某三棱锥的侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由侧视图可知三棱锥的高为等腰三角形的高. 该等腰三角形的两腰长为 $2$，底边为 $1+1=2$，故 由俯视图可知底面为边长为 $2$ 的等边三角形，底面积为 $S=\frac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3$. 所以三棱锥的体积为 $V=\frac13Sh=\frac13\times\sqrt3\times\sqrt3=1$，故选 D. \end{solution}

执行如图所示的程序框图，如果输入的 $x$，$y \in \mathbf{R}$，则输出的 $S$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 当输入的 $x$，$y$ 满足 $x\geqslant0$，$y\geqslant0$，$x+y\leqslant1$ 时，程序输出 $S=2x+y$. 该可行域的顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$. 在三个顶点处，$2x+y$ 的值分别为 $0$，$2$，$1$，故线性函数在可行域上的最大值为 $2$. 不满足条件时程序输出 $S=1$，不能超过 $2$. 因此输出的 $S$ 的最大值为 $2$，故选 C. \end{solution}

已知 $b > 0$，$\log_5 b = a$，$\lg b = c$，$5^{d} = 10$，则下列等式一定成立的是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 由 $5^{d}=10$ 得 $d=\log_{5}10$. 换底可得 于是 $a=cd$，故选 B. \end{solution}

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的周期为 2 的函数，当 $x \in [-1,1)$ 时， 则 $f\left(\frac{3}{2}\right) =$______. \begin{answer} 1 \end{answer}

\begin{solution} 函数周期为 $2$，所以 $f\left(\frac32\right)=f\left(\frac32-2\right)=f\left(-\frac12\right)$. 由于 $-\frac12\in[-1,0)$，代入分段表达式得 故填 $1$. \end{solution}

一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1， 2， 3，这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a$，$b$，$c$.

(1) 求“抽取的卡片上的数字满足 $a + b = c$”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 $a$，$b$，$c$ 不完全相同”的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 每次抽取都有 $3$ 种等可能结果，三次抽取的有序结果共有 $3^3=27$ 个. 满足 $a+b=c$ 时，若 $a=b=1$，则 $c=2$，有 $1$ 个结果；若 $(a,b)=(1,2)$ 或 $(2,1)$，则 $c=3$，有 $2$ 个结果；其他情形均不满足条件. 因此所求概率为 $\frac{1+2}{27}=\frac19$. \item 三次抽取结果等可能. $a$，$b$，$c$ 完全相同的结果为 $(1,1,1)$，$(2,2,2)$，$(3,3,3)$，共有 $3$ 个，所以三者完全相同的概率为 $\frac3{27}=\frac19$. 因此三者不完全相同的概率为 $1-\frac19=\frac89$. \end{enumerate} \end{solution}