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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4}U = \{1, 2, 3, 4\}，集合 A={1,2}A = \{1, 2\}，B={2,3}B = \{2, 3\}，则 ∁U(A∪B)=\complement_U (A \cup B) =（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 先求并集：
A∪B={1,2}∪{2,3}={1,2,3}A\cup B=\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}
补集中的元素属于全集而不属于这个并集，因此
∁U(A∪B)={4}\complement_U(A\cup B)=\{4\}
所以选 D. \end{solution}
A.
{1,3,4}\{1,3,4\}
B.
{3,4}\{3,4\}
C.
{3}\{3\}
D.
{4}\{4\}

2013 · 重庆 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，都有 x2⩾0x^2 \geqslant 0”的否定为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 全称命题“对任意实数 xx，都有 x2⩾0x^2\geqslant0”的否定是把“任意”改为“存在”，并把不等号改为严格相反的不等号，即 存在 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，使得 x02<0x_0^2<0. 这正是选项 A. \end{solution}
A.
存在 x0∈Rx_0 \in \mathbf{R}，使得 x02<0x_0^2 < 0
B.
不存在 x∈Rx \in \mathbf{R}，使得 x2<0x^2 < 0
C.
存在 x0∈Rx_0 \in \mathbf{R}，使得 x02⩾0x_0^2 \geqslant 0
D.
对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，都有 x2<0x^2 < 0

2013 · 重庆 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=1log⁡2(x−2)y = \frac{1}{\log_2(x - 2)} 的定义域是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 对数的真数必须为正，且分母不能为零，所以 x−2>0x-2>0，log⁡2(x−2)≠0\log_2(x-2)\neq0. 第一条件给出 x>2x>2，第二条件给出 x−2≠1x-2\neq1，即 x≠3x\neq3. 因此定义域为
(2,3)∪(3,+∞)(2,3)\cup(3,+\infty)
选 C. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty, 2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(2,3)∪(3,+∞)(2,3)\cup (3, + \infty)
D.
(2,4)∪(4,+∞)(2,4)\cup (4, + \infty)

2013 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
设 PP 是圆 (x−3)2+(y+1)2=4(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 上的动点，QQ 是直线 x=−3x = -3 上的动点，则 ∣PQ∣|PQ| 的最小值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 圆心为 C(3,−1)C(3,-1)，半径为 22. 圆心到直线 x=−3x=-3 的距离为
∣3−(−3)∣=6|3-(-3)|=6
点 PP 在圆上运动时，到该直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，即
6−2=46-2=4
取圆心与直线同侧且沿水平半径的圆上点即可达到该距离，所以最小值为 44，选 B. \end{solution}
A.
66
B.
44
C.
33
D.
22

2013 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 kk 的值是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 k=1k=1，s=1s=1. 每次先执行
s←s+(k−1)2s\leftarrow s+(k-1)^2
再判断 s>15s>15；若否，则令 k←k+1k\leftarrow k+1 后继续循环. 因此各次判断前的 ss 依次为 11，22，66，1515，3131. 前四次均不满足 s>15s>15，第五次满足，且此时 k=5k=5. 所以输出 k=5k=5，选 C. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
如图是某公司 10 个10\text{ 个}销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 [22,30)[22,30) 内的频率为（ ）
18  98\;9
21  2  2  7  91\;2\;2\;7\;9
30  0  30\;0\;3
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由茎叶图，10 个数据为 1818，1919，2121，2222，2222，2727，2929，3030，3030，3333. 区间 [22,30)[22,30) 包含 2222，2222，2727，2929，共 44 个数据；3030 不属于该区间. 因此频率为
410=0.4\frac{4}{10}=0.4
所以选 B. \end{solution}
A.
0.20.2
B.
0.40.4
C.
0.50.5
D.
0.60.6

2013 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★☆☆☆
关于 xx 的不等式 x2−2ax−8a2<0x^{2} - 2ax - 8a^{2} < 0 （a>0a > 0）的解集为 (x1,x2)(x_{1}, x_{2})，且 x2−x1=15x_{2} - x_{1} = 15，则 a=a =（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 因 a>0a>0，不等式左侧可因式分解为
x2−2ax−8a2=(x−4a)(x+2a)x^2-2ax-8a^2=(x-4a)(x+2a)
故解集为 (−2a,4a)(-2a,4a)，从而
x2−x1=4a−(−2a)=6a=15x_2-x_1=4a-(-2a)=6a=15
解得 a=52a=\frac52，选 A. \end{solution}
A.
52\frac{5}{2}
B.
72\frac{7}{2}
C.
154\frac{15}{4}
D.
152\frac{15}{2}

2013 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由三视图可还原出一个直四棱柱，其底面是高为 44、上底为 22、下底为 88 的等腰梯形，棱柱的高为 1010. 梯形两腰的水平投影均为
8−22=3\frac{8-2}{2}=3
所以腰长为
42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5
底面梯形面积为
2+82×4=20\frac{2+8}{2}\times4=20
四个侧面的面积和为
10(2+8+5+5)=20010(2+8+5+5)=200
因此几何体的表面积为
2×20+200=2402\times20+200=240
选 D. \end{solution}
A.
180180
B.
200200
C.
220220
D.
240240

2013 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bsin⁡x+4f(x) = ax^3 + b\sin x + 4 （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），f(lg⁡(log⁡210))=5f(\lg (\log_2 10)) = 5，则 f(lg⁡(lg⁡2))=f(\lg (\lg 2)) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 令
t=lg⁡(log⁡210)t=\lg(\log_2 10)
由于 log⁡210=1lg⁡2\log_2 10=\frac{1}{\lg2}，有
t=lg⁡(1lg⁡2)=−lg⁡(lg⁡2)t=\lg\left(\frac1{\lg2}\right)=-\lg(\lg2)
函数中的 ax3ax^3 和 bsin⁡xb\sin x 都是奇函数，常数项为 44，所以对任意 xx 有
f(x)+f(−x)=8f(x)+f(-x)=8
题设给出 f(t)=5f(t)=5，而所求量为 f(lg⁡(lg⁡2))=f(−t)f(\lg(\lg2))=f(-t)，故
f(−t)=8−f(t)=8−5=3f(-t)=8-f(t)=8-5=3
所以选 C. \end{solution}
A.
−5-5
B.
−1-1
C.
33
D.
44

2013 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★★
设双曲线 CC 的中心为点 OO，若有且只有一对相交于点 OO，所成的角为 60∘60^{\circ} 的直线 A1B1A_{1}B_{1} 和 A2B2A_{2}B_{2}，使 ∣A1B1∣=∣A2B2∣|A_{1}B_{1}| = |A_{2}B_{2}|，其中 A1A_{1}，B1B_{1} 和 A2A_{2}，B2B_{2} 分别是这对直线与双曲线 CC 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 取坐标轴沿双曲线的实轴、虚轴，则可设 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，e2=1+b2a2e^2=1+\frac{b^2}{a^2}. 过原点、方向角为 θ\theta 的直线上的点可写为
(x,y)=ρ(cos⁡θ,sin⁡θ)(x,y)=\rho(\cos\theta,\sin\theta)
它与双曲线相交的条件为
ρ2(cos⁡2θa2−sin⁡2θb2)=1\rho^2\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2}-\frac{\sin^2\theta}{b^2}\right)=1
且弦长为 2∣ρ∣2|\rho|. 两条方向相差 π3\frac\pi3 的直线弦长相等，当且仅当
cos⁡2θa2−sin⁡2θb2=cos⁡2(θ+π3)a2−sin⁡2(θ+π3)b2\frac{\cos^2\theta}{a^2}-\frac{\sin^2\theta}{b^2} =\frac{\cos^2(\theta+\frac\pi3)}{a^2}-\frac{\sin^2(\theta+\frac\pi3)}{b^2}
整理得
(1a2+1b2)[cos⁡2θ−cos⁡2(θ+π3)]=0\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right) \left[\cos^2\theta-\cos^2\left(\theta+\frac\pi3\right)\right]=0
故候选的两对直线分别可取方向角 (−π6,π6)\left(-\frac\pi6,\frac\pi6\right)，(π3,2π3)\left(\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right). 第一对为割线的条件是
34a2−14b2>0  ⟺  b2a2>13  ⟺  e>233\frac{3}{4a^2}-\frac{1}{4b^2}>0 \iff \frac{b^2}{a^2}>\frac13 \iff e>\frac{2\sqrt3}{3}
第二对为割线的条件是
14a2−34b2>0  ⟺  b2a2>3  ⟺  e>2\frac{1}{4a^2}-\frac{3}{4b^2}>0 \iff \frac{b^2}{a^2}>3 \iff e>2
因此当 233<e⩽2\frac{2\sqrt3}{3}<e\leqslant2 时恰有第一对；e>2e>2 时两对均存在，而 e=233e=\frac{2\sqrt3}{3} 或更小时第一对也不是有限割线. 故离心率范围为
(233,2]\left(\frac{2\sqrt3}{3},2\right]
选 A. \end{solution}
A.
(233,2]\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right]
B.
[233,2)\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right)
C.
(233,+∞)\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty\right)
D.
[233,+∞)\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty\right)

2013 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
设复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i} （i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣=‾|z| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 5\sqrt{5} \end{answer} \begin{solution} 复数的模为实部与虚部平方和的平方根，因此
∣z∣=∣1+2i∣=12+22=5|z|=|1+2\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
若 22，aa，bb，cc，99 成等差数列，则 c−a=‾c - a =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 72\frac{7}{2} \end{answer} \begin{solution} 设等差数列的公差为 dd. 由首项和末项得 2+4d=92+4d=9，d=74d=\frac74. 于是 a=2+da=2+d，c=2+3dc=2+3d， 从而
c−a=2d=72c-a=2d=\frac72
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若甲，乙，丙三人随机地站成一排，则甲，乙两人相邻而站的概率为______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer} \begin{solution} 三人的全排列共有 3!=63!=6 种. 把甲、乙看成一个整体时，整体与丙有 2!2! 种排法，甲、乙在整体内还有 2!2! 种次序，所以甲乙相邻的排法有
2!×2!=42!\times2!=4
种. 因此所求概率为
46=23\frac46=\frac23
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在 OAOA 为边，OBOB 为对角线的矩形中，已知 OA→=(−3,1)\overrightarrow{OA} = (-3, 1)，OB→=(−2,k)\overrightarrow{OB} = (-2, k)，则实数 k=k =______. \begin{answer} 44 \end{answer} \begin{solution} 矩形中 OA⊥ABOA\perp AB，且
AB→=OB→−OA→=(1,k−1)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)
因此
OA→⋅AB→=(−3,1)⋅(1,k−1)=−3+k−1=0\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(-3,1)\cdot(1,k-1)=-3+k-1=0
解得 k=4k=4. \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
设 0⩽α⩽π0 \leqslant \alpha \leqslant \pi，不等式 8x2−(8sin⁡α)x+cos⁡2α⩾08x^{2} - (8\sin \alpha)x + \cos 2\alpha \geqslant 0 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，则 α\alpha 的取值范围为______. \begin{answer} [0,π6]∪[5π6,π]\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right] \end{answer} \begin{solution} 关于 xx 的二次式首项系数 8>08>0，要对任意实数 xx 非负，充要条件是判别式不大于零，即
Δ=(−8sin⁡α)2−4⋅8cos⁡2α⩽0\Delta=(-8\sin\alpha)^2-4\cdot8\cos2\alpha\leqslant0
化简得
2sin⁡2α−cos⁡2α⩽02\sin^2\alpha-\cos2\alpha\leqslant0
利用 cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha，得到 4sin⁡2α−1⩽04\sin^2\alpha-1\leqslant0，∣sin⁡α∣⩽12|\sin\alpha|\leqslant\frac12. 在 0⩽α⩽π0\leqslant\alpha\leqslant\pi 上，sin⁡α⩾0\sin\alpha\geqslant0，所以
α∈[0,π6]∪[5π6,π]\alpha\in\left[0,\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{5\pi}6,\pi\right]
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=1a_{1} = 1，an+1=3ana_{n+1} = 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 已知 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，TnT_{n} 为其前 nn 项和，且 b1=a2b_{1}=a_{2}，b3=a1+a2+a3b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}，求 T20T_{20}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，每增加一个下标就乘以 33，且 a1=1a_1=1，所以
an=a1⋅3n−1=3n−1a_n=a_1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}
这是首项为 11、公比为 33 的等比数列，故前 nn 项和为
Sn=a1(3n−1)3−1=3n−12S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}
\item 由第（1）问 a2=3a_2=3，a1+a2+a3=1+3+9=13a_1+a_2+a_3=1+3+9=13. 因此 b1=3b_1=3，b3=13b_3=13. 设等差数列 {bn}\{b_n\} 的公差为 dd，则 b3=b1+2db_3=b_1+2d，⟹\Longrightarrow，13=3+2d13=3+2d，d=5d=5. 所以
T20=202(2b1+19d)=10(6+95)=1010T_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2b_1+19d\bigr) =10(6+95)=1010
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
从某居民区随机抽取 10 个10\text{ 个}家庭，获得第 ii 个家庭的月收入 xix_{i} （单位：千元\text{千元}）与月储蓄 yiy_{i} （单位：千元\text{千元}）的数据资料，算得 ∑i=110xi=80\sum_{i=1}^{10} x_{i} = 80，∑i=110yi=20\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 20，∑i=110xiyi=184\sum_{i=1}^{10} x_{i}y_{i} = 184，∑i=110xi2=720\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 720.
(1) 求家庭的月储蓄 yy 对月收入 xx 的线性回归方程 y=bx+ay = bx + a； (2) 判断变量 xx 与 yy 之间是正相关还是负相关； (3) 若该居民区某家庭月收入为 7 千元7\text{ 千元}，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程 y=bx+ay = bx + a 中， b=∑i=1nxiyi−nx‾ y‾∑i=1nxi2−nx‾2b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - n\overline{x}\,\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} - n\overline{x}^{2}}，a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}， 其中 x‾\overline{x}，y‾\overline{y} 为样本平均值，线性回归方程也可写为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}. \begin{solution} \begin{enumerate} \item 样本平均值为 x‾=8010=8\overline{x}=\frac{80}{10}=8，y‾=2010=2\overline{y}=\frac{20}{10}=2. 代入题给公式，回归系数
b=184−10×8×2720−10×82=2480=310b=\frac{184-10\times8\times2}{720-10\times8^2} =\frac{24}{80}=\frac3{10}
于是
a=y‾−bx‾=2−310×8=−25a=\overline y-b\overline x=2-\frac3{10}\times8=-\frac25
线性回归方程为
y^=310x−25\hat y=\frac3{10}x-\frac25
\item 回归系数 b=310>0b=\frac3{10}>0，所以 xx 与 yy 正相关. \item 当 x=7x=7 时，预测值为
y^=310×7−25=1710=1.7\hat y=\frac3{10}\times7-\frac25=\frac{17}{10}=1.7
故预测该家庭月储蓄为 1.71.7 千元. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a2=b2+c2+3bca^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{3}bc.
(1) 求 AA； (2) 设 a=3a = \sqrt{3}，SS 为 △ABC\triangle ABC 的面积，求 S+3cos⁡Bcos⁡CS + 3\cos B\cos C 的最大值. 并指出此时 BB 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由余弦定理
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
与题设比较可得 −2bccos⁡A=3bc-2bc\cos A=\sqrt3bc，cos⁡A=−32\cos A=-\frac{\sqrt3}{2}. 因为 0<A<π0<A<\pi，所以
A=5π6A=\frac{5\pi}{6}
\item 由三角形内角和
B+C=π−A=π6B+C=\pi-A=\frac\pi6
又由正弦定理及 a=3a=\sqrt3、sin⁡A=12\sin A=\frac12，有 b=23sin⁡Bb=2\sqrt3\sin B，c=23sin⁡Cc=2\sqrt3\sin C. 令 t=B−Ct=B-C，则 −π6<t<π6-\frac\pi6<t<\frac\pi6，并且
sin⁡Bsin⁡C=cos⁡t−cos⁡(B+C)2=cos⁡t−322\sin B\sin C=\frac{\cos t-\cos(B+C)}2 =\frac{\cos t-\frac{\sqrt3}{2}}2
cos⁡Bcos⁡C=cos⁡t+cos⁡(B+C)2=cos⁡t+322\cos B\cos C=\frac{\cos t+\cos(B+C)}2 =\frac{\cos t+\frac{\sqrt3}{2}}2
三角形面积为
S=12bcsin⁡A=14bc=3sin⁡Bsin⁡CS=\frac12bc\sin A =\frac14bc =3\sin B\sin C
所以
S+3cos⁡Bcos⁡C=3sin⁡Bsin⁡C+3cos⁡Bcos⁡C=3cos⁡(B−C)=3cos⁡t⩽3S+3\cos B\cos C =3\sin B\sin C+3\cos B\cos C =3\cos(B-C)=3\cos t\leqslant3
当且仅当 t=0t=0，即 B=CB=C 时取等号. 此时
B=C=B+C2=π12B=C=\frac{B+C}{2}=\frac\pi{12}
故最大值为 33，且此时 B=π12B=\frac\pi{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，PA=23PA = 2\sqrt{3}，BC=CD=2BC = CD = 2，∠ACB=∠ACD=π3\angle ACB = \angle ACD = \frac{\pi}{3}.
(1) 求证： BD⊥BD \perp 平面 PAC； (2) 若侧棱 PCPC 上的点 FF 满足 PF=7FCPF = 7FC，求三棱锥 P−BDFP - BDF 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 BCDBCD 中，BC=CDBC=CD，且 ACAC 平分顶角 ∠BCD\angle BCD，所以
AC⊥BDAC\perp BD
又因为 PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，而 BDBD 在底面内，所以 BD⊥PABD\perp PA. 直线 ACAC 与 PAPA 都在平面 PACPAC 内，且相交于 AA. 因为 BDBD 垂直于这两条相交直线，所以 BD⊥BD\perp 平面 PACPAC. \item 建立空间直角坐标系：取 CC 为原点，xx 轴沿 CACA，yy 轴沿底面内垂直于 CACA 的方向，zz 轴沿 APAP. 设 AC=mAC=m，则可取 C=(0,0,0)C=(0,0,0)，A=(m,0,0)A=(m,0,0)，B=(1,3,0)B=(1,\sqrt3,0)，D=(1,−3,0)D=(1,-\sqrt3,0)，P=(m,0,23)P=(m,0,2\sqrt3). 其中 BB，DD 的坐标来自 BC=CD=2BC=CD=2 及 ∠ACB=∠ACD=π3\angle ACB=\angle ACD=\frac\pi3.
由 PF=7FCPF=7FC，得 PF:PC=7:8PF:PC=7:8，所以
PF→=78PC→\overrightarrow{PF}=\frac78\overrightarrow{PC}
于是
VP−BDF=16⋅78∣det⁡(1−m3−231−m−3−23−m0−23)∣=16⋅78×12=74V_{P-BDF} =\frac16\cdot\frac78 \left|\det\begin{pmatrix} 1-m&\sqrt3&-2\sqrt3\\ 1-m&-\sqrt3&-2\sqrt3\\ -m&0&-2\sqrt3 \end{pmatrix}\right| =\frac16\cdot\frac78\times12=\frac74
故三棱锥 P−BDFP-BDF 的体积为 74\frac74. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 r 米r\text{ 米}，高为 h 米h\text{ 米}，体积为 V 立方米V\text{ 立方米}. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米100\text{ 元/平方米}，底面的建造成本为 160 元/平方米160\text{ 元/平方米}，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元12000\pi\text{ 元}（π\pi 为圆周率）.
(1) 将 VV 表示成 rr 的函数 V(r)V(r)，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 V(r)V(r) 的单调性，并确定 rr 和 hh 为何值时该蓄水池的体积最大.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 2πrh2\pi rh，底面积为 πr2\pi r^2，故成本条件为
100⋅2πrh+160πr2=12000π100\cdot2\pi rh+160\pi r^2=12000\pi
约去 40π40\pi，得 5rh+4r2=3005rh+4r^2=300，h=300−4r25r=60r−45rh=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r. 因为 r>0r>0 且水池高度必须为正，需有
0<r<530<r<5\sqrt3
又 V=πr2hV=\pi r^2h，所以 V(r)=π(60r−45r3)V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)，0<r<530<r<5\sqrt3. \item 求导得
V′(r)=π(60−125r2)=12π5(25−r2)V'(r)=\pi\left(60-\frac{12}{5}r^2\right) =\frac{12\pi}{5}(25-r^2)
在 (0,5)(0,5) 上，V′(r)>0V'(r)>0，所以 V(r)V(r) 递增；在 (5,53)(5,5\sqrt3) 上，V′(r)<0V'(r)<0，所以 V(r)V(r) 递减. 因此最大值在 r=5r=5 处取得. 代入高度公式：
h=605−45×5=8h=\frac{60}{5}-\frac45\times5=8
故体积最大时 r=5r=5 米、h=8h=8 米. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，椭圆的中心为原点 OO，长轴在 xx 轴上，离心率 e=22e = \frac{\sqrt{2}}{2}，过左焦点 F1F_{1} 作 xx 轴的垂线交椭圆于 AA，A′A' 两点，∣AA′∣=4|AA'| = 4.
(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 取平行于 yy 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 PP，P′P'，过 PP，P′P' 作圆心为 QQ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 QQ 外，求 △PP′Q\triangle PP'Q 的面积 SS 的最大值，并写出对应的圆 QQ 的标准方程.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a>b>0a>b>0） 焦距的一半为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2，e=ca=22e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}. 所以 c2=a22c^2=\frac{a^2}{2}，从而 b2=a22b^2=\frac{a^2}{2}. 左焦点为 (−c,0)(-c,0)，过它的竖直弦的两个端点纵坐标为 ±2\pm2，故代入椭圆方程得
c2a2+4b2=1\frac{c^2}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1
由 c2a2=12\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2} 得 4b2=12\frac{4}{b^2}=\frac{1}{2}，即 b2=8b^2=8，进而 a2=16a^2=16. 因此椭圆的标准方程为
x216+y28=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1
\item 设竖直弦所在直线为 x=tx=t，其端点为 P=(t,y0)P=(t,y_0)、P′=(t,−y0)P'=(t,-y_0). 由椭圆方程 y02=8−t22y_0^2=8-\frac{t^2}{2}，∣t∣<4|t|<4. 圆心 QQ 必在弦 PP′PP' 的垂直平分线上，而所有椭圆上其余点在圆外，意味着 PP，P′P' 是椭圆上到 QQ 的最近点. 故可设 Q=(q,0)Q=(q,0)，并令椭圆点为 (x,y)(x,y)，则其到 QQ 的距离平方为
(x−q)2+y2=x22−2qx+q2+8(x-q)^2+y^2 =\frac{x^2}{2}-2qx+q^2+8
由于最近点的横坐标 tt 在区间 (−4,4)(-4,4) 内，二次式在 x=tx=t 处取最小值，故
t=2qt=2q
于是 ∣q∣<2|q|<2，且
y02=8−2q2y_0^2=8-2q^2
三角形 PP′QPP'Q 的底为 2∣y0∣2|y_0|，高为 ∣q−t∣=∣q∣|q-t|=|q|，所以
S=∣q∣8−2q2S=|q|\sqrt{8-2q^2}
令 u=q2u=q^2，则 0⩽u<40\leqslant u<4，并且
S2=u(8−2u)=8−2(u−2)2⩽8S^2=u(8-2u)=8-2(u-2)^2\leqslant8
故 SS 的最大值为 222\sqrt2，当且仅当 q2=2q^2=2，即 q=±2q=\pm\sqrt2 时取得. 此时圆的半径平方为
QP2=(t−q)2+y02=q2+4=6QP^2=(t-q)^2+y_0^2=q^2+4=6
因此对应的圆为
(x−2)2+y2=6或(x+2)2+y2=6(x-\sqrt2)^2+y^2=6 \quad\text{或}\quad (x+\sqrt2)^2+y^2=6
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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