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01立体几何初步★☆☆☆☆
如果正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 的棱长为 aa，那么四面体 A′−ABDA' - ABD 的体积是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 底面三角形 ABDABD 是正方形 ABCDABCD 的一半，所以 S△ABD=12a2S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}a^2. 点 A′A' 在底面 ABCDABCD 上点 AA 的正上方，故四面体 A′−ABDA'-ABD 的高为 A′A=aA'A=a. 因此 VA′−ABD=13S△ABD⋅A′A=13⋅a22⋅a=a36V_{A'-ABD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot A'A=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}.
所以应选 D. \end{solution}
A.
a32\frac{a^3}{2}
B.
a33\frac{a^3}{3}
C.
a34\frac{a^3}{4}
D.
a36\frac{a^3}{6}

1985 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
tan⁡x=1\tan x = 1 是 x=54πx = \frac{5}{4}\pi 的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令命题 PP 为“tan⁡x=1\tan x=1”，命题 QQ 为“x=54πx=\frac{5}{4}\pi”. 当 QQ 成立时， tan⁡x=tan⁡54π=1\tan x=\tan\frac{5}{4}\pi=1，所以 QQ 能推出 PP，即 PP 是 QQ 的必要条件.
但 PP 不能推出 QQ，因为 x=14πx=\frac{1}{4}\pi 时 tan⁡x=1\tan x=1，而 x≠54πx\ne\frac{5}{4}\pi. 所以“tan⁡x=1\tan x=1”是“x=54πx=\frac{5}{4}\pi”的必要而非充分条件，应选 A. \end{solution}
A.
必要条件
B.
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要的条件

1985 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 X={0,1,2,4,5,7}X = \{0,1,2,4,5,7\}，Y={1,3,6,8,9}Y = \{1,3,6,8,9\}，Z={3,7,8}Z = \{3,7,8\}，那么集合 (X∩Y)∪Z(X \cap Y) \cup Z 是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 先求交集：集合 XX 与 YY 的公共元素只有 11，故 X∩Y={1}X\cap Y=\{1\}. 再与 ZZ 作并集，得到 (X∩Y)∪Z={1}∪{3,7,8}={1,3,7,8}(X\cap Y)\cup Z=\{1\}\cup\{3,7,8\}=\{1,3,7,8\}.
所以应选 C. \end{solution}
A.
{0,1,2,6,8}\{0,1,2,6,8\}
B.
{3,7,8}\{3,7,8\}
C.
{1,3,7,8}\{1,3,7,8\}
D.
{1,3,6,7,8}\{1,3,6,7,8\}

1985 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上的增函数又是以 π\pi 为周期的偶函数（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 逐项检查两个性质. 函数 y=x2y=x^2 虽为偶函数且在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上递增，但 f(0)=0≠π2=f(π)f(0)=0\ne\pi^2=f(\pi)，不是以 π\pi 为周期的函数.
函数 y=∣sin⁡x∣y=|\sin x| 满足 ∣sin⁡(−x)∣=∣sin⁡x∣|\sin(-x)|=|\sin x|，所以是偶函数；又有 ∣sin⁡(x+π)∣=∣sin⁡x∣|\sin(x+\pi)|=|\sin x|，所以 π\pi 是它的周期. 在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上，∣sin⁡x∣=sin⁡x|\sin x|=\sin x，而 sin⁡x\sin x 严格递增，因此该函数满足题设的两个条件.
函数 y=cos⁡2xy=\cos 2x 虽为偶函数且以 π\pi 为周期，但在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上其导数为 −2sin⁡2x<0-2\sin 2x<0，是减函数. 函数 y=esin⁡2xy=\mathrm{e}^{\sin 2x} 在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 与 x=π3x=\frac{\pi}{3} 处函数值相同，且 f(−x)=e−sin⁡2xf(-x)=\mathrm{e}^{-\sin 2x} 一般不等于 f(x)f(x)，既不是该区间上的增函数，也不是偶函数.
所以应选 B. \end{solution}
A.
y=x2y=x^{2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）
B.
y=∣sin⁡x∣y=|\sin x|（x∈Rx\in\mathbf{R}）
C.
y=cos⁡2xy=\cos 2x（x∈Rx\in\mathbf{R}）
D.
y=esin⁡2xy=\mathrm{e}^{\sin 2x}（x∈Rx\in\mathbf{R}）

1985 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
用 11、22、33、44、55 这五个数字，可以组成比 2000020000 大，并且百位数不是数字 33 的没有重复数字的五位数，共有（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 五位数的首位不能为 11，且用这些数字组成的数首位为 22、33、44 或 55 时都大于 2000020000. 先不考虑百位限制，每确定首位后，其余四位有 4!=244!=24 种排法，共有 4×24=964\times24=96 个.
现在排除百位为 33 的情形. 首位为 22、44 或 55 时，数字 33 仍在其余四位中，固定它在百位后，另外三位有 3!=63!=6 种排法，所以每种首位应排除 66 个. 首位为 33 时，数字 33 已经用作首位，百位不可能为 33，因此保留全部 2424 个.
所求个数为 (24−6)+24+(24−6)+(24−6)=78\left(24-6\right)+24+\left(24-6\right)+\left(24-6\right)=78.
所以应选 B. \end{solution}
A.
96 个96\text{ 个}
B.
78 个78\text{ 个}
C.
72 个72\text{ 个}
D.
64 个64\text{ 个}

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06函数与初等函数★★☆☆☆
求函数 y=4−x2x−1y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x - 1} 的定义域.

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07解析几何★★☆☆☆
求圆锥曲线 3x2−y2+6x+2y−1=03x^{2} - y^{2} + 6x + 2y - 1 = 0 的离心率.

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08函数与初等函数★★☆☆☆
求函数 y=−x2+4x−2y = -x^{2} + 4x - 2 在区间 [0,3][0,3] 上的最大值和最小值.

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
设 (3x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(3x-1)^6=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 的值.

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10复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，求 (1+i)6(1+\mathrm{i})^6 的值.

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11数列★★★☆☆
设 S1=12S_1=1^2，S2=12+22+12S_2=1^2+2^2+1^2，S3=12+22+32+22+12S_3=1^2+2^2+3^2+2^2+1^2，⋯\cdots，Sn=12+22+32+⋯+n2+⋯+32+22+12S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+\cdots+3^2+2^2+1^2，⋯\cdots. 用数学归纳法证明：公式 Sn=n(2n2+1)3S_n=\frac{n(2n^2+1)}{3} 对所有的正整数 nn 都成立.

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12三角函数★★★☆☆
证明三角恒等式：2sin⁡4x+34sin⁡22x+5cos⁡4x−cos⁡3xcos⁡x=2(1+cos⁡2x)2\sin^4 x+\frac{3}{4}\sin^2 2x+5\cos^4 x-\cos 3x\cos x=2(1+\cos^2 x).

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：lg⁡(3−x)−lg⁡(3+x)=lg⁡(1−x)−lg⁡(2x+1)\lg (3-x)-\lg (3+x)=\lg (1-x)-\lg (2x+1).

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14不等式★★☆☆☆
解不等式：2x+5>x+1\sqrt{2x+5}>x+1.

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15立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 V−ABCV-ABC 的三个侧面与底面所成的二面角都是 β\beta，它的高是 hh. 求这个棱锥底面的内切圆半径.

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16解析几何★★★☆☆
已知圆 C:x2+y2+4x−12y+39=0C:x^2+y^2+4x-12y+39=0 和直线 L:3x−4y+5=0L:3x-4y+5=0. 求圆 CC 关于直线 LL 的对称的圆的方程.

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17数列★★★☆☆
设首项为 11，公比为 qq（q>0q>0）的等比数列的前 nn 项之和为 SnS_n. 又设 Tn=SnSn+1T_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}，n=1n=1，22，⋯\cdots. 求 lim⁡n→∞Tn\displaystyle\lim_{n\to\infty} T_n.

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