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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
“x>1x > 1”是“log⁡12(x+2)<0\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) < 0”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为对数函数 y=log⁡12xy=\log_{\frac12}x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上为减函数，且其真数须为正，所以
log⁡12(x+2)<0  ⟺  x+2>1  ⟺  x>−1\log_{\frac12}(x+2)<0\iff x+2>1\iff x>-1
由 x>1x>1 一定能推出 x>−1x>-1，但 x=0x=0 满足 x>−1x>-1 而不满足 x>1x>1. 因此“x>1x>1”是题中不等式的充分不必要条件，故答案为 B. \end{solution}
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由左视图可知，右侧部分是底面半径为 11、高为 22 的半圆柱；左侧部分是高为 11 的三棱锥，其底面三角形的底为 22、高为 11，底面积为 11. 因此
V=13(12×1×2)×1+12π×12×2=13+πV=\frac13\left(\frac12\times1\times2\right)\times1+\frac12\pi\times1^2\times2=\frac13+\pi
故答案为 A. \end{solution}
A.
13+π\frac{1}{3} + \pi
B.
23+π\frac{2}{3} + \pi
C.
13+2π\frac{1}{3} + 2\pi
D.
23+2π\frac{2}{3} + 2\pi

2015 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=223∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|\boldsymbol{b}\right|，且 (a−b)⊥(3a+2b)(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，并记 ∣b∣=m>0\left|\boldsymbol{b}\right|=m>0. 由已知
∣a∣2=89m2\left|\boldsymbol{a}\right|^2=\frac89m^2
又由垂直条件，
0=(a−b)⋅(3a+2b)=3∣a∣2−a⋅b−2∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=3\left|\boldsymbol{a}\right|^2-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\left|\boldsymbol{b}\right|^2
所以
a⋅b=3×89m2−2m2=23m2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3\times\frac89m^2-2m^2=\frac23m^2
于是
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=23m2223m2=22\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}=\frac{\frac23m^2}{\frac{2\sqrt2}{3}m^2}=\frac{\sqrt2}{2}
因为 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，故 θ=π4\theta=\frac\pi4，答案为 A. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
π\pi

2015 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输出 kk 的值为 88，则判断框内可填入的条件是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 程序每次先将 kk 增加 22，再把 1k\frac1k 加到 ss 中. 若最终输出 k=8k=8，则循环应在 k=2k=2，44，66 时继续，在 k=8k=8 时停止. 相应地， s2=12s_2=\frac12，s4=12+14=34s_4=\frac12+\frac14=\frac34，s6=34+16=1112s_6=\frac34+\frac16=\frac{11}{12} 而再执行一次得到
s8=1112+18=2524>1112s_8=\frac{11}{12}+\frac18=\frac{25}{24}>\frac{11}{12}
因此判断条件应为 s⩽1112s\leqslant\frac{11}{12}，故答案为 C. \end{solution}
A.
s⩽34s \leqslant \frac{3}{4}
B.
s⩽56s \leqslant \frac{5}{6}
C.
s⩽1112s \leqslant \frac{11}{12}
D.
s⩽2524s \leqslant \frac{25}{24}

2015 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3+12x)5\left(x^{3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{5} 的展开式中 x8x^{8} 的系数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 52\frac{5}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设通项中取 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} 的因子数为 kk，则该项为
C5k(x3)5−k(12x)k\mathrm C_5^k\left(x^3\right)^{5-k}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^k
其中 xx 的指数为 3(5−k)−k2=15−7k23(5-k)-\frac{k}{2}=15-\frac{7k}{2}. 令其等于 88，得 k=2k=2. 因此所求系数为
C52(12)2=52\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^2=\frac{5}{2}
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的弦 ABAB，CDCD 相交于点 EE，过点 AA 作圆 OO 的切线与 DCDC 的延长线交于点 PP，若 PA=6PA = 6，AE=9AE = 9，PC=3PC = 3，CE:ED=2:1CE:ED = 2:1，则 BE=BE =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 由切线与割线定理，PA2=PC⋅PDPA^2=PC\cdot PD，所以
PD=PA2PC=363=12PD=\frac{PA^2}{PC}=\frac{36}{3}=12
图中点的顺序为 PP，CC，EE，DD，故 CD=PD−PC=9CD=PD-PC=9. 由 CE:ED=2:1CE:ED=2:1，得 CE=6CE=6，ED=3ED=3. 再由相交弦定理，
AE⋅BE=CE⋅EDAE\cdot BE=CE\cdot ED
从而
BE=6×39=2BE=\frac{6\times3}{9}=2
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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