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01不等式★★☆☆☆
不等式 4x−x2<x\sqrt{4x - x^2} < x 的解集是（\quad）
A.
(0,2)(0,2)
B.
(2,+∞)(2,+\infty)
C.
(2,4)(2,4)
D.
(−∞,0)∪(2,+∞)(-\infty,0)\cup(2,+\infty)

2003 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
1−3i(3+i)2=\frac{1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{(\sqrt{3} + \mathrm{i})^2} =（\quad）
A.
14+34i\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
B.
−14−34i-\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
C.
12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
−12−32i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

2003 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（\quad）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

2003 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=ln⁡x+1x−1y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}，x∈(1,+∞)x \in (1,+\infty) 的反函数为（\quad）
A.
y=ex−1ex+1,x∈(0,+∞)y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1}, x \in (0,+\infty)
B.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x - 1}，x∈(0,+∞)x \in (0,+\infty)
C.
y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty,0)
D.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x - 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty,0)

2003 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

2003 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an=3n−1+an−1a_{n} = 3^{n - 1} + a_{n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求 a2a_{2}，a3a_{3}. (2) 证明： an=3n−12a_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，a2=31+a1=3+1=4a_{2}=3^{1}+a_{1}=3+1=4，a3=32+a2=9+4=13a_{3}=3^{2}+a_{2}=9+4=13.
\item 当 n=1n=1 时，a1=1=3−12a_{1}=1=\frac{3-1}{2}，结论成立.
假设当 n=kn=k 时结论成立，即 ak=3k−12a_{k}=\frac{3^{k}-1}{2}. 则由递推关系
ak+1=3k+ak=3k+3k−12=3k+1−12a_{k+1}=3^{k}+a_{k}=3^{k}+\frac{3^{k}-1}{2}=\frac{3^{k+1}-1}{2}
因此，当 n=k+1n=k+1 时结论也成立. 由数学归纳法，an=3n−12a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2} 对一切正整数 nn 成立. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★☆☆☆
有三种产品，合格率分别为 0.900.90，0.950.95 和 0.950.95，各抽取一件进行检验.
(1) 求恰有一件不合格的概率； (2) 求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.0010.001）
\begin{solution} 设三件产品不合格的概率分别为 0.100.10、0.050.05、0.050.05，各件产品的检验结果相互独立.
\begin{enumerate} \item 恰有一件不合格的概率为
0.10×0.95×0.95+0.90×0.05×0.95+0.90×0.95×0.05=0.17575≈0.1760.10\times0.95\times0.95+0.90\times0.05\times0.95+0.90\times0.95\times0.05=0.17575\approx0.176
\item 恰有两件不合格的概率为
0.10×0.05×0.95+0.10×0.95×0.05+0.90×0.05×0.05=0.011750.10\times0.05\times0.95+0.10\times0.95\times0.05+0.90\times0.05\times0.05=0.01175
三件均不合格的概率为
0.10×0.05×0.05=0.000250.10\times0.05\times0.05=0.00025
所以至少有两件不合格的概率为 0.01175+0.00025=0.0120.01175+0.00025=0.012. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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