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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 2log⁡3x=142^{\log_3 x}=\frac{1}{4} 的解是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因 2t2^t 在 R\mathbf{R} 上严格递增，令 t=log⁡3xt=\log_3 x，由 2t=14=2−22^t=\frac{1}{4}=2^{-2} 得 t=−2t=-2，所以 log⁡3x=−2\log_3 x=-2，从而 x=3−2=19x=3^{-2}=\frac{1}{9}. 该值满足 x>0x>0，故选 A. \end{solution}
A.
x=19x=\frac{1}{9}
B.
x=33x=\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
x=3x=\sqrt{3}
D.
x=9x=9

1990 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
把复数 1+i1+\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 2π3\frac{2\pi}{3}，所得到的向量对应的复数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 顺时针旋转 2π3\frac{2\pi}{3} 相当于乘以 cos⁡2π3−isin⁡2π3=−12−32i\cos\frac{2\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}. 因而所得复数为 (1+i)(−12−32i)=3−12−1+32i(1+\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}，故选 B. \end{solution}
A.
1−32+−1+32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
B.
−1+32+−1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
C.
−1+32+1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
1−32+−1−32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

1990 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
方程 sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内的解个数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 方程可化为 sin⁡2x−sin⁡x=0\sin 2x-\sin x=0，即 sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x-1)=0. 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内，sin⁡x=0\sin x=0 给出 x=πx=\pi，而 cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} 给出 x=π3x=\frac{\pi}{3}，5π3\frac{5\pi}{3}. 这三个解互不相同，所以解的个数为 33，故选 C. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

1990 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
如图是函数 y=2sin⁡(ωx+φ)y=2\sin\left( \omega x+\varphi \right)（∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}）的图象，那么（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图象在 x=0x=0 处的函数值为 11，得 2sin⁡φ=12\sin\varphi=1. 结合 ∣φ∣<π2\lvert\varphi\rvert<\frac{\pi}{2}，可知 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}. 图象还显示在 x=11π12x=\frac{11\pi}{12} 处曲线由下向上经过 xx 轴，所以此时相位为 2π2\pi，从而 ω11π12+π6=2π\omega\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{6}=2\pi，解得 ω=2\omega=2. 因此选 C. \end{solution}
A.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
B.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}
C.
ω=2\omega=2，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
D.
ω=2\omega=2，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}

1990 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡x∣sin⁡x∣+∣cos⁡x∣cos⁡x+tan⁡x∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣cot⁡xy=\frac{\sin x}{\left| \sin x \right|}+\frac{\left| \cos x \right|}{\cos x}+\frac{\tan x}{\left| \tan x \right|}+\frac{\left| \cot x \right|}{\cot x} 的值域是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 sin⁡x≠0\sin x\neq0 且 cos⁡x≠0\cos x\neq0. 记 s=sin⁡x∣sin⁡x∣s=\frac{\sin x}{\lvert\sin x\rvert}，c=∣cos⁡x∣cos⁡xc=\frac{\lvert\cos x\rvert}{\cos x}，则 ss，c∈{1,−1}c\in\{1,-1\}，且 tan⁡x∣tan⁡x∣=sc\frac{\tan x}{\lvert\tan x\rvert}=sc，∣cot⁡x∣cot⁡x=sc\frac{\lvert\cot x\rvert}{\cot x}=sc. 所以函数值为 s+c+2scs+c+2sc. 在第一、二、三、四象限中，(s,c)(s,c) 分别为 (1,1)(1,1)、(1,−1)(1,-1)、(−1,−1)(-1,-1)、(−1,1)(-1,1)，对应函数值分别为 44、−2-2、00、−2-2. 因此值域为 {−2,0,4}\{-2,0,4\}，故选 B. \end{solution}
A.
{−2,4}\{-2,4\}
B.
{−2,0,4}\{-2,0,4\}
C.
{−2,0,2,4}\{-2,0,2,4\}
D.
{−4,−2,0,4}\{-4,-2,0,4\}

1990 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（A，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 五个人的全部排法共有 5!=1205!=120 种. 对任意一种排法，交换 A 与 B 的位置可得到唯一的另一种排法，并且这两种排法中恰有一种满足 B 在 A 的右边. 因而满足条件的排法数为 5!2=60\frac{5!}{2}=60，故选 B. \end{solution}
A.
24 种24\text{ 种}
B.
60 种60\text{ 种}
C.
90 种90\text{ 种}
D.
120 种120\text{ 种}

1990 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=arctan⁡xy=\arctan x 的图象沿 xx 轴正方向平移 22 个单位所得到的图象为 CC. 又设图象 C′C' 与 CC 关于原点对称，那么 C′C' 所对应的函数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 图象 CC 是 y=arctan⁡xy=\arctan x 沿 xx 轴正方向平移 22 个单位得到的，所以其函数为 y=arctan⁡(x−2)y=\arctan(x-2). 若 (X,Y)(X,Y) 在关于原点对称的图象 C′C' 上，则 (−X,−Y)(-X,-Y) 在 CC 上，故 −Y=arctan⁡(−X−2)-Y=\arctan(-X-2). 利用 arctan⁡\arctan 为奇函数，得 Y=arctan⁡(X+2)Y=\arctan(X+2)，所以 C′C' 所对应的函数为 y=arctan⁡(x+2)y=\arctan(x+2)，故选 D. \end{solution}
A.
y=−arctan⁡(x−2)y=-\arctan(x-2)
B.
y=arctan⁡(x−2)y=\arctan(x-2)
C.
y=−arctan⁡(x+2)y=-\arctan(x+2)
D.
y=arctan⁡(x+2)y=\arctan(x+2)

1990 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
双曲线 y216−x29=1\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1 的准线方程是______.

1990 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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18数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，如果 SnS_n 是 {an}\{a_n\} 的前 nn 项的和，那么 lim⁡n→∞nanSn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{S_n}=______.

1990 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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21数列★★☆☆☆
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 1616，第二个数与第三个数的和是 1212. 求这四个数.

1990 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+sin⁡β=14\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{4}，cos⁡α+cos⁡β=13\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}，求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值.

1990 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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