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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣(x+1)(x−2)⩽0}A = \{x \mid (x + 1)(x - 2) \leqslant 0\}，集合 BB 为整数集，则 A∩B=A \cap B =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 (x+1)(x−2)⩽0(x+1)(x-2)\leqslant0 的两个根为 −1-1，22，且二次项系数为正，得 A=[−1,2]A=[-1,2]. 又 B=ZB=\mathbf{Z}，所以 A∩B={−1,0,1,2}A\cap B=\{-1,0,1,2\}，故选 D. \end{solution}
A.
{−1,0}\{-1,0\}
B.
{0,1}\{0, 1\}
C.
{−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}

2014 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析. 在这个问题中，5000 名居民的阅读时间的全体是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 统计对象是这 50005000 名居民某天的阅读时间，研究中的全部个体组成总体；其中任意一名居民的阅读时间是一个个体，抽取的 200200 个阅读时间构成样本，200200 是样本容量. 因此题目所说的全体是总体，故选 A. \end{solution}
A.
总体
B.
个体
C.
样本的容量
D.
从总体中抽取的一个样本

2014 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(x+1)y = \sin (x + 1) 的图象，只需把函数 y=sin⁡xy = \sin x 的图象上所有的点（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 把 y=sin⁡xy=\sin x 的图象向左平移 11 个单位后，图象上原来横坐标为 x+1x+1 的点移动到横坐标为 xx 的位置，函数值变为 sin⁡(x+1)\sin(x+1). 因此所得函数为 y=sin⁡(x+1)y=\sin(x+1)，故选 A. \end{solution}
A.
向左平行移动 1 个单位长度
B.
向右平行移动 1 个单位长度
C.
向左平行移动 π\pi 个单位长度
D.
向右平行移动 π\pi 个单位长度

2014 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
某三棱锥的侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由侧视图可知三棱锥的高为等腰三角形的高. 该等腰三角形的两腰长为 22，底边为 1+1=21+1=2，故
h=22−12=3h=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}
由俯视图可知底面为边长为 22 的等边三角形，底面积为 S=12×2×3=3S=\frac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3. 所以三棱锥的体积为 V=13Sh=13×3×3=1V=\frac13Sh=\frac13\times\sqrt3\times\sqrt3=1，故选 D. \end{solution}
A.
3
B.
2
C.
3\sqrt{3}
D.
1

2014 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 a>b>0a > b > 0，c<d<0c < d < 0，则一定有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 c=−uc=-u，d=−vd=-v，则 u>v>0u>v>0. 比较后两个选项，因 cd>0cd>0，有
ad<bc  ⟺  ac<bd  ⟺  au>bv\frac{a}{d}<\frac{b}{c}\iff ac<bd\iff au>bv
而 a>b>0a>b>0，u>v>0u>v>0，所以 au>bvau>bv，从而 ad<bc\frac{a}{d}<\frac{b}{c} 恒成立，故选 D. \end{solution}
A.
ac>bd\frac{a}{c} > \frac{b}{d}
B.
ac<bd\frac{a}{c} < \frac{b}{d}
C.
ad>bc\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
D.
ad<bc\frac{a}{d} < \frac{b}{c}

2014 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，则输出的 SS 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 当输入的 xx，yy 满足 x⩾0x\geqslant0，y⩾0y\geqslant0，x+y⩽1x+y\leqslant1 时，程序输出 S=2x+yS=2x+y. 该可行域的顶点为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(0,1)(0,1). 在三个顶点处，2x+y2x+y 的值分别为 00，22，11，故线性函数在可行域上的最大值为 22. 不满足条件时程序输出 S=1S=1，不能超过 22. 因此输出的 SS 的最大值为 22，故选 C. \end{solution}
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2014 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 b>0b > 0，log⁡5b=a\log_5 b = a，lg⁡b=c\lg b = c，5d=105^{d} = 10，则下列等式一定成立的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 5d=105^{d}=10 得 d=log⁡510d=\log_{5}10. 换底可得
c=lg⁡b=log⁡5blog⁡510=adc=\lg b=\frac{\log_{5}b}{\log_{5}10}=\frac{a}{d}
于是 a=cda=cd，故选 B. \end{solution}
A.
d=acd = ac
B.
a=cda = cd
C.
c=adc = ad
D.
d=a+cd = a + c

2014 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
如图，从气球 AA 上测得正前方的河流的两岸 BB，CC 的俯角分别为 75∘75^{\circ}，30∘30^{\circ}，此时气球的高是 60 m60 \mathrm{~m}，则河流的宽度 BCBC 等于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设 AA 在地面上的垂足为 DD，则 AD=60 mAD=60\mathrm{~m}. 由俯角等于相应的仰角，在直角三角形 ADBADB，ADCADC 中分别有 DB=60tan⁡15∘DB=60\tan15^{\circ}，DC=60tan⁡60∘DC=60\tan60^{\circ}. 又 tan⁡15∘=tan⁡(45∘−30∘)=2−3\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=2-\sqrt3，故
BC=DC−DB=603−60(2−3)=120(3−1) mBC=DC-DB=60\sqrt3-60(2-\sqrt3)=120(\sqrt3-1)\mathrm{~m}
因此河流宽度对应选项 C. \end{solution}
A.
240(3−1) m240(\sqrt{3} - 1)\mathrm{\,m}
B.
180(2−1) m180(\sqrt{2} - 1)\mathrm{\,m}
C.
120(3−1) m120(\sqrt{3} - 1)\mathrm{\,m}
D.
30(3+1) m30(\sqrt{3} + 1)\mathrm{\,m}

2014 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y). 则 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 两条动直线分别恒过 A=(0,0)A=(0,0) 和 B=(1,3)B=(1,3). 它们的法向量分别为 (1,m)(1,m) 和 (m,−1)(m,-1)，数量积为 m−m=0m-m=0，所以两直线始终垂直，即 ∠APB=90∘\angle APB=90^{\circ}. 因而 PP 在以 ABAB 为直径的圆上，且 ∣AB∣=(1−0)2+(3−0)2=10|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}，∣PA∣2+∣PB∣2=10|PA|^2+|PB|^2=10. 由基本不等式，
10⩽∣PA∣+∣PB∣⩽2(∣PA∣2+∣PB∣2)=25\sqrt{10}\leqslant |PA|+|PB|\leqslant\sqrt{2\left(|PA|^2+|PB|^2\right)}=2\sqrt5
联立两条直线方程可得
P=(m(m−3)m2+1,3−mm2+1)P=\left(\frac{m(m-3)}{m^2+1},\frac{3-m}{m^2+1}\right)
当 m=3m=3 或 m=−13m=-\frac13 时，分别有 P=AP=A 或 P=BP=B，下界可以取得；当 m=12m=\frac12 或 m=−2m=-2 时，分别有 P=(−1,2)P=(-1,2) 或 P=(2,1)P=(2,1)，均满足 ∣PA∣=∣PB∣=5|PA|=|PB|=\sqrt5，上界也可以取得. 故取值范围为 [10,25][\sqrt{10},2\sqrt5]，选 B. \end{solution}
A.
[5,25][\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]
B.
[10,25][\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]
C.
[10,45][\sqrt{10}, 4\sqrt{5}]
D.
[25,45][2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}]

2014 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2} = x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧， OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设 A=(u2,u)A=(u^2,u)，B=(v2,v)B=(v^2,v)，其中 u>0>vu>0>v. 由 OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2，得
u2v2+uv=2u^2v^2+uv=2
令 t=uv<0t=uv<0，则 t2+t−2=0t^2+t-2=0，所以 t=−2t=-2，即 uv=−2uv=-2. 抛物线 y2=xy^2=x 的焦点为 F(14,0)F\left(\frac14,0\right). 因此 S△ABO=12∣u2v−v2u∣=u−vS_{\triangle ABO}=\frac12|u^2v-v^2u|=u-v，S△AFO=12⋅14⋅u=u8S_{\triangle AFO}=\frac12\cdot\frac14\cdot u=\frac{u}{8}. 又由 v=−2uv=-\frac2u，有
S△ABO+S△AFO=98u+2u⩾298u⋅2u=3S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AFO}=\frac98u+\frac2u\geqslant2\sqrt{\frac98u\cdot\frac2u}=3
等号条件为 u=43u=\frac43，此时 v=−32v=-\frac32，满足 u>0>vu>0>v，所以等号确实可以取得. 故最小值为 33，选 B. \end{solution}
A.
2
B.
3
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x24−y2=1\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1 的离心率等于______. \begin{answer} 52\frac{\sqrt{5}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 双曲线的标准方程为 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其中 a2=4a^2=4，b2=1b^2=1. 由 c2=a2+b2=5c^2=a^2+b^2=5 得 c=5c=\sqrt5，所以离心率为 e=ca=52e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt5}{2}. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12复数★☆☆☆☆
复数 2−2i1+i=\frac{2 - 2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} =______. \begin{answer} −2i-2\mathrm{i} \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母同乘以 1−i1-\mathrm{i}，得
2−2i1+i=(2−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−4i2=−2i\frac{2-2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(2-2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{-4\mathrm{i}}{2}=-2\mathrm{i}
所以填 −2i-2\mathrm{i}. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 2 的函数，当 x∈[−1,1)x \in [-1,1) 时，
f(x)={−4x2+2,−1⩽x<0,x,0⩽x<1,f(x) = \begin{cases} -4x^{2} + 2, & -1 \leqslant x < 0,\\ x, & 0 \leqslant x < 1, \end{cases}
则 f(32)=f\left(\frac{3}{2}\right) =______. \begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 函数周期为 22，所以 f(32)=f(32−2)=f(−12)f\left(\frac32\right)=f\left(\frac32-2\right)=f\left(-\frac12\right). 由于 −12∈[−1,0)-\frac12\in[-1,0)，代入分段表达式得
f(−12)=−4(−12)2+2=1f\left(-\frac12\right)=-4\left(-\frac12\right)^2+2=1
故填 11. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
平面向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(4,2)\boldsymbol{b} = (4, 2)，c=ma+b\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（m∈Rm \in \mathbf{R}），且 c\boldsymbol{c} 与 a\boldsymbol{a} 的夹角等于 c\boldsymbol{c} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角，则 m=m =______. \begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 由 c=ma+b\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}，得 c=(m+4,2m+2)\boldsymbol{c}=(m+4,2m+2). 因为 ∣a∣=5|\boldsymbol{a}|=\sqrt5，∣b∣=25|\boldsymbol{b}|=2\sqrt5，且两夹角相等，所以
c⋅a∣c∣ ∣a∣=c⋅b∣c∣ ∣b∣\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{c}|\,|\boldsymbol{b}|}
即 2(c⋅a)=c⋅b2(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}. 计算得 c⋅a=5m+8\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=5m+8，qquadc⋅b=8m+20qquad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=8m+20. 故 2(5m+8)=8m+202(5m+8)=8m+20，解得 m=2m=2. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_{1}(x) = x^{3}，φ2(x)=sin⁡x\varphi_{2}(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_{1}(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_{2}(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x)+g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 R\mathbf{R} 的定义，因此命题 1 为真.
命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 的值域为 (−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.
命题 3 中，设 g(x)g(x) 的值域包含于 [−M,M][-M,M]. 对任意正数 KK，由于 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}，存在 xx 使 f(x)>K+Mf(x)>K+M，于是 f(x)+g(x)>Kf(x)+g(x)>K. 因而 f+gf+g 无上界，不能属于 BB，命题 3 为真.
命题 4 中，若 a>0a>0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→+∞x\to+\infty），函数不可能有最大值；若 a<0a<0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→−2+x\to-2^+），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 a=0a=0，此时 f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}，且 ∣xx2+1∣⩽12\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12，所以 f(x)∈Bf(x)\in B. 命题 4 为真.
所以真命题的序号为 11，33，44. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1， 2， 3，这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 aa，bb，cc.
(1) 求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=ca + b = c”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 aa，bb，cc 不完全相同”的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 每次抽取都有 33 种等可能结果，三次抽取的有序结果共有 33=273^3=27 个. 满足 a+b=ca+b=c 时，若 a=b=1a=b=1，则 c=2c=2，有 11 个结果；若 (a,b)=(1,2)(a,b)=(1,2) 或 (2,1)(2,1)，则 c=3c=3，有 22 个结果；其他情形均不满足条件. 因此所求概率为 1+227=19\frac{1+2}{27}=\frac19. \item 三次抽取结果等可能. aa，bb，cc 完全相同的结果为 (1,1,1)(1,1,1)，(2,2,2)(2,2,2)，(3,3,3)(3,3,3)，共有 33 个，所以三者完全相同的概率为 327=19\frac3{27}=\frac19. 因此三者不完全相同的概率为 1−19=891-\frac19=\frac89. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(3x+π4)f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 α\alpha 是第二象限角，f(α3)=45cos⁡(α+π4)cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha，求 cos⁡α−sin⁡α\cos \alpha - \sin \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item y=sin⁡ty=\sin t 在区间 [−π2+2kπ,π2+2kπ]\left[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right] 上单调递增. 令 t=3x+π4t=3x+\frac\pi4，则 −π2+2kπ⩽3x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant3x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 解得 [2kπ3−π4,2kπ3+π12]\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac\pi4,\frac{2k\pi}{3}+\frac\pi{12}\right]，k∈Zk\in\mathbf{Z}，这就是 f(x)f(x) 的单调递增区间. \item 因为 f(α3)=sin⁡(α+π4)f\left(\frac\alpha3\right)=\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)，设 u=sin⁡α+cos⁡αu=\sin\alpha+\cos\alpha，v=cos⁡α−sin⁡αv=\cos\alpha-\sin\alpha. 已知等式化为
u2=45v2cos⁡2α\frac{u}{\sqrt2}=\frac45\frac{v}{\sqrt2}\cos2\alpha
又 cos⁡2α=(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)=uv\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)=uv，所以 u=45uv2u=\frac45uv^2. 若 u=0u=0，则 v=−2v=-\sqrt2. 若 u≠0u\neq0，则 v2=54v^2=\frac54. 由于 α\alpha 是第二象限角，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，故 v=−52v=-\frac{\sqrt5}{2}. 因此 cos⁡α−sin⁡α=−2\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2 或 −52-\frac{\sqrt5}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1ABB_{1}A_{1} 和 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 都为矩形.
(1) 若 AC⊥BCAC \perp BC，证明：直线 BC⊥BC \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 设 DD，EE 分别是线段 BCBC，CC1CC_{1} 的中点，在线段 ABAB 上是否存在一点 MM，使直线 DE∥DE \parallel 平面 A1MCA_{1}MC？请证明你的结论.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 u=AA1→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}，v=AB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}，w=AC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}. 由两个四边形为矩形，得 u⋅v=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0，u⋅w=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0. 又 BC→=w−v\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}，所以 BC→⋅u=0\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0，即 BC⊥AA1BC\perp AA_{1}. 已知 AC⊥BCAC\perp BC，而 ACAC 与 AA1AA_{1} 是平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 内相交的两条直线，因此 BC⊥BC\perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}. \item 取 MM 为 ABAB 的中点. 用上面的向量记号，有 DE→=12(u+w−v)\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)，A1M→=12v−u\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}，A1C→=w−u\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}. 从而
DE→=−A1M→+12A1C→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{A_{1}M}+\frac12\overrightarrow{A_{1}C}
右端是平面 A1MCA_{1}MC 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 DEDE 的方向平行于平面 A1MCA_{1}MC. 又因 ABCABC 是三角形，且 u\boldsymbol{u} 同时垂直于 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，故 u\boldsymbol{u}，v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w} 线性无关. 若 DD 在平面 A1MCA_{1}MC 内，则存在实数 λ\lambda，μ\mu，使
A1D→=12(v+w)−u=λ(12v−u)+μ(w−u)\overrightarrow{A_{1}D}=\frac12(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}=\lambda\left(\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\right)+\mu(\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u})
比较 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，u\boldsymbol{u} 的系数，分别得到 λ=1\lambda=1，μ=12\mu=\frac12，λ+μ=1\lambda+\mu=1，矛盾. 因此 DD 不在平面 A1MCA_{1}MC 内，故 DE∥DE\parallel 平面 A1MCA_{1}MC. 因此存在这样的点 MM，且它是线段 ABAB 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−2,0)F(-2,0)，离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 设 OO 为坐标原点，TT 为直线 x=−3x = -3 上一点，过 FF 作 TFTF 的垂线交椭圆于 PP，QQ. 当四边形 OPTQOPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQOPTQ 的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆焦距参数为 cc. 由左焦点 F(−2,0)F(-2,0) 得 c=2c=2，再由离心率 e=ca=63e=\frac ca=\frac{\sqrt6}{3}，得 a=6a=\sqrt6. 因为 b2=a2−c2=6−4=2b^2=a^2-c^2=6-4=2，所以椭圆的标准方程为 x26+y22=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1. \item 设 T=(−3,m)T=(-3,m). 向量 TF→=(1,−m)\overrightarrow{TF}=(1,-m)，过 FF 且垂直于 TFTF 的直线可写为 x=my−2x=my-2. 设 P=(x1,y1)P=(x_1,y_1)，Q=(x2,y2)Q=(x_2,y_2)，代入椭圆方程得
(m2+3)y2−4my−2=0(m^2+3)y^2-4my-2=0
由韦达定理， y1+y2=4mm2+3y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3}，y1y2=−2m2+3y_1y_2=-\frac2{m^2+3}. 又 xi=myi−2x_i=my_i-2，所以 x1+x2=4m2m2+3−4=−12m2+3x_1+x_2=\frac{4m^2}{m^2+3}-4=-\frac{12}{m^2+3}. 四边形 OPTQOPTQ 为平行四边形时，对角线互相平分，即 P+Q=O+T=TP+Q=O+T=T，故 4mm2+3=m\frac{4m}{m^2+3}=m，−12m2+3=−3-\frac{12}{m^2+3}=-3. 第二个等式给出 m2=1m^2=1，这两个值也满足第一个等式，因此 m=±1m=\pm1.
取 m=1m=1，则 T=(−3,1)T=(-3,1)，直线 PQPQ 为 y=x+2y=x+2，与椭圆的两个交点为 P(−3−32,1−32)P\left(\frac{-3-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right)，Q(−3+32,1+32)Q\left(\frac{-3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right). 平行四边形的两条对角线为 OTOT 与 PQPQ，故面积为
12∣det⁡((−3,1),(3,3))∣=23\frac12\left|\det\left((-3,1),(\sqrt3,\sqrt3)\right)\right|=2\sqrt3
当 m=−1m=-1 时图形关于 xx 轴对称，面积相同. 因此四边形 OPTQOPTQ 的面积为 232\sqrt3. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，证明：e−2<a<1\mathrm{e} - 2 < a < 1.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item g(x)=f′(x)=ex−2ax−bg(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x-2ax-b，且 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增. 若 a⩽12a\leqslant\frac12，则 g′(x)⩾0g'(x)\geqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(0)=1−bg(0)=1-b. 若 \frac12<a<\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)=0g'(x)=0 的解 x0=ln⁡(2a)x_0=\ln(2a) 在 (0,1)(0,1) 内，故最小值为
g(x0)=2a−2aln⁡(2a)−bg(x_0)=2a-2a\ln(2a)-b
若 a\geqslant\frac\mathrm{e}2，则 g′(x)⩽0g'(x)\leqslant0（0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1），所以最小值为 g(1)=e−2a−bg(1)=\mathrm{e}-2a-b. 综上，最小值为
\begin{cases} 1-b, & a\leqslant\frac12,\\ 2a-2a\ln(2a)-b, & \frac12<a<\frac\mathrm{e}2,\\ \mathrm{e}-2a-b, & a\geqslant\frac\mathrm{e}2. \end{cases}
\item 由 f(1)=0f(1)=0，得 a+b=e−1a+b=\mathrm{e}-1，即 b=e−1−ab=\mathrm{e}-1-a. 又 f(0)=0f(0)=0，设题设中 (0,1)(0,1) 内的零点为 x0x_0. 对区间 [0,x0][0,x_0] 和 [x0,1][x_0,1] 分别使用罗尔定理，得 g=f′g=f' 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点.
由于 g′(x)=ex−2ag'(x)=\mathrm{e}^x-2a 严格递增，且 gg 在 (0,1)(0,1) 内有两个不同的零点，罗尔定理表明 g′g' 在这两个零点之间有一个零点. 因而 gg 在该点左侧递减、右侧递增，两个零点之外函数值严格为正，从而 g(0)>0g(0)>0，g(1)>0g(1)>0. 因此 g(0)=1−b=a+2−e>0g(0)=1-b=a+2-\mathrm{e}>0，g(1)=e−2a−b=1−a>0g(1)=\mathrm{e}-2a-b=1-a>0. 于是 e−2<a<1\mathrm{e}-2<a<1. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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