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04解析几何★★☆☆☆
双曲线 x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 双曲线的顶点为 (1,0)(1,0) 和 (−1,0)(-1,0)，其渐近线为 y=xy=x 与 y=−xy=-x. 以顶点 (1,0)(1,0) 为例，到直线 x−y=0x-y=0 的距离为
∣1−0∣12+(−1)2=22\frac{|1-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
另一个顶点所得距离相同，故选 B. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
1
D.
2\sqrt{2}

2013 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln (x^2 + 1) 的图象大致是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 函数的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=ln⁡((−x)2+1)=f(x)f(-x)=\ln((-x)^2+1)=f(x)，所以图象关于 yy 轴对称. 又 x2+1⩾1x^2+1\geqslant1，从而 f(x)⩾0f(x)\geqslant0，且仅在 x=0x=0 时取到最小值 00. 此外，f′(x)=2xx2+1f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}，所以 x>0x>0 时函数递增，x<0x<0 时函数递减. 因此图象是关于 yy 轴对称、在原点处取最低点的曲线，对应选项 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2013 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽2,x⩾1,y⩾0,\begin{cases} x + y \leqslant 2,\\ x \geqslant 1,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值和最小值分别为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 约束区域的边界交点为 (1,0)(1,0)、(2,0)(2,0)、(1,1)(1,1). 在线性目标函数的三个顶点处计算： z(1,0)=2z(1,0)=2，z(2,0)=4z(2,0)=4，z(1,1)=3z(1,1)=3. 所以 zz 的最大值为 44，最小值为 22，故选 B. \end{solution}
A.
44 和 33
B.
44 和 22
C.
33 和 22
D.
22 和 00

2013 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 nn 后，输出的 S∈(10,20)S \in (10, 20)，那么 nn 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设循环执行 jj 次. 初始 S=0S=0，每次循环把 SS 变为 1+2S1+2S，所以由递推可得 S=2j−1S=2^j-1；同时初始 k=1k=1，每次循环后 kk 加 11，故执行 jj 次后 k=j+1k=j+1. 程序在 k>nk>n 时停止，因此恰好执行 nn 次，输出 S=2n−1S=2^n-1. 由
10<2n−1<2010<2^n-1<20
得 11<2n<2111<2^n<21，所以 n=4n=4，故选 B. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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