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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
tan⁡x=1\tan x = 1 是 x=54πx = \frac{5}{4}\pi 的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令命题 PP 为“tan⁡x=1\tan x=1”，命题 QQ 为“x=54πx=\frac{5}{4}\pi”. 当 QQ 成立时， tan⁡x=tan⁡54π=1\tan x=\tan\frac{5}{4}\pi=1，所以 QQ 能推出 PP，即 PP 是 QQ 的必要条件.
但 PP 不能推出 QQ，因为 x=14πx=\frac{1}{4}\pi 时 tan⁡x=1\tan x=1，而 x≠54πx\ne\frac{5}{4}\pi. 所以“tan⁡x=1\tan x=1”是“x=54πx=\frac{5}{4}\pi”的必要而非充分条件，应选 A. \end{solution}
A.
必要条件
B.
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要的条件

1985 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上的增函数又是以 π\pi 为周期的偶函数（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 逐项检查两个性质. 函数 y=x2y=x^2 虽为偶函数且在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上递增，但 f(0)=0≠π2=f(π)f(0)=0\ne\pi^2=f(\pi)，不是以 π\pi 为周期的函数.
函数 y=∣sin⁡x∣y=|\sin x| 满足 ∣sin⁡(−x)∣=∣sin⁡x∣|\sin(-x)|=|\sin x|，所以是偶函数；又有 ∣sin⁡(x+π)∣=∣sin⁡x∣|\sin(x+\pi)|=|\sin x|，所以 π\pi 是它的周期. 在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上，∣sin⁡x∣=sin⁡x|\sin x|=\sin x，而 sin⁡x\sin x 严格递增，因此该函数满足题设的两个条件.
函数 y=cos⁡2xy=\cos 2x 虽为偶函数且以 π\pi 为周期，但在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上其导数为 −2sin⁡2x<0-2\sin 2x<0，是减函数. 函数 y=esin⁡2xy=\mathrm{e}^{\sin 2x} 在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 与 x=π3x=\frac{\pi}{3} 处函数值相同，且 f(−x)=e−sin⁡2xf(-x)=\mathrm{e}^{-\sin 2x} 一般不等于 f(x)f(x)，既不是该区间上的增函数，也不是偶函数.
所以应选 B. \end{solution}
A.
y=x2y=x^{2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）
B.
y=∣sin⁡x∣y=|\sin x|（x∈Rx\in\mathbf{R}）
C.
y=cos⁡2xy=\cos 2x（x∈Rx\in\mathbf{R}）
D.
y=esin⁡2xy=\mathrm{e}^{\sin 2x}（x∈Rx\in\mathbf{R}）

1985 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
求函数 y=4−x2x−1y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x - 1} 的定义域.

1985 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 解答题

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07解析几何★★☆☆☆
求圆锥曲线 3x2−y2+6x+2y−1=03x^{2} - y^{2} + 6x + 2y - 1 = 0 的离心率.

1985 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
求函数 y=−x2+4x−2y = -x^{2} + 4x - 2 在区间 [0,3][0,3] 上的最大值和最小值.

1985 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 解答题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：lg⁡(3−x)−lg⁡(3+x)=lg⁡(1−x)−lg⁡(2x+1)\lg (3-x)-\lg (3+x)=\lg (1-x)-\lg (2x+1).

1985 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 解答题

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14不等式★★☆☆☆
解不等式：2x+5>x+1\sqrt{2x+5}>x+1.

1985 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 解答题

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