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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
lg⁡20+log⁡10025=\lg20 + \log_{100}25 =______.

1998 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02三角函数★★☆☆☆
若函数 y=2sin⁡x+acos⁡x+4y = 2\sin x + \sqrt{a} \cos x + 4 的最小值为 11，则 a=a=______.

1998 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若 lim⁡x→1x2+ax+3x3+3=2\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+3}{x^{3}+3}=2，则 a=a=______.

1998 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=(x−1)13+2f(x)=(x-1)^{\frac{1}{3}}+2 的反函数是 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

1998 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★★☆☆☆
棱长为 22 的正四面体的体积为______.

1998 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★★☆☆☆
以直角坐标系的原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是 (1,π2)\left(1, \frac{\pi}{2}\right)， (1,3π2)\left(1, \frac{3\pi}{2}\right)，长轴长是 44，则此椭圆的直角坐标方程是______.

1998 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
袋内装有大小相同的 44 个白球和 33 个黑球，从中任意摸出 33 个球，其中只有一个黑球的概率是______.

1998 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
函数
y={2x+3,x⩽0x+3,0<x⩽1−x+5,x>1y=\begin{cases} 2x+3,&x\leqslant0\\ x+3,&0<x\leqslant1\\ -x+5,&x>1 \end{cases}
的最大值是______.

1998 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 nn 是一个自然数，(1+xn)n\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} 的展开式中 x3x^{3} 的系数为 116\frac{1}{16}，则 n=n=______.

1998 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 中， a1=2a_{1}=2，且对任意自然数 nn， 3an+1−an=03a_{n+1}-a_{n}=0， bnb_{n} 是 ana_{n} 与 an+1a_{n+1} 的等差中项，则 {bn}\{b_{n}\} 的各项和是______.

1998 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 f(x)=axf(x)=a^{x}（a>0a>0，a≠1a\neq1）在 [1,2][1,2] 中的最大值比最小值大 a2\frac{a}{2}，则 aa 的值为______.

1998 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
下列函数中，周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数是（ ）
A.
y=sin⁡4xy = \sin 4x
B.
y=cos⁡22x−sin⁡22xy = \cos^{2}2x - \sin^{2}2x
C.
y=tan⁡2xy = \tan 2x
D.
y=cos⁡2xy = \cos 2x

1998 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 0<a<10 < a < 1，则函数 y=log⁡a(x+5)y = \log_{a}(x + 5) 的图象不经过（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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14立体几何初步★★☆☆☆
在下列命题中，假命题是（ ）
A.
若平面 α\alpha 内的一条直线 ll 垂直于平面 β\beta 内的任一直线，则 α⊥β\alpha \perp \beta
B.
若平面 α\alpha 内的任一直线平行于平面 β\beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若平面 α⊥β\alpha \perp \beta，任取直线 l⊂αl \subset \alpha，则必有 l⊥βl \perp \beta
D.
若平面 α∥β\alpha \parallel \beta，任取直线 l⊂αl \subset \alpha，则必有 l∥βl \parallel \beta

1998 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，A={x∣x2−5x−6>0}A = \{x \mid x^2 - 5x - 6 > 0\}，B={x∣∣x−5∣<a}B = \{x \mid |x - 5| < a\}（aa 是常数），且 11∈B11 \in B，则（ ）
A.
A‾∪B=R\overline{A} \cup B = \mathbf{R}
B.
A∪B‾=RA \cup \overline{B} = \mathbf{R}
C.
A‾∪B‾=R\overline{A}\cup\overline{B} = \mathbf{R}
D.
A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}

1998 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 中 ∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 所对边的边长，则直线 sin⁡A⋅x+ay+c=0\sin A \cdot x + ay + c = 0 与 bx−sin⁡B⋅y+sin⁡C=0bx - \sin B \cdot y + \sin C = 0 的位置关系是（ ）
A.
平行
B.
重合
C.
垂直
D.
相交但不垂直

1998 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
设 α\alpha 是第二象限角，sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，求 sin⁡(376π−2α)\sin \left(\frac{37}{6} \pi - 2\alpha\right) 的值.

1998 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18复数★★☆☆☆
已知向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 所表示的复数 zz 满足 (z−2)i=1+i(z - 2)\mathrm{i} = 1 + \mathrm{i}，将 OZ→\overrightarrow{OZ} 绕原点 OO 按顺时针方向旋转 π4\frac{\pi}{4} 得 OZ′→\overrightarrow{OZ'}，设 OZ′→\overrightarrow{OZ'} 所表示的复数为 z′z'，求复数 z′+2iz' + \sqrt{2}\mathrm{i} 的辐角主值.

1998 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的高为 66，底面是边长为 44， ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ} 的菱形，ACAC 与 BDBD 相交于 OO， A1C1A_{1}C_{1} 与 B1D1B_{1}D_{1} 相交于 O1O_{1}，EE 是 O1AO_{1}A 的中点.
(1) 求二面角 O1−BC−DO_{1}-BC-D 的大小（用反三角函数表示）. (2) 分别以射线 OAOA，OBOB，OO1OO_{1} 为 xx 轴，yy 轴，zz 轴的正半轴建立空间直角坐标系，求点 B1B_{1}，D1D_{1}，EE 的坐标，并求异面直线 OB1OB_{1} 与 D1ED_{1}E 所成角的大小（用反三角函数表示）.

1998 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
(1) 动直线 y=ay = a 与抛物线 y2=12(x−2)y^{2} = \frac{1}{2}(x - 2) 相交于 AA 点，动点 BB 的坐标是 (0,3a)(0, 3a)，求线段 ABAB 中点 MM 的轨迹 CC 的方程. (2) 过点 D(2,0)D(2,0) 的直线 ll 交上述轨迹 CC 于 PP，QQ 两点，EE 点坐标是 (1,0)(1,0)，若 △EPQ\triangle EPQ 的面积为 44，求直线 ll 的倾斜角 α\alpha 的值.

1998 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
设某物体一天中的温度 TT 是时间 tt 的函数： T(t)=at3+bt2+ct+dT(t) = at^{3} + bt^{2} + ct + d（a≠0a \neq 0），其中温度的单位是 ∘C^{\circ}\mathrm{C}，时间的单位是小时，t=0t = 0 表示 12:0012{:}00，tt 取正值表示 12:0012{:}00 以后. 若测得该物体在 8:008{:}00 的温度为 8 ∘C8\mathrm{~^{\circ}C}，12:0012{:}00 的温度为 60 ∘C60\mathrm{~^{\circ}C}，13:0013{:}00 的温度为 58 ∘C58\mathrm{~^{\circ}C}，且已知该物体的温度在 8:008{:}00 和 16:0016{:}00 有相同的变化率.
(1) 写出该物体的温度 TT 关于时间 tt 的函数关系式. (2) 该物体在 10:0010{:}00 到 14:0014{:}00 这段时间中（包括 10:0010{:}00 和 14:0014{:}00），何时温度最高，并求出最高温度. (3) 如果规定一个函数 f(x)f(x) 在 [x1,x2][x_1, x_2]（x1<x2x_1 < x_2）上函数值的平均为 1x2−x1∫x1x2f(x)dx\frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx，求该物体在 8:008{:}00 到 16:0016{:}00 这段时间内的平均温度.

1998 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
若 AnA_n 和 BnB_n 分别表示数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 前 nn 项的和，对任意正整数 nn，an=−2n+32a_n = -\frac{2n + 3}{2}，4Bn−12An=13n4B_n - 12A_n = 13n.
(1) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式. (2) 设有抛物线列 C1C_1，C2C_2，⋯\cdots，CnC_n，⋯\cdots，抛物线 CnC_n（n∈Nn \in \mathbf{N}）的对称轴平行于 yy 轴，顶点为 (an,bn)(a_n, b_n)，且通过点 Dn(0,n2+1)D_n(0, n^{2} + 1)，过点 DnD_n 且与抛物线 CnC_n 相切的直线斜率为 knk_n，求极限 lim⁡n→∞k1+k2+k3+⋯+knanbn\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n}{a_n b_n}. (3) 设集合 X={x∣x=2an,n∈N}X = \{x \mid x = 2a_n, n \in \mathbf{N}\}，Y={y∣y=4bn,n∈N}Y = \{y \mid y = 4b_n, n \in \mathbf{N}\}. 若等差数列 {cn}\{c_n\} 的任一项 cn∈X∩Yc_n \in X \cap Y，c1c_1 是 X∩YX \cap Y 中的最大数，且 −265<c10<−125-265 < c_{10} < -125，求 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

1998 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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