设 $P$ 是圆 $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$ 上的动点，$Q$ 是直线 $x = -3$ 上的动点，则 $|PQ|$ 的最小值为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 圆心为 $C(3,-1)$，半径为 $2$. 圆心到直线 $x=-3$ 的距离为 点 $P$ 在圆上运动时，到该直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，即 取圆心与直线同侧且沿水平半径的圆上点即可达到该距离，所以最小值为 $4$，选 B. \end{solution}

执行如图所示的程序框图，则输出的 $k$ 的值是（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 $k=1$，$s=1$. 每次先执行 再判断 $s>15$；若否，则令 $k\leftarrow k+1$ 后继续循环. 因此各次判断前的 $s$ 依次为 $1$，$2$，$6$，$15$，$31$. 前四次均不满足 $s>15$，第五次满足，且此时 $k=5$. 所以输出 $k=5$，选 C. \end{solution}

关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2ax - 8a^{2} < 0$ （$a > 0$）的解集为 $(x_{1}, x_{2})$，且 $x_{2} - x_{1} = 15$，则 $a =$（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 因 $a>0$，不等式左侧可因式分解为 故解集为 $(-2a,4a)$，从而 解得 $a=\frac52$，选 A. \end{solution}

若甲，乙，丙三人随机地站成一排，则甲，乙两人相邻而站的概率为______. \begin{answer} $\frac{2}{3}$ \end{answer} \begin{solution} 三人的全排列共有 $3!=6$ 种. 把甲、乙看成一个整体时，整体与丙有 $2!$ 种排法，甲、乙在整体内还有 $2!$ 种次序，所以甲乙相邻的排法有 种. 因此所求概率为 \end{solution}

在 $OA$ 为边，$OB$ 为对角线的矩形中，已知 $\overrightarrow{OA} = (-3, 1)$，$\overrightarrow{OB} = (-2, k)$，则实数 $k =$______. \begin{answer} $4$ \end{answer} \begin{solution} 矩形中 $OA\perp AB$，且 因此 解得 $k=4$. \end{solution}

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = 1$，$a_{n+1} = 3a_{n}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$； (2) 已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，$T_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $b_{1}=a_{2}$，$b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求 $T_{20}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，每增加一个下标就乘以 $3$，且 $a_1=1$，所以 这是首项为 $1$、公比为 $3$ 的等比数列，故前 $n$ 项和为 \item 由第（1）问 $a_2=3$，$a_1+a_2+a_3=1+3+9=13$. 因此 $b_1=3$，$b_3=13$. 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则 $b_3=b_1+2d$，$\Longrightarrow$，$13=3+2d$，$d=5$. 所以 \end{enumerate} \end{solution}

从某居民区随机抽取 $10\text{ 个}$家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ （单位：$\text{千元}$）与月储蓄 $y_{i}$ （单位：$\text{千元}$）的数据资料，算得 $\sum_{i=1}^{10} x_{i} = 80$，$\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 20$，$\sum_{i=1}^{10} x_{i}y_{i} = 184$，$\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 720$.

(1) 求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y = bx + a$； (2) 判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关； (3) 若该居民区某家庭月收入为 $7\text{ 千元}$，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程 $y = bx + a$ 中， $b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - n\overline{x}\,\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} - n\overline{x}^{2}}$，$a = \overline{y} - b\overline{x}$， 其中 $\overline{x}$，$\overline{y}$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$. \begin{solution} \begin{enumerate} \item 样本平均值为 $\overline{x}=\frac{80}{10}=8$，$\overline{y}=\frac{20}{10}=2$. 代入题给公式，回归系数 于是 线性回归方程为 \item 回归系数 $b=\frac3{10}>0$，所以 $x$ 与 $y$ 正相关. \item 当 $x=7$ 时，预测值为 故预测该家庭月储蓄为 $1.7$ 千元. \end{enumerate} \end{solution}