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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 P={x∣2⩽x<4}P = \{x \mid 2 \leqslant x < 4\}，Q={x∣x⩾3}Q = \{x \mid x \geqslant 3\}，则 P∩QP \cap Q 等于（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 x∈P∩Qx\in P\cap Q 得 2⩽x<42\leqslant x<4 且 x⩾3x\geqslant 3，所以 3⩽x<43\leqslant x<4. 因此选 A. \end{solution}
A.
{x∣3⩽x<4}\{x \mid 3 \leqslant x < 4\}
B.
{x∣3<x<4}\{x \mid 3 < x < 4\}
C.
{x∣2⩽x<3}\{x \mid 2 \leqslant x < 3\}
D.
{x∣2⩽x⩽3}\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 3\}

2014 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 (3+2i)i(3 + 2\mathrm{i})\mathrm{i} 等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，所以 (3+2i)i=3i+2i2=−2+3i(3+2\mathrm{i})\mathrm{i}=3\mathrm{i}+2\mathrm{i}^2=-2+3\mathrm{i}. 因此选 B. \end{solution}
A.
−2−3i-2 - 3\mathrm{i}
B.
−2+3i-2 + 3\mathrm{i}
C.
2−3i2 - 3\mathrm{i}
D.
2+3i2 + 3\mathrm{i}

2014 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
以边长为 11 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 正方形绕其中一边旋转一周所得圆柱的底面半径为 11，高为 11，所以其侧面积为 2πrh=2π2\pi rh=2\pi. 因此选 A. \end{solution}
A.
2π2\pi
B.
π\pi
C.
2
D.
1

2014 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 nn 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 n=1n=1. 执行一次 n=n+1n=n+1 后，n=2n=2，此时 2n=22=42^n=2^2=4，不满足 2n>n22^n>n^2，程序输出 n=2n=2. 因此选 B. \end{solution}
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“∀x∈[0,+∞)\forall x \in [0, +\infty)，x3+x⩾0x^3 + x \geqslant 0”的否定是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 否定全称命题时，将全称量词改为存在量词，并将不等式 x3+x⩾0x^3+x\geqslant 0 改为 x3+x<0x^3+x<0，定义域保持不变. 因此否定为“存在 x0∈[0,+∞)x_0\in[0,+\infty)，使 x03+x0<0x_0^3+x_0<0”，选 C. \end{solution}
A.
∀x∈(−∞,0),x3+x<0\forall x \in (-\infty, 0), x^3 + x < 0
B.
∀x∈(−∞,0)\forall x \in (-\infty, 0)，x3+x⩾0x^3 + x \geqslant 0
C.
∃x0∈[0,+∞)\exists x_0 \in [0, +\infty)，x03+x0<0x_0^3 + x_0 < 0
D.
∃x0∈[0,+∞)\exists x_0 \in [0, +\infty)，x03+x0⩾0x_0^3 + x_0 \geqslant 0

2014 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 过圆 x2+(y−3)2=4x^{2} + (y - 3)^{2} = 4 的圆心，且与直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 垂直，则 ll 的方程是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆 x2+(y−3)2=4x^2+(y-3)^2=4 的圆心为 (0,3)(0,3). 直线 x+y+1=0x+y+1=0 的斜率为 −1-1，所以与它垂直的直线斜率为 11. 过 (0,3)(0,3) 的直线 ll 为 y−3=xy-3=x，即 x−y+3=0x-y+3=0. 因此选 D. \end{solution}
A.
x+y−2=0x + y - 2 = 0
B.
x−y+2=0x - y + 2 = 0
C.
x+y−3=0x + y - 3 = 0
D.
x−y+3=0x - y + 3 = 0

2014 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡xy = \sin x 的图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位，得到函数 y=f(x)y = f(x) 的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后，f(x)=sin⁡(x+π2)=cos⁡xf(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x. 函数 cos⁡x\cos x 是偶函数，最小正周期为 2π2\pi，且图象关于直线 x=0x=0 对称，故 A、B、C 均不正确. 又 f(−π−x)=cos⁡(−π−x)=−cos⁡x=−f(x)f(-\pi-x)=\cos(-\pi-x)=-\cos x=-f(x)，所以图象关于点 (−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2},0\right) 对称. 因此选 D. \end{solution}
A.
y=f(x)y = f(x) 是奇函数
B.
y=f(x)y = f(x) 的周期是 π\pi
C.
y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=π2x = \frac{\pi}{2} 对称
D.
y=f(x)y = f(x) 的图象关于点 (−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2},0\right) 对称

2014 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原图象经过点 (3,1)(3,1)，故 log⁡a3=1\log_a3=1，从而 a=3a=3. 因此四个选项中的函数依次为 y=3−xy=3^{-x}、y=x3y=x^3、y=(−x)3=−x3y=(-x)^3=-x^3 和 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x). 函数 y=3−xy=3^{-x} 在 R\mathbf{R} 上递减，函数 y=−x3y=-x^3 也在 R\mathbf{R} 上递减，均与对应图象的增减性不符；函数 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x) 的定义域为 (−∞,0)(-\infty,0)，且在其定义域上递减. 而 y=x3y=x^3 在 R\mathbf{R} 上递增且经过 (1,1)(1,1)，与选项 B 的图象相符. 因此选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
要制作一个容积为 4 m34 \mathrm{~m}^{3}，高为 1 m1 \mathrm{~m} 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设容器底面的两边长分别为 x>0x>0、y>0y>0. 由体积为 4 m34\mathrm{~m}^3 且高为 1 m1\mathrm{~m}，得 xy=4xy=4. 底面造价为 20×4=8020\times4=80 元，四个侧面的面积为 2(x+y) m22(x+y)\mathrm{~m}^2，侧面造价为 10×2(x+y)=20(x+y)10\times2(x+y)=20(x+y) 元. 因此总造价 C=80+20(x+y)C=80+20(x+y). 由基本不等式，x+y⩾2xy=4x+y\geqslant2\sqrt{xy}=4，等号在 x=y=2x=y=2 时成立，所以 C⩾80+20×4=160C\geqslant80+20\times4=160 元. 因此最低总造价为 160160 元，选 C. \end{solution}
A.
80 元80\text{ 元}
B.
120 元120\text{ 元}
C.
160 元160\text{ 元}
D.
240 元240\text{ 元}

2014 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★☆☆☆
设 MM 为平行四边形 ABCDABCD 对角线交的点，OO 为平行四边形 ABCDABCD 所在平面内任意一点，则 OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} 等于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设各点的位置向量均以 OO 为起点. 平行四边形的对角线互相平分，所以 OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}，且 OB→+OD→=2OM→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}. 两式相加得 OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}. 因此选 D. \end{solution}
A.
OM→\overrightarrow{OM}
B.
2OM→2\overrightarrow{OM}
C.
3OM→3\overrightarrow{OM}
D.
4OM→4\overrightarrow{OM}

2014 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
已知圆 C:(x−a)2+(y−b)2=1C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = 1，平面区域
Ω:{x+y−7⩽0,x−y+3⩾0,y⩾0,\Omega: \begin{cases} x + y - 7 \leqslant 0,\\ x - y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
若圆心 C∈ΩC \in \Omega，且圆 CC 与 xx 轴相切，则 a2+b2a^2 + b^2 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 圆 CC 的半径为 11，且与 xx 轴相切，所以圆心的纵坐标满足 ∣b∣=1|b|=1. 又圆心 C∈ΩC\in\Omega 且 y⩾0y\geqslant0，故 b=1b=1. 将 (a,1)(a,1) 代入区域条件，得 a+1⩽7a+1\leqslant7 和 a−1+3⩾0a-1+3\geqslant0，即 −2⩽a⩽6-2\leqslant a\leqslant6. 于是 a2+b2=a2+1a^2+b^2=a^2+1. 在区间 [−2,6][-2,6] 上，a2a^2 的最大值为 3636，在 a=6a=6 时取得，所以最大值为 3737. 因此选 C. \end{solution}
A.
5
B.
29
C.
37
D.
49

2014 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，两点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2}) 间的 “L\mathrm{L}-距离” 定义为 ∥P1P2∥=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|，则平面内与 xx 轴上两个不同的定点 F1F_{1}，F2F_{2} 的 “L\mathrm{L}-距离” 之和等于定值（大于 ∥F1F2∥\|F_1F_2\|）的点的轨迹可以是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在 xx 轴上取两定点的中点为原点，设 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0)，其中 c>0c>0. 设动点为 P=(x,y)P=(x,y)，两点的“L\mathrm{L}-距离”之和为 SS，则 S=∣x+c∣+∣y∣+∣x−c∣+∣y∣=∣x+c∣+∣x−c∣+2∣y∣S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|. 题设给出 S>2cS>2c. 当 ∣x∣⩽c|x|\leqslant c 时，S=2c+2∣y∣S=2c+2|y|，所以 ∣y∣=S−2c2|y|=\frac{S-2c}{2}，得到上下两条水平线段；当 ∣x∣⩾c|x|\geqslant c 时，S=2∣x∣+2∣y∣S=2|x|+2|y|，所以 ∣x∣+∣y∣=S2|x|+|y|=\frac{S}{2}，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
如图，在边长为 11 的正方形中，随机撒 1000 粒1000\ \text{粒} 豆子，有 180 粒180\ \text{粒} 落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为______.
\begin{answer} 0.18 \end{answer}
\begin{solution} 随机撒豆子时，落入阴影部分的频率可估计阴影部分占正方形面积的比例. 该频率为 1801000=0.18\frac{180}{1000}=0.18，而正方形面积为 12=11^2=1，所以阴影部分面积估计为 0.180.18. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，A=60∘A = 60^\circ，AC=2AC = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，则 ABAB 等于______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 在三角形 ABCABC 中，ABAB 与 ACAC 的夹角为 60∘60^\circ. 由余弦定理，BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅ACcos⁡60∘BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos60^\circ. 代入 BC=3BC=\sqrt3、AC=2AC=2，得 3=AB2+4−2AB3=AB^2+4-2AB，即 (AB−1)2=0(AB-1)^2=0. 因此 AB=1AB=1. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数
f(x)={x2−2,x⩽0,2x−6+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & x \leqslant 0,\\ 2x - 6 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数是______.
\begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，由 x2−2=0x^2-2=0 得 x=±2x=\pm\sqrt2，其中只有 x=−2x=-\sqrt2 满足定义域，所以这一段有 11 个零点.
当 x>0x>0 时，令 g(x)=2x−6+ln⁡xg(x)=2x-6+\ln x，则 g′(x)=2+1x>0g'(x)=2+\frac1x>0，所以 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递增. 又 lim⁡x→0+g(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty，且 g(3)=ln⁡3>0g(3)=\ln3>0，故由零点存在性定理，gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上恰有一个零点. 因此 f(x)f(x) 共有 22 个零点. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 {a,b,c}={0,1,2}\{a, b, c\} = \{0, 1, 2\}，且下列三个关系：
① a≠2a \neq 2； ② b=2b = 2； ③ c≠0c \neq 0
有且只有一个正确，则 100a+10b+c=100a + 10b + c =______.
\begin{answer} 201 \end{answer}
\begin{solution} 因为 {a,b,c}={0,1,2}\{a,b,c\}=\{0,1,2\}，所以 aa，bb，cc 是 00，11，22 的一个排列. 若 b=2b=2，则 aa，cc 为 0,10,1，此时 a≠2a\neq2 与 b=2b=2 同时正确，不符合题意. 因此 b≠2b\neq2. 若再有 a≠2a\neq2，则 aa，bb 为 0,10,1，从而 c=2c=2，这时 a≠2a\neq2 与 c≠0c\neq0 同时正确，也不符合题意. 因此 a=2a=2. 于是 bb，cc 为 0,10,1，且 b=2b=2 与 a≠2a\neq2 均不正确；要恰有一个关系正确，必须 c≠0c\neq0，所以 c=1c=1、b=0b=0. 因此 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201100a+10b+c=100\times2+10\times0+1=201. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x).
(1) 求 f(5π4)f\left(\frac{5\pi}{4}\right) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 代入，得 f(5π4)=2cos⁡5π4(sin⁡5π4+cos⁡5π4)=2f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2. \item 化简得 f(x)=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x=1+sin⁡2x+cos⁡2x=1+2sin⁡(2x+π4)f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right). 因此最小正周期满足 2T=2π2T=2\pi，即 T=πT=\pi. 又 f′(x)=22cos⁡(2x+π4)f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)，所以在单调递增区间内 f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0，且内部除端点外为正，即 −π2+2kπ⩽2x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，从而 kπ−3π8⩽x⩽kπ+π8k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8. 故函数的单调递增区间为 [kπ−3π8,kπ+π8]\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB⊥AB \perp 平面 BCDBCD，CD⊥BDCD \perp BD.
(1) 求证：CD⊥CD \perp 平面 ABDABD； (2) 若 AB=BD=CD=1AB = BD = CD = 1，MM 为 ADAD 中点，求三棱锥 A−MBCA - MBC 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD，且 CDCD 在平面 BCDBCD 内，所以 AB⊥CDAB\perp CD. 题设又给出 BD⊥CDBD\perp CD，而 ABAB 与 BDBD 是平面 ABDABD 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，CD⊥CD\perp 平面 ABDABD. \item 建立空间直角坐标系，取 B=(0,0,0)B=(0,0,0)、D=(1,0,0)D=(1,0,0)、C=(1,1,0)C=(1,1,0)、A=(0,0,1)A=(0,0,1)，则条件 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD、AB=BD=CD=1AB=BD=CD=1 均满足. 因为 MM 是 ADAD 的中点，所以 M=(12,0,12)M=\left(\frac12,0,\frac12\right). 于是 AM→=(12,0,−12)\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)，AB→=(0,0,−1)\overrightarrow{AB}=(0,0,-1)，AC→=(1,1,−1)\overrightarrow{AC}=(1,1,-1). 计算得 AB→×AC→=(1,−1,0)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)，从而 VA−MBC=16∣AM→⋅(AB→×AC→)∣=16×12=112V_{A-MBC}=\frac16\left|\overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac16\times\frac12=\frac1{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
根据世行 20132013 年新标准，人均 GDP\mathrm{GDP} 低于 1035 美元1035\ \text{美元} 为低收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 1035—4085 美元1035\text{—}4085\ \text{美元} 为中等偏下收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 4085—12616 美元4085\text{—}12616\ \text{美元} 为中等偏上收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 不低于 12616 美元12616\ \text{美元} 为高收入国家. 某城市有 55 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP\mathrm{GDP} 如下表：
(1) 判断该城市人均 GDP\mathrm{GDP} 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 55 个行政区中随机抽取 22 个，求抽到的 22 个行政区人均 GDP\mathrm{GDP} 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 11，按各行政区人口比例加权，城市人均 GDP\mathrm{GDP} 为 0.25×8000+0.30×4000+0.15×6000+0.10×3000+0.20×10000=64000.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400 美元. 因为 4085⩽6400<126164085\leqslant6400<12616，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 33 个. 从 55 个行政区中随机抽取 22 个，基本事件总数为 C52=10\mathrm C_5^2=10，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 22 个，即 C32=3\mathrm C_3^2=3. 因此所求概率为 C32C52=310\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 Γ\Gamma 上的点到点 F(0,1)F(0,1) 的距离比它到直线 y=−3y = -3 的距离小 2.
(1) 求曲线 Γ\Gamma 的方程； (2) 曲线 Γ\Gamma 在点 PP 处的切线 ll 与 xx 轴交于点 AA. 直线 y=3y = 3 分别与直线 ll 及 yy 轴交于点 MM，NN. 以 MNMN 为直径作圆 CC，过点 AA 作圆 CC 的切线，切点为 BB. 试探究：当点 PP 在曲线 Γ\Gamma 上运动（点 PP 与原点不重合）时，线段 ABAB 的长度是否发生变化？证明你的结论.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设曲线 Γ\Gamma 上任意一点为 P(x,y)P(x,y). 由题意，x2+(y−1)2=∣y+3∣−2\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+3|-2. 当 y⩾−3y\geqslant-3 时，右端为 y+1y+1，因而 y⩾−1y\geqslant-1，平方并化简得 x2=4yx^2=4y，进而 y⩾0y\geqslant0. 当 y<−3y<-3 时，右端为 −y−5-y-5，要使右端非负必须 y⩽−5y\leqslant-5，平方得 x2=12(y+2)<0x^2=12(y+2)<0，不可能. 因此曲线方程为 y=x24y=\frac{x^2}{4}. \item 设 P=(t,t24)P=\left(t,\frac{t^2}{4}\right)，其中 t≠0t\neq0. 抛物线在 PP 处的切线斜率为 t2\frac t2，所以切线 ll 的方程为 y−t24=t2(x−t)y-\frac{t^2}{4}=\frac t2(x-t)，即 y=t2x−t24y=\frac t2x-\frac{t^2}{4}. 令 y=0y=0，得 A=(t2,0)A=\left(\frac t2,0\right)；令 y=3y=3，得 M=(t2+122t,3)M=\left(\frac{t^2+12}{2t},3\right). 又 N=(0,3)N=(0,3). 记 u=t2+122tu=\frac{t^2+12}{2t}，则以 MNMN 为直径的圆的圆心为 C=(u2,3)C=\left(\frac u2,3\right)，半径为 r=∣u∣2r=\frac{|u|}{2}. 由点 AA 向圆作切线，切线长满足 AB2=AC2−r2AB^2=AC^2-r^2. 于是 AB2=(t2−u2)2+9−u24=t2−2tu4+9=t2−(t2+12)4+9=6AB^2=\left(\frac t2-\frac u2\right)^2+9-\frac{u^2}{4}=\frac{t^2-2tu}{4}+9=\frac{t^2-(t^2+12)}4+9=6. 所以 AB=6AB=\sqrt6，与 PP 的位置无关，线段 ABAB 的长度不发生变化. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax（aa 为常数）的图象与 yy 轴交于点 AA，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 AA 处的切线斜率为 −1-1.
(1) 求 aa 的值及函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 证明：当 x>0x > 0 时，x2<exx^2 < \mathrm{e}^x； (3) 证明：对任意给定的正数 cc，总存在 x0x_0，使得当 x∈(x0,+∞)x \in (x_0, +\infty) 时，恒有 x2<cexx^2 < c\mathrm{e}^x.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f(0)=1f(0)=1，故图象与 yy 轴交于 A=(0,1)A=(0,1). 又 f′(x)=ex−af'(x)=\mathrm{e}^x-a，所以切线斜率为 f′(0)=1−a=−1f'(0)=1-a=-1，从而 a=2a=2. 此时 f′(x)=ex−2f'(x)=\mathrm{e}^x-2，当 x<ln⁡2x<\ln2 时 f′(x)<0f'(x)<0，当 x>ln⁡2x>\ln2 时 f′(x)>0f'(x)>0. 因此函数在 x=ln⁡2x=\ln2 处取得极小值 f(ln⁡2)=eln⁡2−2ln⁡2=2−2ln⁡2f(\ln2)=\mathrm{e}^{\ln2}-2\ln2=2-2\ln2. 又 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty，所以函数没有最大值. \item 令 g(x)=ex−x2g(x)=\mathrm{e}^x-x^2，则 g′(x)=ex−2xg'(x)=\mathrm{e}^x-2x. 由第（1）问，函数 ex−2x\mathrm{e}^x-2x 的最小值为 2−2ln⁡22-2\ln2. 因为 0<2<e0<2<\mathrm{e}，所以 ln⁡2<1\ln2<1，从而 2−2ln⁡2>02-2\ln2>0，故 g′(x)>0g'(x)>0，即 gg 在 R\mathbf{R} 上递增. 又 g(0)=1>0g(0)=1>0，所以当 x>0x>0 时 g(x)>g(0)>0g(x)>g(0)>0，即 x2<exx^2<\mathrm{e}^x. \item 给定 c>0c>0，取 x0=max⁡{1,2ln⁡4c}x_0=\max\left\{1,2\ln\frac4c\right\}. 当 x>x0x>x_0 时，x>0x>0，且 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c. 由第（2）问应用于 x2\frac x2，得 x24<ex2\frac{x^2}{4}<\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，即 x2<4ex2x^2<4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}. 又由 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c 得 4<cex24<c\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，所以 4ex2<cex4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}<c\mathrm{e}^x. 综上，x2<cexx^2<c\mathrm{e}^x. \end{enumerate} \end{solution}

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