数迹
题目列表试卷列表
共找到 8 题
排序：
组题
本页 8 题去组卷
03指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡3(1−2×3x)=2x+1\log_{3}(1 - 2\times 3^{x}) = 2x + 1 的解 x=x =______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 由对数的真数为正，得 1−2×3x>01-2\times3^x>0. 令 u=3xu=3^x，则 u>0u>0，且原方程化为 log⁡3(1−2u)=2x+1\log_3(1-2u)=2x+1，从而 1−2u=32x+1=3u21-2u=3^{2x+1}=3u^2. 因此 3u2+2u−1=03u^2+2u-1=0，即 (3u−1)(u+1)=0(3u-1)(u+1)=0. 因为 u>0u>0，所以 u=13u=\frac13，故 x=−1x=-1. 此时真数为 1−2×13=13>01-2\times\frac13=\frac13>0，满足定义域，故解为 x=−1x=-1. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

查看答案和解析
04立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱锥的底面边长为 23 cm2\sqrt{3}\mathrm{~cm}，体积为 4 cm34\mathrm{~cm}^{3}，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______.
\begin{answer} 30∘30^\circ \end{answer}
\begin{solution} 设正四棱锥的高为 hh，底面中心为 OO，取一条底面棱的中点 MM，设棱锥顶点为 SS. 底面正方形的面积为 (23)2=12(2\sqrt{3})^2=12，由体积公式 13×12h=4\frac13\times12h=4，得 h=SO=1h=SO=1. 又 OMOM 是正方形的内切半径，所以 OM=3OM=\sqrt{3}. 过 MM 作底面棱的垂线，得到侧面与底面的二面角的平面角 ∠SMO\angle SMO. 在直角三角形 SOMSOM 中，tan⁡∠SMO=SOOM=13\tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\frac1{\sqrt3}，故二面角为 30∘30^\circ. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

查看答案和解析
05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (1+3x)n(1 + 3x)^{n} 和 (2x+5)n(2x + 5)^{n} 的展开式中，各项系数之和分别记为 ana_{n}，bnb_{n}，nn 是正整数，则 lim⁡n→∞an−2bn3an−4bn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 x=1x=1，二项式 (1+3x)n(1+3x)^n 和 (2x+5)n(2x+5)^n 的各项系数之和分别为 an=4na_n=4^n，bn=7nb_n=7^n. 因而
an−2bn3an−4bn=(47)n−23(47)n−4\frac{a_n-2b_n}{3a_n-4b_n}=\frac{(\frac{4}{7})^n-2}{3(\frac{4}{7})^n-4}
由于 0<47<10<\frac47<1，有 (47)n→0\left(\frac47\right)^n\to0，所以原极限为 −2−4=12\frac{-2}{-4}=\frac12. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

查看答案和解析
07概率与统计★★☆☆☆
在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 99 名增至 1414 名，但只任取其中 77 名裁判的评分作为有效分，若 1414 名裁判中有 22 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是______. （结果用数值表示）
\begin{answer} 313\frac{3}{13} \end{answer}
\begin{solution} 从 1414 名裁判中任取 77 名作为有效评分，共有 C147\mathrm C_{14}^{7} 种等可能结果. 若有效分中没有受贿裁判，则必须从 1212 名未受贿裁判中任取 77 名，共有 C127\mathrm C_{12}^{7} 种结果. 所求概率为
C127C147=12!7!5!7!7!14!=313\frac{\mathrm C_{12}^{7}}{\mathrm C_{14}^{7}}=\frac{12!}{7!5!}\frac{7!7!}{14!}=\frac{3}{13}
\end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

查看答案和解析
08解析几何★★☆☆☆
曲线
{x=t2−1,y=2t+1,\begin{cases} x = t^2 - 1,\\ y = 2t + 1, \end{cases}
（tt 为参数）的焦点坐标是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}
\begin{solution} 由参数方程 y=2t+1y=2t+1 得 t=y−12t=\frac{y-1}{2}，代入 x=t2−1x=t^2-1，得
x=(y−1)24−1x=\frac{(y-1)^2}{4}-1
即
(y−1)2=4(x+1)(y-1)^2=4(x+1)
这是顶点为 (−1,1)(-1,1)、焦参数为 11 的抛物线，焦点坐标为 (−1+1,1)=(0,1)(-1+1,1)=(0,1). \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
09解析几何★★☆☆☆
若 AA，BB 两点的极坐标 A(4,π3)A\left(4, \frac{\pi}{3}\right)，B(6,0)B(6,0)，则 ABAB 中点的极坐标是______.
\begin{answer} (19,arctan⁡34)\left(\sqrt{19},\arctan\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \end{answer}
\begin{solution} 将极坐标化为直角坐标，得 A(4cos⁡π3,4sin⁡π3)=(2,23)A\left(4\cos\frac{\pi}{3},4\sin\frac{\pi}{3}\right)=(2,2\sqrt{3})，B(6,0)B(6,0). 因此 ABAB 的中点为
M(2+62,23+02)=(4,3)M\left(\frac{2+6}{2},\frac{2\sqrt{3}+0}{2}\right)=(4,\sqrt{3})
点 MM 在第一象限，所以其极径为 r=42+(3)2=19r=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{19}，极角满足 tan⁡θ=34\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}4，从而
θ=arctan⁡34\theta=\arctan\frac{\sqrt{3}}4
故中点的极坐标为 (19,arctan⁡34)\left(\sqrt{19},\arctan\frac{\sqrt{3}}4\right). \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
10三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，若 f(x+t)f(x + t) 是偶函数，则 tt 的一个可能值是______.
\begin{answer} π4\frac{\pi}{4} \end{answer}
\begin{solution} 令 g(x)=f(x+t)=sin⁡(2x+2t)g(x)=f(x+t)=\sin(2x+2t). 利用和角公式，得
g(x)=sin⁡2xcos⁡2t+cos⁡2xsin⁡2tg(x)=\sin2x\cos2t+\cos2x\sin2t
而
g(−x)=−sin⁡2xcos⁡2t+cos⁡2xsin⁡2tg(-x)=-\sin2x\cos2t+\cos2x\sin2t
要使 g(x)g(x) 为偶函数，必须对任意 xx 有 g(x)=g(−x)g(x)=g(-x)，于是
2sin⁡2xcos⁡2t=02\sin2x\cos2t=0
该等式对任意 xx 成立，当且仅当 cos⁡2t=0\cos2t=0，即 2t=π2+kπ2t=\frac{\pi}{2}+k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因而 t=π4+kπ2t=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}，取 k=0k=0，得到一个可能值 t=π4t=\frac{\pi}{4}. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
16函数与初等函数★★☆☆☆
一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（∘C^{\circ}\mathrm{C}）有一定的关系. 图（1）表示某年 1212 个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年 1212 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 比较两幅柱状图可知，气温最高的月份与用电量最多的月份并不相同，所以“气温最高时，用电量最多”不正确；气温最低的月份用电量也不是最少，所以“气温最低时，用电量最少”不正确.
在高温段，例如气温从约 27 ∘C27\,^{\circ}\mathrm{C} 升高到约 28 ∘C28\,^{\circ}\mathrm{C} 时，用电量也从约 110 千瓦时110\text{ 千瓦时} 增加到约 120 千瓦时120\text{ 千瓦时}，因此存在某个温度值，使气温大于该值时，用电量随气温增高而增加. 低温段的柱高不能支持“气温降低时用电量增加”的说法，所以第四项不正确.
故选 C. \end{solution}
A.
气温最高时，用电量最多
B.
气温最低时，用电量最少
C.
当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.
当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

2002 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析