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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 nn 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 n=1n=1. 执行一次 n=n+1n=n+1 后，n=2n=2，此时 2n=22=42^n=2^2=4，不满足 2n>n22^n>n^2，程序输出 n=2n=2. 因此选 B. \end{solution}
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 过圆 x2+(y−3)2=4x^{2} + (y - 3)^{2} = 4 的圆心，且与直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 垂直，则 ll 的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆 x2+(y−3)2=4x^2+(y-3)^2=4 的圆心为 (0,3)(0,3). 直线 x+y+1=0x+y+1=0 的斜率为 −1-1，所以与它垂直的直线斜率为 11. 过 (0,3)(0,3) 的直线 ll 为 y−3=xy-3=x，即 x−y+3=0x-y+3=0. 因此选 D. \end{solution}
A.
x+y−2=0x + y - 2 = 0
B.
x−y+2=0x - y + 2 = 0
C.
x+y−3=0x + y - 3 = 0
D.
x−y+3=0x - y + 3 = 0

2014 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡xy = \sin x 的图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位，得到函数 y=f(x)y = f(x) 的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后，f(x)=sin⁡(x+π2)=cos⁡xf(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x. 函数 cos⁡x\cos x 是偶函数，最小正周期为 2π2\pi，且图象关于直线 x=0x=0 对称，故 A、B、C 均不正确. 又 f(−π−x)=cos⁡(−π−x)=−cos⁡x=−f(x)f(-\pi-x)=\cos(-\pi-x)=-\cos x=-f(x)，所以图象关于点 (−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2},0\right) 对称. 因此选 D. \end{solution}
A.
y=f(x)y = f(x) 是奇函数
B.
y=f(x)y = f(x) 的周期是 π\pi
C.
y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=π2x = \frac{\pi}{2} 对称
D.
y=f(x)y = f(x) 的图象关于点 (−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2},0\right) 对称

2014 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原图象经过点 (3,1)(3,1)，故 log⁡a3=1\log_a3=1，从而 a=3a=3. 因此四个选项中的函数依次为 y=3−xy=3^{-x}、y=x3y=x^3、y=(−x)3=−x3y=(-x)^3=-x^3 和 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x). 函数 y=3−xy=3^{-x} 在 R\mathbf{R} 上递减，函数 y=−x3y=-x^3 也在 R\mathbf{R} 上递减，均与对应图象的增减性不符；函数 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x) 的定义域为 (−∞,0)(-\infty,0)，且在其定义域上递减. 而 y=x3y=x^3 在 R\mathbf{R} 上递增且经过 (1,1)(1,1)，与选项 B 的图象相符. 因此选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
要制作一个容积为 4 m34 \mathrm{~m}^{3}，高为 1 m1 \mathrm{~m} 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设容器底面的两边长分别为 x>0x>0、y>0y>0. 由体积为 4 m34\mathrm{~m}^3 且高为 1 m1\mathrm{~m}，得 xy=4xy=4. 底面造价为 20×4=8020\times4=80 元，四个侧面的面积为 2(x+y) m22(x+y)\mathrm{~m}^2，侧面造价为 10×2(x+y)=20(x+y)10\times2(x+y)=20(x+y) 元. 因此总造价 C=80+20(x+y)C=80+20(x+y). 由基本不等式，x+y⩾2xy=4x+y\geqslant2\sqrt{xy}=4，等号在 x=y=2x=y=2 时成立，所以 C⩾80+20×4=160C\geqslant80+20\times4=160 元. 因此最低总造价为 160160 元，选 C. \end{solution}
A.
80 元80\text{ 元}
B.
120 元120\text{ 元}
C.
160 元160\text{ 元}
D.
240 元240\text{ 元}

2014 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★☆☆☆
设 MM 为平行四边形 ABCDABCD 对角线交的点，OO 为平行四边形 ABCDABCD 所在平面内任意一点，则 OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} 等于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设各点的位置向量均以 OO 为起点. 平行四边形的对角线互相平分，所以 OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}，且 OB→+OD→=2OM→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}. 两式相加得 OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}. 因此选 D. \end{solution}
A.
OM→\overrightarrow{OM}
B.
2OM→2\overrightarrow{OM}
C.
3OM→3\overrightarrow{OM}
D.
4OM→4\overrightarrow{OM}

2014 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
已知圆 C:(x−a)2+(y−b)2=1C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = 1，平面区域
Ω:{x+y−7⩽0,x−y+3⩾0,y⩾0,\Omega: \begin{cases} x + y - 7 \leqslant 0,\\ x - y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
若圆心 C∈ΩC \in \Omega，且圆 CC 与 xx 轴相切，则 a2+b2a^2 + b^2 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 圆 CC 的半径为 11，且与 xx 轴相切，所以圆心的纵坐标满足 ∣b∣=1|b|=1. 又圆心 C∈ΩC\in\Omega 且 y⩾0y\geqslant0，故 b=1b=1. 将 (a,1)(a,1) 代入区域条件，得 a+1⩽7a+1\leqslant7 和 a−1+3⩾0a-1+3\geqslant0，即 −2⩽a⩽6-2\leqslant a\leqslant6. 于是 a2+b2=a2+1a^2+b^2=a^2+1. 在区间 [−2,6][-2,6] 上，a2a^2 的最大值为 3636，在 a=6a=6 时取得，所以最大值为 3737. 因此选 C. \end{solution}
A.
5
B.
29
C.
37
D.
49

2014 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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14三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，A=60∘A = 60^\circ，AC=2AC = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，则 ABAB 等于______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 在三角形 ABCABC 中，ABAB 与 ACAC 的夹角为 60∘60^\circ. 由余弦定理，BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅ACcos⁡60∘BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos60^\circ. 代入 BC=3BC=\sqrt3、AC=2AC=2，得 3=AB2+4−2AB3=AB^2+4-2AB，即 (AB−1)2=0(AB-1)^2=0. 因此 AB=1AB=1. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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