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01复数★☆☆☆☆
复数 z=−1−2iz = -1 - 2\mathrm{i}（i\mathrm{i}为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 复数 z=−1−2iz=-1-2\mathrm{i} 的实部为 −1-1，虚部为 −2-2，所以它在复平面内对应点的坐标为 (−1,−2)(-1,-2)，该点位于第三象限，故选 C. \end{solution}
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设点 P(x,y)P(x, y)，则“x=2x = 2 且 y=−1y = -1”是“点 PP 在直线 l:x+y−1=0l: x + y - 1 = 0 上”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x=2x=2，y=−1y=-1 时，x+y−1=2−1−1=0x+y-1=2-1-1=0，所以该条件能推出点 PP 在直线 ll 上. 反过来，若点 PP 在 ll 上，只能得到 x+y=1x+y=1，例如点 (1,0)(1,0) 也在 ll 上，却不满足 x=2x=2 且 y=−1y=-1. 因此该条件是充分而不必要条件，故选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}，B={1,3,4}B = \{1, 3, 4\}，则 A∩BA \cap B 的子集个数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，B={1,3,4}B=\{1,3,4\}，得 A∩B={1,3}A\cap B=\{1,3\}，其中有 22 个元素. 含 22 个元素的集合共有 22=42^2=4 个子集，故选 C. \end{solution}
A.
22
B.
33
C.
44
D.
1616

2013 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
双曲线 x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 双曲线的顶点为 (1,0)(1,0) 和 (−1,0)(-1,0)，其渐近线为 y=xy=x 与 y=−xy=-x. 以顶点 (1,0)(1,0) 为例，到直线 x−y=0x-y=0 的距离为
∣1−0∣12+(−1)2=22\frac{|1-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
另一个顶点所得距离相同，故选 B. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
1
D.
2\sqrt{2}

2013 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln (x^2 + 1) 的图象大致是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 函数的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=ln⁡((−x)2+1)=f(x)f(-x)=\ln((-x)^2+1)=f(x)，所以图象关于 yy 轴对称. 又 x2+1⩾1x^2+1\geqslant1，从而 f(x)⩾0f(x)\geqslant0，且仅在 x=0x=0 时取到最小值 00. 此外，f′(x)=2xx2+1f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}，所以 x>0x>0 时函数递增，x<0x<0 时函数递减. 因此图象是关于 yy 轴对称、在原点处取最低点的曲线，对应选项 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2013 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽2,x⩾1,y⩾0,\begin{cases} x + y \leqslant 2,\\ x \geqslant 1,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值和最小值分别为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 约束区域的边界交点为 (1,0)(1,0)、(2,0)(2,0)、(1,1)(1,1). 在线性目标函数的三个顶点处计算： z(1,0)=2z(1,0)=2，z(2,0)=4z(2,0)=4，z(1,1)=3z(1,1)=3. 所以 zz 的最大值为 44，最小值为 22，故选 B. \end{solution}
A.
44 和 33
B.
44 和 22
C.
33 和 22
D.
22 和 00

2013 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若 2x+2y=12^{x} + 2^{y} = 1，则 x+yx + y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 u=2xu=2^x，v=2yv=2^y，则 u>0u>0，v>0v>0，且 u+v=1u+v=1. 由均值不等式，0<uv⩽140<uv\leqslant\frac14，其中上界在 u=v=12u=v=\frac12 时取得；当 uu 趋近于 00 或 11 时，uvuv 趋近于 00，但不取 00. 因此
x+y=log⁡2(uv)⩽log⁡214=−2x+y=\log_2(uv)\leqslant\log_2\frac14=-2
且下方无界，故 x+y∈(−∞,−2]x+y\in(-\infty,-2]，选 D. \end{solution}
A.
[0,2][0,2]
B.
[−2,0][-2,0]
C.
[−2,+∞)[-2, +\infty)
D.
(−∞,−2](- \infty, -2]

2013 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 nn 后，输出的 S∈(10,20)S \in (10, 20)，那么 nn 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设循环执行 jj 次. 初始 S=0S=0，每次循环把 SS 变为 1+2S1+2S，所以由递推可得 S=2j−1S=2^j-1；同时初始 k=1k=1，每次循环后 kk 加 11，故执行 jj 次后 k=j+1k=j+1. 程序在 k>nk>n 时停止，因此恰好执行 nn 次，输出 S=2n−1S=2^n-1. 由
10<2n−1<2010<2^n-1<20
得 11<2n<2111<2^n<21，所以 n=4n=4，故选 B. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(2x+θ)f(x) = \sin (2x + \theta)（−π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}）的图象向右平移 φ\varphi（φ>0\varphi > 0）个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象. 若 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象都经过点 P(0,32)P\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则 φ\varphi 的值可以是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数图象向右平移 φ\varphi 个单位后，所得函数为 g(x)=f(x−φ)g(x)=f(x-\varphi). 因为 f(0)=32f(0)=\frac{\sqrt{3}}2，且 −π2<θ<π2-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2，所以 sin⁡θ=32\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}2 给出 θ=π3\theta=\frac\pi3. 又 g(0)=32g(0)=\frac{\sqrt{3}}2，故
sin⁡(π3−2φ)=32\sin\left(\frac\pi3-2\varphi\right)=\frac{\sqrt{3}}2
因为 sin⁡t=32\sin t=\frac{\sqrt3}{2} 的解为 t=π3+2kπt=\frac\pi3+2k\pi 或 t=2π3+2kπt=\frac{2\pi}3+2k\pi，取 π3−2φ=2π3−2π\frac\pi3-2\varphi=\frac{2\pi}3-2\pi，得到 φ=5π6\varphi=\frac{5\pi}{6}. 它满足 φ>0\varphi>0，故选 B. \end{solution}
A.
5π3\frac{5\pi}{3}
B.
5π6\frac{5\pi}{6}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2013 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 四边形的面积等于两条对角线长度及其夹角正弦乘积的一半. 用向量坐标计算两条对角线的叉积：
∣AC→×BD→∣=∣1⋅2−2⋅(−4)∣=10\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\right| =\left|1\cdot2-2\cdot(-4)\right|=10
所以四边形 ABCDABCD 的面积为 12×10=5\frac12\times10=5，故选 C. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
55
D.
1010

2013 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
已知 xx 与 yy 之间的几组数据如下表：
xx112233445566
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}，若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)(1, 0) 和 (2,2)(2, 2) 求得的直线方程为 y=b′x+a′y = b'x + a'，则以下结论正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由表中数据得 xˉ=1+2+3+4+5+66=72\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72，yˉ=0+2+1+3+3+46=136\bar{y}=\frac{0+2+1+3+3+4}{6}=\frac{13}{6}. 于是
∑i=16(xi−xˉ)2=(−52)2+(−32)2+(−12)2+(12)2+(32)2+(52)2=352\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 =\left(-\frac52\right)^2+\left(-\frac32\right)^2+\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac52\right)^2=\frac{35}{2}
∑i=16(xi−xˉ)(yi−yˉ)=65+3+7+5+15+5512=252\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) =\frac{65+3+7+5+15+55}{12}=\frac{25}{2}
因此回归直线的斜率与截距分别为 b^=252352=57\hat b=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}=\frac57，a^=yˉ−b^xˉ=136−57⋅72=−13\hat a=\bar y-\hat b\bar x=\frac{13}{6}-\frac57\cdot\frac72=-\frac13. 前两组数据确定的直线斜率、截距为 b′=2−02−1=2b'=\frac{2-0}{2-1}=2，a′=−2a'=-2. 于是 b^<b′\hat b<b'，a^>a′\hat a>a'，故选 C. \end{solution}
A.
b^>b′,a^>a′\hat{b} > b', \hat{a} > a'
B.
b^>b′\hat{b} > b'，a^<a′\hat{a} < a'
C.
b^<b′\hat{b} < b'，a^>a′\hat{a} > a'
D.
b^<b′\hat{b} < b'，a^<a′\hat{a} < a'

2013 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0 （x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极大值点，所以在 x0x_0 的某邻域内有 f(x)⩽f(x0)f(x)\leqslant f(x_0). 令 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x)，当 xx 在 −x0-x_0 的相应邻域内时，−x-x 在 x0x_0 的邻域内，从而
h(x)=−f(−x)⩾−f(x0)=h(−x0)h(x)=-f(-x)\geqslant-f(x_0)=h(-x_0)
因此 −x0-x_0 是 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x) 的极小值点，故选 D. \end{solution}
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x\in \mathbf{R},f(x)\leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
f(x)={2x3,x<0,−tan⁡x,0⩽x<π2,f(x) = \begin{cases} 2x^{3}, & x < 0,\\ -\tan x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \end{cases}
则 f(f(π4))=‾f\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 因为 0⩽π4<π20\leqslant\frac\pi4<\frac\pi2，所以
f(π4)=−tan⁡π4=−1f\left(\frac\pi4\right)=-\tan\frac\pi4=-1
又因为 −1<0-1<0，应使用分段函数的第一段，故
f(f(π4))=f(−1)=2(−1)3=−2f\left(f\left(\frac\pi4\right)\right)=f(-1)=2(-1)^3=-2
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
利用计算机产生 0∼10 \sim 1 之间的均匀随机数 aa，则事件“3a−1<03a - 1 < 0”发生的概率为______.
\begin{answer} 13\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由 3a−1<03a-1<0 得 0⩽a<130\leqslant a<\frac13. 随机数 aa 在区间 [0,1][0,1] 上均匀分布，所以所求概率等于区间长度之比：
P=13−01−0=13P=\frac{\frac13-0}{1-0}=\frac13
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c. 若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.
\begin{answer} 3−1\sqrt{3}-1 \end{answer}
\begin{solution} 取左、右焦点分别为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0). 直线 y=3(x+c)y=\sqrt3(x+c) 经过 F1F_1，其向右上方的射线与 xx 轴正方向的夹角为 60∘60^\circ. 若点 MM 在该直线的另一条射线上，则 ∠MF1F2=120∘\angle MF_1F_2=120^\circ，由题设得 ∠MF2F1=60∘\angle MF_2F_1=60^\circ，从而三角形在 MM 处的内角为 0∘0^\circ，与三角形非退化矛盾. 因此 MM 在向右上方的射线上，从而
∠MF1F2=60∘\angle MF_1F_2=60^\circ
由题设 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1，得 ∠MF2F1=30∘\angle MF_2F_1=30^\circ，于是三角形 MF1F2MF_1F_2 在 MM 处为直角三角形. 因为 F1F2=2cF_1F_2=2c，所以由 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形的边长关系，MF1=cMF_1=c，MF2=3cMF_2=\sqrt3c.
点 MM 在椭圆上，故由椭圆定义
2a=MF1+MF2=(1+3)c2a=MF_1+MF_2=(1+\sqrt3)c
因此离心率
e=ca=21+3=3−1e=\frac ca=\frac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集. 如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x)\mid x\in S\}； ② 对任意 x1x_{1}，x2∈Sx_{2} \in S，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_{1}) < f(x_{2})，
那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下 3 对集合：
① A=NA = \mathbf{N}，B=N∗;B = \mathbf{N}^{*}; ② A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}，B={x∣−8⩽x⩽10}B = \{x\mid -8\leqslant x\leqslant 10\}； ③ A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}，B=RB = \mathbf{R}.
其中，“保序同构”的集合对的序号是______. （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
\begin{answer} \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3} \end{answer}
\begin{solution} 对第\circled1\circled{1}对集合，按 N={0,1,2,…}\mathbf{N}=\{0,1,2,\ldots\}、N∗={1,2,3,…}\mathbf{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\} 取 f(x)=x+1f(x)=x+1. 该函数严格递增，且值域为 N∗\mathbf{N}^{*}，所以第\circled1\circled{1}对保序同构.
对第\circled2\circled{2}对集合，取
f(x)=92(x+1)−8=92x−72f(x)=\frac92(x+1)-8=\frac92x-\frac72
它把 [−1,3][-1,3] 的两个端点分别映为 −8,10-8,10，并且斜率为正，所以严格递增且值域为 [−8,10][-8,10]，第\circled2\circled{2}对保序同构.
对第\circled3\circled{3}对集合，取 f(x)=tan⁡(πx−π2)f(x)=\tan\left(\pi x-\frac\pi2\right)，0<x<10<x<1. 该函数在 (0,1)(0,1) 上严格递增，且当 x→0+x\to0^+ 时 f(x)→−∞f(x)\to-\infty，当 x→1−x\to1^- 时 f(x)→+∞f(x)\to+\infty，值域为 R\mathbf{R}，所以第\circled3\circled{3}对也保序同构. 因此应填 \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AB⊥ADAB \perp AD，BC=5BC = 5，DC=3DC = 3，AD=4AD = 4，∠PAD=60∘\angle PAD = 60^\circ.
(1) 当正视方向与向量 AD→\overrightarrow{AD} 的方向相同时，画出四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的正视图 （要求标出尺寸，并写出演算过程）； (2) 若 MM 为 PAPA 的中点，求证： DM∥DM \parallel 平面 PBCPBC； (3) 求三棱锥 D−PBCD-PBC 的体积.

2013 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50,60)[50, 60)，[60,70)[60, 70)，[70,80)[70, 80)，[80,90)[80, 90)，[90,100][90, 100] 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2×22\times 2 列联表，并判断是否有 90%90\% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}，P{χ2⩾k}P\left\{\chi^{2} \geqslant k\right\}
P{χ2⩾k}P\{\chi^2 \geqslant k\}0.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.001
（注：此处公式也可以写成 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}）
=0pt =0pt

2013 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 E:y2=4xE: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，准线 ll 与 xx 轴的交点为 AA. 点 CC 在抛物线 EE 上. 以 CC 为圆心，∣CO∣|CO| 为半径作圆，设圆 CC 与准线 ll 交于不同的两点 MM，NN.
(1) 若点 CC 的纵坐标为 2，求 ∣MN∣\left|MN\right|； (2) 若 ∣AF∣2=∣AM∣⋅∣AN∣\left|AF\right|^{2}=\left|AM\right|\cdot\left|AN\right|，求圆 CC 的半径.

2013 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，在等腰直角 △OPQ\triangle OPQ 中，∠POQ=90∘\angle POQ = 90^{\circ}，OP=22OP = 2\sqrt{2}，点 MM 在线段 PQPQ 上.
(1) 若 OM=5OM = \sqrt{5}，求 PMPM 的长； (2) 若点 NN 在线段 MQMQ 上，且 ∠MON=30∘\angle MON = 30^{\circ}，问：当 ∠POM\angle POM 取何值时，△OMN\triangle OMN 的面积最小？ 并求出面积的最小值.

2013 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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