)3t^2=2p\left(t+\frac{p}{2}\right)，3t2−2pt−p2=03t^2-2pt-p^2=0. 解得 t=pt=p 或 t=−p3t=-\frac{p}{3}. 由于 FA→\overrightarrow{FA} 指向与正向夹角为 60∘60^\circ 的射线，须有 t>0t>0，故 t=pt=p. 于是
A(3p2,3p)A\left(\frac{3p}{2},\sqrt{3}p\right)
因此
∣OA→∣=(3p2)2+(3p)2=212p|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\left(\frac{3p}{2}\right)^2+(\sqrt{3}p)^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}p
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 DD 是不等式组
{x+2y⩽10,2x+y⩾3,0⩽x⩽4,y⩾1\begin{cases} x + 2y \leqslant 10,\\ 2x + y \geqslant 3,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ y \geqslant 1 \end{cases}
表示的平面区域，则 DD 中的点 P(x,y)P(x, y) 到直线 x+y=10x + y = 10 距离的最大值是______.
\begin{answer}424\sqrt{2}\end{answer}
\begin{solution} 由 x⩾0x\geqslant0、y⩾1y\geqslant1 及 2x+y⩾32x+y\geqslant3，分两段估计 x+yx+y：当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，y⩾3−2xy\geqslant3-2x，故 x+y⩾3−x⩾2x+y\geqslant3-x\geqslant2；当 x⩾1x\geqslant1 时，x+y⩾x+1⩾2x+y\geqslant x+1\geqslant2. 点 (1,1)(1,1) 满足全部约束，所以 x+yx+y 的最小值为 22.
另一方面，由 x+2y⩽10x+2y\leqslant10 和 y⩾1y\geqslant1 得 x+y⩽10−y⩽9<10x+y\leqslant10-y\leqslant9<10. 因此区域内点到直线 x+y=10x+y=10 的距离为
d=10−x−y2d=\frac{10-x-y}{\sqrt{2}}
其最大值在 x+y=2x+y=2 时取得，故
dmax⁡=10−22=42d_{\max}=\frac{10-2}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
与直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 和曲线 x2+y2−12x−12y+54=0x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.
\begin{answer}(x−2)2+(y−2)2=2\left(x - 2\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 2\end{answer}
\begin{solution} 已知曲线化为
(x−6)2+(y−6)2=18(x-6)^2+(y-6)^2=18
所以其圆心为 O1(6,6)O_1(6,6)，半径为 R=32R=3\sqrt{2}. 圆心到直线 x+y−2=0x+y-2=0 的距离为
d(O1,l)=∣6+6−2∣2=52d(O_1,l)=\frac{|6+6-2|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}
设所求圆圆心为 PP，半径为 rr. 它与直线相切，所以 d(P,l)=rd(P,l)=r. 先考虑两圆外切，此时 PO1=R+rPO_1=R+r. 若 PP 与 O1O_1 位于直线两侧，则
PO1⩾d(O1,l)+d(P,l)=52+r>R+rPO_1\geqslant d(O_1,l)+d(P,l)=5\sqrt{2}+r>R+r
不可能外切；故二者在直线同侧，从而
PO1⩾d(O1,l)−d(P,l)=52−rPO_1\geqslant d(O_1,l)-d(P,l)=5\sqrt{2}-r
于是 R+r⩾52−rR+r\geqslant5\sqrt{2}-r，r⩾52−322=2r\geqslant\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. 若所求圆内切于已知圆，则它完全位于已知圆内，而已知圆到直线的最小距离为 52−32=22>05\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0，不可能又与该直线相切；若已知圆内切于所求圆，则 r>R=32>2r>R=3\sqrt{2}>\sqrt{2}. 因此所有情形均有 r⩾2r\geqslant\sqrt{2}.
取圆心 P(2,2)P(2,2)，则 d(P,l)=2d(P,l)=\sqrt{2}，且
PO1=(6−2)2+(6−2)2=42=R+2PO_1=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{2}=R+\sqrt{2}
故该圆同时与直线和已知圆相切，并达到下界. 所求圆为
(x−2)2+(y−2)2=2(x-2)^2+(y-2)^2=2
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=log⁡a(x+3)−1y = \log_a(x + 3) - 1（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny+1=0mx + ny + 1 = 0 上，其中 mn>0mn > 0，则 1m+2n\frac{1}{m} + \frac{2}{n} 的最小值为______.
\begin{answer}88\end{answer}
\begin{solution} 令 x+3=1x+3=1，则 x=−2x=-2，且对任意允许的底数 aa，都有 y=log⁡a1−1=−1y=\log_a1-1=-1. 所以定点为 A(−2,−1)A(-2,-1). 代入直线方程得 −2m−n+1=0-2m-n+1=0，2m+n=12m+n=1. 由 mn>0mn>0 及 2m+n=1>02m+n=1>0，可知 m>0m>0，n>0n>0. 令 u=2mu=2m，则 u>0u>0、n>0n>0 且 u+n=1u+n=1. 因此
1m+2n=2u+2n=2(1u+1n)=2(u+n)un=2un\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{u}+\frac{2}{n}=2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{n}\right)=\frac{2(u+n)}{un}=\frac{2}{un}
由 u+n=1u+n=1 得 un⩽14un\leqslant\frac{1}{4}，所以
1m+2n⩾8\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\geqslant8
当 u=n=12u=n=\frac{1}{2}，即 m=14m=\frac{1}{4}，n=12n=\frac{1}{2} 时取等号，故最小值为 88. \end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1+3a2+32a3+⋯+3n−1an=n3a_1 + 3a_2 + 3^2 a_3 + \dots + 3^{n-1} a_n = \frac{n}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项； (2) 设 bn=nanb_{n}=\frac{n}{a_{n}}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
设 bb 和 cc 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 用随机变量 ξ\xi 表示方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 实根的个数（重根按一个计）.
(1) 求方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 有实根的概率； (2) 求 ξ\xi 的分布列和数学期望； (3) 求在先后两次出现的点数中有 55 的条件下，方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 有实根的概率.

2007 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 DC=DD1=2AD=2ABDC = DD_{1} = 2AD = 2AB，AD⊥DCAD \perp DC，AB∥DCAB \parallel DC.
(1) 设 EE 是线段 DCDC 的中点，求证：D1E∥D_{1}E \parallel 平面 A1BDA_{1}BD； (2) 求二面角 A1−BD−C1A_{1}-BD-C_{1} 的余弦值.

2007 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
如图，甲船以每小时 30230 \sqrt{2} 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 A1A_{1} 处时，乙船位于甲船的北偏西 105∘105^{\circ} 方向的 B1B_{1} 处，此时两船相距 2020 海里. 当甲船航行 2020 分钟到达 A2A_{2} 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120∘120^{\circ} 方向的 B2B_{2} 处，此时两船相距 10210 \sqrt{2} 海里. 问乙船每小时航行多少海里.

2007 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在坐标原点，焦点在 xx 轴上，椭圆 CC 上的点到焦点距离的最大值为 33，最小值为 11.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若直线 l:y=kx+ml: y = kx + m 与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是左右顶点），且以 ABAB 为直径的圆过椭圆 CC 的右顶点，求证：直线 ll 过定点，并求出该定点的坐标.

2007 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+bln⁡(x+1)f(x) = x^{2} + b \ln (x + 1)，其中 b≠0b \neq 0.
(1) 当 b>12b > \frac{1}{2} 时，判断函数 f(x)f(x) 在定义域上的单调性； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值点； (3) 证明对任意的正整数 nn，不等式 ln⁡(1n+1)>1n2−1n3\ln \left(\frac{1}{n} + 1\right) > \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} 都成立.

2007 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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