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01不等式★★☆☆☆
不等式 4x−x2<x\sqrt{4x - x^2} < x 的解集是（\quad）
A.
(0,2)(0,2)
B.
(2,+∞)(2,+\infty)
C.
(2,4)(2,4)
D.
(−∞,0)∪(2,+∞)(-\infty,0)\cup(2,+\infty)

2003 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
1−3i(3+i)2=\frac{1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{(\sqrt{3} + \mathrm{i})^2} =（\quad）
A.
14+34i\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
B.
−14−34i-\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
C.
12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
−12−32i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

2003 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=13a_1 = \frac{1}{3}，a2+a5=4a_2 + a_5 = 4，an=33a_n = 33，则 nn 为（\quad）
A.
4848
B.
4949
C.
5050
D.
5151

2003 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
双曲线虚轴的一个端点为 MM，两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，∠F1MF2=120∘\angle F_{1}MF_{2} = 120^{\circ}，则双曲线的离心率为（\quad）
A.
3\sqrt{3}
B.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
C.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2003 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（\quad）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

2003 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
OO 是平面上一定点，AA，BB，CC 是平面上不共线的三个点，动点 PP 满足 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)，λ∈[0,+∞)\lambda \in [0,+\infty)，则 PP 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的（\quad）
A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

2003 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=ln⁡x+1x−1y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}，x∈(1,+∞)x \in (1,+\infty) 的反函数为（\quad）
A.
y=ex−1ex+1,x∈(0,+∞)y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1}, x \in (0,+\infty)
B.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x - 1}，x∈(0,+∞)x \in (0,+\infty)
C.
y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty,0)
D.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^x + 1}{\mathrm{e}^x - 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty,0)

2003 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
棱长为 aa 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（\quad）
A.
a33\frac{a^3}{3}
B.
a34\frac{a^3}{4}
C.
a36\frac{a^3}{6}
D.
a312\frac{a^3}{12}

2003 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0, f(x_0)) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则 PP 到曲线 y=f(x)y = f(x) 对称轴距离的取值范围为（\quad）
A.
[0,1a]\left[0, \frac{1}{a}\right]
B.
[0,12a]\left[0, \frac{1}{2a}\right]
C.
[0,∣b2a∣]\left[0, \left|\frac{b}{2a}\right|\right]
D.
[0,∣b−12a∣]\left[0, \left|\frac{b-1}{2a}\right|\right]

2003 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
已知长方形的四个顶点 A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(2,1)C(2,1) 和 D(0,1)D(0,1)，一质点从 ABAB 的中点 P0P_0 沿与 ABAB 的夹角为 θ\theta 的方向射到 BCBC 上的点 P1P_1 后，依次反射到 CDCD，DADA 和 ABAB 上的点 P2P_2，P3P_3 和 P4P_4（入射角等于反射角），设 P4P_4 的坐标为 (x4,0)(x_4,0)，若 1<x4<21 < x_4 < 2，则 tan⁡θ\tan \theta 的取值范围是（\quad）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3},1\right)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
C.
(25,12)\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)
D.
(25,35)\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)

2003 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（\quad）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

2003 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★☆☆☆☆
某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 12001200 辆，60006000 辆和 20002000 辆. 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 4646 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______，______，______ 辆.

2003 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
在平面几何里，有勾股定理：“设 △ABC\triangle ABC 的两边 ABAB，ACAC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2. ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A−BCDA - BCD 的三个侧面 ABCABC，ACDACD，ADBADB 两两互相垂直，则______.”

2003 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
将 33 种作物种植在如图 55 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有______ 种.（以数字作答）

2003 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=1AB = 1，AA1=2AA_{1} = 2，EE 为 CC1CC_{1} 中点，FF 为 BD1BD_{1} 中点.
(1) 证明： EFEF 为 BD1BD_{1} 与 CC1CC_{1} 的公垂线； (2) 求点 D1D_{1} 到面 BDEBDE 的距离.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 AA 为原点，AB→\overrightarrow{AB}、AD→\overrightarrow{AD}、AA1→\overrightarrow{AA_{1}} 分别为 xx、yy、zz 轴的正向，建立直角坐标系，则 B(1,0,0)B(1,0,0)、C(1,1,0)C(1,1,0)、D(0,1,0)D(0,1,0)、D1(0,1,2)D_{1}(0,1,2)、C1(1,1,2)C_{1}(1,1,2)，从而 E(1,1,1)E(1,1,1)、F(12,12,1)F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right).
于是 EF→=(−12,−12,0)\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)、BD1→=(−1,1,2)\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,1,2)、CC1→=(0,0,2)\overrightarrow{CC_{1}}=(0,0,2)，故 EF→⋅BD1→=0\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}=0，EF→⋅CC1→=0\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CC_{1}}=0. 又 F∈BD1F\in BD_{1}，E∈CC1E\in CC_{1}，所以 EFEF 同时垂直于 BD1BD_{1} 和 CC1CC_{1}，即 EFEF 为它们的公垂线.
\item BD→=(−1,1,0)\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)，BE→=(0,1,1)\overrightarrow{BE}=(0,1,1). 取平面 BDEBDE 的一个法向量为
n=BD→×BE→=(1,1,−1)\boldsymbol{n}=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BE}=(1,1,-1)
因此平面 BDEBDE 的方程为 x+y−z−1=0x+y-z-1=0. 点 D1(0,1,2)D_{1}(0,1,2) 到该平面的距离为
d=∣0+1−2−1∣12+12+(−1)2=23=233d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知抛物线 C1:y=x2+2xC_{1}: y = x^{2} + 2x 和 C2:y=−x2+aC_{2}: y = -x^{2} + a，如果直线 ll 同时是 C1C_{1} 和 C2C_{2} 的切线，称 ll 是 C1C_{1} 和 C2C_{2} 的公切线. 公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
(1) aa 取什么值时，C1C_1 和 C2C_2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2) 若 C1C_1 和 C2C_2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
\begin{solution} 设公切线 ll 的方程为 y=kx+by=kx+b. 由于两条抛物线的切线均不可能为竖直直线，这样设不失一般性.
直线 ll 与 C1C_{1} 联立得 x2+(2−k)x−b=0x^{2}+(2-k)x-b=0. 该方程有重根，所以
(2−k)2+4b=0(2-k)^{2}+4b=0
即 b=−(k−2)24b=-\frac{(k-2)^{2}}{4}.
直线 ll 与 C2C_{2} 联立并整理得 x2+kx+b−a=0x^{2}+kx+b-a=0. 该方程有重根，所以
k2−4(b−a)=0k^{2}-4(b-a)=0
即 b=a+k24b=a+\frac{k^{2}}{4}.
消去 bb，得到公切线的斜率 kk 满足
k2−2k+2+2a=0k^{2}-2k+2+2a=0
\begin{enumerate} \item 公切线的条数由上述关于 kk 的二次方程的实根个数决定. 有且仅有一条公切线时，判别式为零，即
(−2)2−4(2+2a)=0(-2)^{2}-4(2+2a)=0
所以 a=−12a=-\frac{1}{2}，且 k=1k=1. 此时 b=−(1−2)24=−14b=-\frac{(1-2)^{2}}{4}=-\frac{1}{4}，故公切线方程为
y=x−14y=x-\frac{1}{4}
\item 设两条公切线的斜率分别为 k1k_{1}、k2k_{2}. 对任意一个公切线斜率 kk，它与 C1C_{1} 的切点横坐标为二次方程 x2+(2−k)x−b=0x^{2}+(2-k)x-b=0 的重根，即 x=k−22x=\frac{k-2}{2}，所以切点为
T(k)=(k−22,k2−44)T(k)=\left(\frac{k-2}{2},\frac{k^{2}-4}{4}\right)
它与 C2C_{2} 的切点横坐标为二次方程 x2+kx+b−a=0x^{2}+kx+b-a=0 的重根，即 x=−k2x=-\frac{k}{2}，所以切点为
S(k)=(−k2,a−k24)S(k)=\left(-\frac{k}{2},a-\frac{k^{2}}{4}\right)
公切线段 T(k)S(k)T(k)S(k) 的中点为
(k−22−k22,k2−44+a−k242)=(−12,a−12)\left(\frac{\frac{k-2}{2}-\frac{k}{2}}{2},\frac{\frac{k^{2}-4}{4}+a-\frac{k^{2}}{4}}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{a-1}{2}\right)
与 kk 无关. 因而对应于 k1k_{1}、k2k_{2} 的两条公切线段有同一个中点，即两条公切线段互相平分. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an=3n−1+an−1a_{n} = 3^{n - 1} + a_{n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求 a2a_{2}，a3a_{3}. (2) 证明： an=3n−12a_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，a2=31+a1=3+1=4a_{2}=3^{1}+a_{1}=3+1=4，a3=32+a2=9+4=13a_{3}=3^{2}+a_{2}=9+4=13.
\item 当 n=1n=1 时，a1=1=3−12a_{1}=1=\frac{3-1}{2}，结论成立.
假设当 n=kn=k 时结论成立，即 ak=3k−12a_{k}=\frac{3^{k}-1}{2}. 则由递推关系
ak+1=3k+ak=3k+3k−12=3k+1−12a_{k+1}=3^{k}+a_{k}=3^{k}+\frac{3^{k}-1}{2}=\frac{3^{k+1}-1}{2}
因此，当 n=k+1n=k+1 时结论也成立. 由数学归纳法，an=3n−12a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2} 对一切正整数 nn 成立. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★☆☆☆
有三种产品，合格率分别为 0.900.90，0.950.95 和 0.950.95，各抽取一件进行检验.
(1) 求恰有一件不合格的概率； (2) 求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.0010.001）
\begin{solution} 设三件产品不合格的概率分别为 0.100.10、0.050.05、0.050.05，各件产品的检验结果相互独立.
\begin{enumerate} \item 恰有一件不合格的概率为
0.10×0.95×0.95+0.90×0.05×0.95+0.90×0.95×0.05=0.17575≈0.1760.10\times0.95\times0.95+0.90\times0.05\times0.95+0.90\times0.95\times0.05=0.17575\approx0.176
\item 恰有两件不合格的概率为
0.10×0.05×0.95+0.10×0.95×0.05+0.90×0.05×0.05=0.011750.10\times0.05\times0.95+0.10\times0.95\times0.05+0.90\times0.05\times0.05=0.01175
三件均不合格的概率为
0.10×0.05×0.05=0.000250.10\times0.05\times0.05=0.00025
所以至少有两件不合格的概率为 0.01175+0.00025=0.0120.01175+0.00025=0.012. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi）是 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于点 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) 对称，且在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是单调函数. 求 ω\omega 和 φ\varphi 的值.
\begin{solution} 由于 f(x)f(x) 是偶函数，对任意 xx 有
0=f(x)−f(−x)=sin⁡(ωx+φ)−sin⁡(−ωx+φ)=2cos⁡φsin⁡ωx0=f(x)-f(-x)=\sin(\omega x+\varphi)-\sin(-\omega x+\varphi)=2\cos\varphi\sin\omega x
又 ω>0\omega>0，故 cos⁡φ=0\cos\varphi=0. 结合 0⩽φ⩽π0\leqslant\varphi\leqslant\pi，得 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}，从而 f(x)=cos⁡ωxf(x)=\cos\omega x.
图象关于 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4},0\right) 对称，故对任意 xx 有
cos⁡(ω(3π2−x))=−cos⁡ωx\cos\left(\omega\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\right)=-\cos\omega x
令 t=ωxt=\omega x，则上式对任意 t∈Rt\in\mathbf{R} 成立. 由
cos⁡(3πω2−t)=cos⁡3πω2cos⁡t+sin⁡3πω2sin⁡t\cos\left(\frac{3\pi\omega}{2}-t\right)=\cos\frac{3\pi\omega}{2}\cos t+\sin\frac{3\pi\omega}{2}\sin t
可得 cos⁡3πω2=−1\cos\frac{3\pi\omega}{2}=-1，sin⁡3πω2=0\sin\frac{3\pi\omega}{2}=0， 所以 3πω2=(2m+1)π\frac{3\pi\omega}{2}=(2m+1)\pi，即 ω=2(2m+1)3\omega=\frac{2(2m+1)}{3}，其中 mm 为非负整数.
在区间 [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] 上，ωx\omega x 的取值范围为 [0,(2m+1)π3]\left[0,\frac{(2m+1)\pi}{3}\right]. 当 m=0m=0 或 m=1m=1 时，cos⁡ωx\cos\omega x 在该区间上单调递减；当 m⩾2m\geqslant2 时，ωx\omega x 在该区间内越过 π\pi，函数先减后增，不满足单调性. 因此
(ω,φ)=(23,π2)或(2,π2)(\omega,\varphi)=\left(\frac{2}{3},\frac{\pi}{2}\right)\quad\text{或}\quad\left(2,\frac{\pi}{2}\right)
\end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
已知常数 α>0\alpha > 0，向量 c=(0,α)\boldsymbol{c} = (0, \alpha)，i=(1,0)\boldsymbol{i} = (1, 0). 经过原点 OO 以 c+λi\boldsymbol{c} + \lambda \boldsymbol{i} 为方向向量的直线与经过定点 A(0,α)A(0, \alpha) 以 i−2λc\boldsymbol{i} - 2\lambda \boldsymbol{c} 为方向向量的直线相交于 PP，其中 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}. 试问：是否存在两个定点 EE，FF，使得 ∣PE∣+∣PF∣|PE| + |PF| 为定值. 若存在，求出 EE，FF 的坐标；若不存在，说明理由.
\begin{solution} 设交点 PP 在第一条直线上的参数为 tt，在第二条直线上的参数为 ss，则
P=t(λ,α)=(s,α−2αλs)P=t(\lambda,\alpha)=(s,\alpha-2\alpha\lambda s)
因此 s=tλs=t\lambda，且 αt=α−2αλs\alpha t=\alpha-2\alpha\lambda s. 代入 s=tλs=t\lambda，得
t(1+2λ2)=1t(1+2\lambda^{2})=1
从而
P=(λ1+2λ2,α1+2λ2)P=\left(\frac{\lambda}{1+2\lambda^{2}},\frac{\alpha}{1+2\lambda^{2}}\right)
记 P=(x,y)P=(x,y). 由上式中的 y>0y>0 可得 λ=αxy\lambda=\frac{\alpha x}{y}，再由 y=α1+2λ2y=\frac{\alpha}{1+2\lambda^{2}} 消去 λ\lambda，得到
2α2x2+y2−αy=02\alpha^{2}x^{2}+y^{2}-\alpha y=0
即
2α2x2+(y−α2)2=α242\alpha^{2}x^{2}+\left(y-\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=\frac{\alpha^{2}}{4}
这是一条中心为 (0,α2)\left(0,\frac{\alpha}{2}\right) 的椭圆，其半轴长分别为 122\frac{1}{2\sqrt{2}} 和 α2\frac{\alpha}{2}.
当 0<α<220<\alpha<\frac{\sqrt{2}}{2} 时，椭圆的长轴在 xx 轴方向，两个焦点为 E(−1212−α2,α2)E\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-\alpha^{2}},\frac{\alpha}{2}\right)，F(1212−α2,α2)F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-\alpha^{2}},\frac{\alpha}{2}\right)， 且 ∣PE∣+∣PF∣=12|PE|+|PF|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
当 α>22\alpha>\frac{\sqrt{2}}{2} 时，椭圆的长轴在 yy 轴方向，两个焦点为 E(0,α−α2−122)E\left(0,\frac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\frac{1}{2}}}{2}\right)，F(0,α+α2−122)F\left(0,\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\frac{1}{2}}}{2}\right)， 且 ∣PE∣+∣PF∣=α|PE|+|PF|=\alpha.
当 α=22\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} 时，上式表示一个圆，两个焦点重合于圆心，不能得到两个不同的定点，因此按题意不存在符合条件的两个定点. \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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