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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 2log⁡3x=142^{\log_3 x}=\frac{1}{4} 的解是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因 2t2^t 在 R\mathbf{R} 上严格递增，令 t=log⁡3xt=\log_3 x，由 2t=14=2−22^t=\frac{1}{4}=2^{-2} 得 t=−2t=-2，所以 log⁡3x=−2\log_3 x=-2，从而 x=3−2=19x=3^{-2}=\frac{1}{9}. 该值满足 x>0x>0，故选 A. \end{solution}
A.
x=19x=\frac{1}{9}
B.
x=33x=\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
x=3x=\sqrt{3}
D.
x=9x=9

1990 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
把复数 1+i1+\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 2π3\frac{2\pi}{3}，所得到的向量对应的复数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 顺时针旋转 2π3\frac{2\pi}{3} 相当于乘以 cos⁡2π3−isin⁡2π3=−12−32i\cos\frac{2\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}. 因而所得复数为 (1+i)(−12−32i)=3−12−1+32i(1+\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}，故选 B. \end{solution}
A.
1−32+−1+32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
B.
−1+32+−1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
C.
−1+32+1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
1−32+−1−32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

1990 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03★☆☆☆☆
如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 SS，那么圆柱的体积等于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设圆柱底面半径为 rr，高为 hh. 轴截面是边长分别为 2r2r 与 hh 的矩形，由轴截面为正方形得 h=2rh=2r. 因而侧面积 S=2πrh=4πr2S=2\pi rh=4\pi r^2，所以 r=12Sπr=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}}. 圆柱体积为 V=πr2h=2πr3=S4SπV=\pi r^2h=2\pi r^3=\frac{S}{4}\sqrt{\frac{S}{\pi}}，故选 D. \end{solution}
A.
S2S\frac{S}{2}\sqrt{S}
B.
S2Sπ\frac{S}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}}
C.
S4S\frac{S}{4}\sqrt{S}
D.
S4Sπ\frac{S}{4}\sqrt{\frac{S}{\pi}}

1990 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
方程 sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内的解个数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 方程可化为 sin⁡2x−sin⁡x=0\sin 2x-\sin x=0，即 sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x-1)=0. 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内，sin⁡x=0\sin x=0 给出 x=πx=\pi，而 cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} 给出 x=π3x=\frac{\pi}{3}，5π3\frac{5\pi}{3}. 这三个解互不相同，所以解的个数为 33，故选 C. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

1990 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
如图是函数 y=2sin⁡(ωx+φ)y=2\sin\left( \omega x+\varphi \right)（∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}）的图象，那么（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图象在 x=0x=0 处的函数值为 11，得 2sin⁡φ=12\sin\varphi=1. 结合 ∣φ∣<π2\lvert\varphi\rvert<\frac{\pi}{2}，可知 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}. 图象还显示在 x=11π12x=\frac{11\pi}{12} 处曲线由下向上经过 xx 轴，所以此时相位为 2π2\pi，从而 ω11π12+π6=2π\omega\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{6}=2\pi，解得 ω=2\omega=2. 因此选 C. \end{solution}
A.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
B.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}
C.
ω=2\omega=2，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
D.
ω=2\omega=2，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}

1990 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡x∣sin⁡x∣+∣cos⁡x∣cos⁡x+tan⁡x∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣cot⁡xy=\frac{\sin x}{\left| \sin x \right|}+\frac{\left| \cos x \right|}{\cos x}+\frac{\tan x}{\left| \tan x \right|}+\frac{\left| \cot x \right|}{\cot x} 的值域是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 sin⁡x≠0\sin x\neq0 且 cos⁡x≠0\cos x\neq0. 记 s=sin⁡x∣sin⁡x∣s=\frac{\sin x}{\lvert\sin x\rvert}，c=∣cos⁡x∣cos⁡xc=\frac{\lvert\cos x\rvert}{\cos x}，则 ss，c∈{1,−1}c\in\{1,-1\}，且 tan⁡x∣tan⁡x∣=sc\frac{\tan x}{\lvert\tan x\rvert}=sc，∣cot⁡x∣cot⁡x=sc\frac{\lvert\cot x\rvert}{\cot x}=sc. 所以函数值为 s+c+2scs+c+2sc. 在第一、二、三、四象限中，(s,c)(s,c) 分别为 (1,1)(1,1)、(1,−1)(1,-1)、(−1,−1)(-1,-1)、(−1,1)(-1,1)，对应函数值分别为 44、−2-2、00、−2-2. 因此值域为 {−2,0,4}\{-2,0,4\}，故选 B. \end{solution}
A.
{−2,4}\{-2,4\}
B.
{−2,0,4}\{-2,0,4\}
C.
{−2,0,2,4}\{-2,0,2,4\}
D.
{−4,−2,0,4}\{-4,-2,0,4\}

1990 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
如果直线 y=ax+2y=ax+2 与直线 y=3x−by=3x-b 关于直线 y=xy=x 对称，那么（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 的对称变换交换点的两个坐标. 设第一条直线上的点 (x,y)(x,y) 变为 (X,Y)=(y,x)(X,Y)=(y,x)，则 X=aY+2X=aY+2，即 Y=1aX−2aY=\frac{1}{a}X-\frac{2}{a}. 该直线与 Y=3X−bY=3X-b 重合，因此 1a=3\frac{1}{a}=3，且 −2a=−b-\frac{2}{a}=-b，解得 a=13a=\frac{1}{3}，b=6b=6，故选 A. \end{solution}
A.
a=13a=\frac{1}{3}，b=6b=6
B.
a=13a=\frac{1}{3}，b=−6b=-6
C.
a=3a=3，b=−2b=-2
D.
a=3a=3，b=6b=6

1990 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
极坐标方程 4ρsin⁡2θ2=54\rho\sin^2\frac{\theta}{2}=5 表示的曲线是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}，原方程化为 2ρ(1−cos⁡θ)=52\rho(1-\cos\theta)=5，即 ρ(1−cos⁡θ)=52\rho(1-\cos\theta)=\frac{5}{2}. 由于 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，所以 ρ−x=52\rho-x=\frac{5}{2}，即 ρ=x+52\rho=x+\frac{5}{2}. 这里 ρ\rho 是点到原点的距离，而 x+52x+\frac{5}{2} 是点到直线 x=−52x=-\frac{5}{2} 的距离，因此该曲线是以原点为焦点、以 x=−52x=-\frac{5}{2} 为准线的抛物线，故选 D. \end{solution}
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线

1990 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
设全集 I={(x,y)∣x,y∈R}I=\left\{(x,y)\mid x,y\in\mathbf{R}\right\}，集合 M={(x,y)∣y−3x−2=1}M=\left\{(x,y)\mid \frac{y-3}{x-2}=1\right\}，N={(x,y)∣y≠x+1}N=\left\{(x,y)\mid y\neq x+1\right\}，那么 M‾∩N‾\overline{M}\cap \overline{N} 等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 记 L={(x,y)∣y=x+1}L=\{(x,y)\mid y=x+1\}，上划线表示相对于全集 II 的补集. 由 y−3x−2=1\frac{y-3}{x-2}=1 可知 x≠2x\neq2，且 y=x+1y=x+1，所以 M=L∖{(2,3)}M=L\smallsetminus\{(2,3)\}. 又 N=I∖LN=I\smallsetminus L，从而 N‾=L\overline{N}=L，M‾=(I∖L)∪{(2,3)}\overline{M}=(I\smallsetminus L)\cup\{(2,3)\}. 因此 M‾∩N‾={(2,3)}\overline{M}\cap\overline{N}=\{(2,3)\}，故选 B. \end{solution}
A.
∅\varnothing
B.
{(2,3)}\{(2,3)\}
C.
(2,3)(2,3)
D.
{(x,y)∣y=x+1}\{(x,y)\mid y=x+1\}

1990 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
如果实数 xx，yy 满足等式 (x−2)2+y2=3(x-2)^2+y^2=3，那么 yx\frac{y}{x} 的最大值是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆的横坐标范围为 [2−3,2+3][2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]，且 2−3>02-\sqrt{3}>0，所以圆上任一点的 xx 坐标均为正. 令 m=yxm=\frac{y}{x}，即 y=mxy=mx，代入 (x−2)2+y2=3(x-2)^2+y^2=3 得 (1+m2)x2−4x+1=0(1+m^2)x^2-4x+1=0. 要使 xx 为实数，必须有判别式 16−4(1+m2)⩾016-4(1+m^2)\geqslant0，从而 m2⩽3m^2\leqslant3，所以 m⩽3m\leqslant\sqrt{3}. 当 m=3m=\sqrt{3} 时判别式为零，取 x=12x=\frac{1}{2}，y=32y=\frac{\sqrt{3}}{2} 即满足圆的方程，故最大值为 3\sqrt{3}，选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
3\sqrt{3}

1990 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，正三棱锥 S−ABCS-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果 EE，FF 分别为 SCSC，ABAB 的中点，那么异面直线 EFEF 与 SASA 所成的角等于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 取棱长为 11，建立直角坐标系，令 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(1,0,0)B=(1,0,0)，C=(12,32,0)C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)，S=(12,36,23)S=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}). 这四点构成正四面体. 于是 E=(12,33,1223)E=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})，F=(12,0,0)F=(\frac{1}{2},0,0)，所以 FE→=(0,33,1223)\overrightarrow{FE}=(0,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})，AS→=(12,36,23)\overrightarrow{AS}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}). 计算得 FE→⋅AS→=12\overrightarrow{FE}\cdot\overrightarrow{AS}=\frac{1}{2}，∣FE→∣2=12\lvert\overrightarrow{FE}\rvert^2=\frac{1}{2}，且 ∣AS→∣=1\lvert\overrightarrow{AS}\rvert=1. 设异面直线 EFEF 与 SASA 所成的锐角为 θ\theta，则 cos⁡θ=∣FE→⋅AS→∣∣FE→∣∣AS→∣=12\cos\theta=\frac{\lvert\overrightarrow{FE}\cdot\overrightarrow{AS}\rvert}{\lvert\overrightarrow{FE}\rvert\lvert\overrightarrow{AS}\rvert}=\frac{1}{\sqrt{2}}，所以 θ=45∘\theta=45^\circ，故选 C. \end{solution}
A.
90∘90^\circ
B.
60∘60^\circ
C.
45∘45^\circ
D.
30∘30^\circ

1990 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 h>0h>0. 设命题甲为：两个实数 aa，bb 满足 ∣a−b∣<2h|a-b|<2h；命题乙为：两个实数 aa，bb 满足 ∣a−1∣<h|a-1|<h 且 ∣b−1∣<h|b-1|<h. 那么甲是乙的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若命题乙成立，则由三角不等式有 ∣a−b∣⩽∣a−1∣+∣b−1∣<2h\lvert a-b\rvert\leqslant\lvert a-1\rvert+\lvert b-1\rvert<2h，所以乙可以推出甲，甲是乙成立的必要条件. 但甲不能推出乙，例如取 a=b=1+2ha=b=1+2h，有 ∣a−b∣=0<2h\lvert a-b\rvert=0<2h，而 ∣a−1∣=2h>h\lvert a-1\rvert=2h>h，乙不成立. 因此甲是乙的必要不充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

1990 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（A，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 五个人的全部排法共有 5!=1205!=120 种. 对任意一种排法，交换 A 与 B 的位置可得到唯一的另一种排法，并且这两种排法中恰有一种满足 B 在 A 的右边. 因而满足条件的排法数为 5!2=60\frac{5!}{2}=60，故选 B. \end{solution}
A.
24 种24\text{ 种}
B.
60 种60\text{ 种}
C.
90 种90\text{ 种}
D.
120 种120\text{ 种}

1990 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 把正方体的八个顶点设为 (x,y,z)(x,y,z)，其中 xx，yy，z∈{0,1}z\in\{0,1\}. 任取四个顶点共有 C84=70\mathrm C_8^4=70 组. 其中共面的四点包括六个面各自的四个顶点；此外，非面共面的四点所在的平面分别为 x=yx=y、x+y=1x+y=1、x=zx=z、x+z=1x+z=1、y=zy=z、y+z=1y+z=1，共六组. 这些共面四点各对应一个退化的四面体，且上述十二组互不重复. 因此四面体的个数为 C84−6−6=70−12=58\mathrm C_8^4-6-6=70-12=58，故选 C. \end{solution}
A.
70 个70\text{ 个}
B.
64 个64\text{ 个}
C.
58 个58\text{ 个}
D.
52 个52\text{ 个}

1990 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=arctan⁡xy=\arctan x 的图象沿 xx 轴正方向平移 22 个单位所得到的图象为 CC. 又设图象 C′C' 与 CC 关于原点对称，那么 C′C' 所对应的函数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 图象 CC 是 y=arctan⁡xy=\arctan x 沿 xx 轴正方向平移 22 个单位得到的，所以其函数为 y=arctan⁡(x−2)y=\arctan(x-2). 若 (X,Y)(X,Y) 在关于原点对称的图象 C′C' 上，则 (−X,−Y)(-X,-Y) 在 CC 上，故 −Y=arctan⁡(−X−2)-Y=\arctan(-X-2). 利用 arctan⁡\arctan 为奇函数，得 Y=arctan⁡(X+2)Y=\arctan(X+2)，所以 C′C' 所对应的函数为 y=arctan⁡(x+2)y=\arctan(x+2)，故选 D. \end{solution}
A.
y=−arctan⁡(x−2)y=-\arctan(x-2)
B.
y=arctan⁡(x−2)y=\arctan(x-2)
C.
y=−arctan⁡(x+2)y=-\arctan(x+2)
D.
y=arctan⁡(x+2)y=\arctan(x+2)

1990 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
双曲线 y216−x29=1\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1 的准线方程是______.

1990 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
(x−1)−(x−1)2+(x−1)3−(x−1)4+(x−1)5(x-1)-(x-1)^2+(x-1)^3-(x-1)^4+(x-1)^5 的展开式中，x2x^2 的系数等于______.

1990 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，如果 SnS_n 是 {an}\{a_n\} 的前 nn 项的和，那么 lim⁡n→∞nanSn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{S_n}=______.

1990 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡xcos⁡x+sin⁡x+cos⁡xy=\sin x\cos x+\sin x+\cos x 的最大值是______.

1990 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，若 EE，FF 分别为 ABAB，ACAC 的中点，平面 EB1C1FEB_1C_1F 将三棱柱分成体积为 V1V_1，V2V_2 的两部分，那么 V1:V2=V_1:V_2=______.

1990 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21数列★★☆☆☆
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 1616，第二个数与第三个数的和是 1212. 求这四个数.

1990 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+sin⁡β=14\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{4}，cos⁡α+cos⁡β=13\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}，求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值.

1990 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，SA⊥SA\perp 底面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC. DEDE 垂直平分 SCSC，且分别交 ACAC，SCSC 于 DD，EE. 又 SA=ABSA=AB，SB=BCSB=BC. 求以 BDBD 为棱，以 BDEBDE 与 BDCBDC 为面的二面角的度数.

1990 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24复数★★★★☆
设 a⩾0a\geqslant 0，在复数集 C\mathbb C 中解方程：z2+2∣z∣=az^2+2|z|=a.

1990 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25解析几何★★★★☆
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 xx 轴上，离心率 e=32e=\frac{\sqrt{3}}{2}，已知点 P(0,32)P\left( 0,\frac{3}{2} \right) 到这个椭圆上的点的最远距离是 7\sqrt{7}. 求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 PP 的距离等于 7\sqrt{7} 的点的坐标.

1990 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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