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02三角函数★★☆☆☆
若函数 y=2sin⁡x+acos⁡x+4y = 2\sin x + \sqrt{a} \cos x + 4 的最小值为 11，则 a=a=______.

1998 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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05立体几何初步★★☆☆☆
棱长为 22 的正四面体的体积为______.

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06解析几何★★☆☆☆
以直角坐标系的原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是 (1,π2)\left(1, \frac{\pi}{2}\right)， (1,3π2)\left(1, \frac{3\pi}{2}\right)，长轴长是 44，则此椭圆的直角坐标方程是______.

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07概率与统计★★☆☆☆
袋内装有大小相同的 44 个白球和 33 个黑球，从中任意摸出 33 个球，其中只有一个黑球的概率是______.

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08函数与初等函数★★☆☆☆
函数
y={2x+3,x⩽0x+3,0<x⩽1−x+5,x>1y=\begin{cases} 2x+3,&x\leqslant0\\ x+3,&0<x\leqslant1\\ -x+5,&x>1 \end{cases}
的最大值是______.

1998 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 nn 是一个自然数，(1+xn)n\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} 的展开式中 x3x^{3} 的系数为 116\frac{1}{16}，则 n=n=______.

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10数列★★☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 中， a1=2a_{1}=2，且对任意自然数 nn， 3an+1−an=03a_{n+1}-a_{n}=0， bnb_{n} 是 ana_{n} 与 an+1a_{n+1} 的等差中项，则 {bn}\{b_{n}\} 的各项和是______.

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 f(x)=axf(x)=a^{x}（a>0a>0，a≠1a\neq1）在 [1,2][1,2] 中的最大值比最小值大 a2\frac{a}{2}，则 aa 的值为______.

1998 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
下列函数中，周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数是（ ）
A.
y=sin⁡4xy = \sin 4x
B.
y=cos⁡22x−sin⁡22xy = \cos^{2}2x - \sin^{2}2x
C.
y=tan⁡2xy = \tan 2x
D.
y=cos⁡2xy = \cos 2x

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 0<a<10 < a < 1，则函数 y=log⁡a(x+5)y = \log_{a}(x + 5) 的图象不经过（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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14立体几何初步★★☆☆☆
在下列命题中，假命题是（ ）
A.
若平面 α\alpha 内的一条直线 ll 垂直于平面 β\beta 内的任一直线，则 α⊥β\alpha \perp \beta
B.
若平面 α\alpha 内的任一直线平行于平面 β\beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若平面 α⊥β\alpha \perp \beta，任取直线 l⊂αl \subset \alpha，则必有 l⊥βl \perp \beta
D.
若平面 α∥β\alpha \parallel \beta，任取直线 l⊂αl \subset \alpha，则必有 l∥βl \parallel \beta

1998 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，A={x∣x2−5x−6>0}A = \{x \mid x^2 - 5x - 6 > 0\}，B={x∣∣x−5∣<a}B = \{x \mid |x - 5| < a\}（aa 是常数），且 11∈B11 \in B，则（ ）
A.
A‾∪B=R\overline{A} \cup B = \mathbf{R}
B.
A∪B‾=RA \cup \overline{B} = \mathbf{R}
C.
A‾∪B‾=R\overline{A}\cup\overline{B} = \mathbf{R}
D.
A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}

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18复数★★☆☆☆
已知向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 所表示的复数 zz 满足 (z−2)i=1+i(z - 2)\mathrm{i} = 1 + \mathrm{i}，将 OZ→\overrightarrow{OZ} 绕原点 OO 按顺时针方向旋转 π4\frac{\pi}{4} 得 OZ′→\overrightarrow{OZ'}，设 OZ′→\overrightarrow{OZ'} 所表示的复数为 z′z'，求复数 z′+2iz' + \sqrt{2}\mathrm{i} 的辐角主值.

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