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03三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡4x−sin⁡4xy=\cos^4 x-\sin^4 x 的最小正周期是（\quad）
\begin{solution} 利用平方差公式，cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡2x\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos2x. 函数 cos⁡2x\cos2x 的最小正周期为 π\pi，故选 B. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

1991 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 1212 条直线中，异面直线共有（\quad）
\begin{solution} 六棱锥有 66 条底棱和 66 条侧棱. 底棱所在直线都在同一个底面内，任取两条侧棱所在直线都经过顶点，因此这两类直线内部均不构成异面直线. 一条底棱所在直线与一条侧棱所在直线共有 6×6=366\times6=36 对，其中侧棱与底棱有公共端点的情形为 6×2=126\times2=12 对，均相交. 对于其余的底棱直线 ABAB 和侧棱直线 SCSC，若它们共面，则该平面同时包含底面内不共线的 AA、BB、CC，只能是底面，从而包含不在底面内的顶点 SS，矛盾；所以它们既不相交也不共面. 因此异面直线共有 36−12=2436-12=24 对，选 B. \end{solution}
A.
1212 对
B.
2424 对
C.
3636 对
D.
4848 对

1991 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+5π2)y=\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right) 的图象的一条对称轴的方程是（\quad）
\begin{solution} 因为 sin⁡(2x+5π2)=sin⁡(2x+π2)=cos⁡2x\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2x，所以函数图象是 y=cos⁡2xy=\cos2x. 其对称轴为 x=kπ2x=\frac{k\pi}{2}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}，取 k=−1k=-1 得 x=−π2x=-\frac{\pi}{2}. 故选 A. \end{solution}
A.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}
B.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
C.
x=π8x = \frac{\pi}{8}
D.
x=5π4x = \frac{5\pi}{4}

1991 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，且 an>0a_n>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=25，那么 a3+a5a_3+a_5 的值等于（\quad）
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq，并记 a3=ua_3=u. 则 a2a4=u2a_2a_4=u^2，a3a5=u2q2a_3a_5=u^2q^2，a4a6=u2q4a_4a_6=u^2q^4. 由题意，u2(1+2q2+q4)=u2(1+q2)2=25u^2\left(1+2q^2+q^4\right)=u^2\left(1+q^2\right)^2=25. 因为各项为正数，u>0u>0，所以 u(1+q2)=5u(1+q^2)=5. 因而 a3+a5=u+uq2=5a_3+a_5=u+uq^2=5，选 A. \end{solution}
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

1991 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 44 台甲型和 55 台乙型电视机中任意取出 33 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 11 台，则不同的取法共有（\quad）
\begin{solution} 从 99 台电视机中取出 33 台的总取法数为 C93\mathrm C_9^3. 其中全取甲型有 C43\mathrm C_4^3 种，全取乙型有 C53\mathrm C_5^3 种. 因而至少各有一台的取法数为 C93−C43−C53=84−4−10=70\mathrm C_9^3-\mathrm C_4^3-\mathrm C_5^3=84-4-10=70，选 C. \end{solution}
A.
140140 种
B.
8484 种
C.
7070 种
D.
3535 种

1991 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
如果 AC<0AC<0 且 BC<0BC<0，那么直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 不通过（\quad）
\begin{solution} 由 AC<0AC<0、BC<0BC<0 可知 AA、BB 同号且与 CC 异号. 将方程整体乘以 −1-1 后不改变直线，可设 A>0A>0、B>0B>0、C<0C<0. 当点在第三象限时，x<0x<0、y<0y<0，于是 Ax+By+C<0Ax+By+C<0，不可能等于 00. 因此直线不通过第三象限，选 C. \end{solution}
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

1991 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★☆☆☆
设甲，乙，丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（\quad）
\begin{solution} “甲是乙的必要条件”表示 乙⇒甲\text{乙}\Rightarrow\text{甲}；“丙是乙的充分条件”表示 丙⇒乙\text{丙}\Rightarrow\text{乙}. 因而 丙⇒乙⇒甲\text{丙}\Rightarrow\text{乙}\Rightarrow\text{甲}，丙是甲的充分条件. 若甲也是丙的充分条件，则有 甲⇒丙⇒乙\text{甲}\Rightarrow\text{丙}\Rightarrow\text{乙}，这将推出 乙⇒丙\text{乙}\Rightarrow\text{丙}，与丙不是乙的必要条件矛盾. 所以丙不是甲的必要条件，选 A. \end{solution}
A.
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.
丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.
丙是甲的充要条件
D.
丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1991 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞[n(1−13)(1−14)(1−15)⋯(1−1n+2)]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right] 的值等于（\quad）
\begin{solution} 将乘积展开可得 n(1−13)(1−14)⋯(1−1n+2)=n⋅23⋅34⋯n+1n+2=2nn+2n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)=n\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n}{n+2}. 因此极限为 lim⁡n→∞2nn+2=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+2}=2，选 C. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

1991 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
如果奇函数 f(x)f(x) 在区间 [3,7][3,7] 上是增函数且最小值为 55，那么 f(x)f(x) 在区间 [−7,−3][-7,-3] 上是（\quad）
\begin{solution} 任取 x1x_1，x2∈[−7,−3]x_2\in[-7,-3]，令 t1=−x1t_1=-x_1、t2=−x2t_2=-x_2，则 t1t_1，t2∈[3,7]t_2\in[3,7]. 当 x1<x2x_1<x_2 时，t1>t2t_1>t_2. 因为 ff 在 [3,7][3,7] 上递增，所以 f(t1)>f(t2)f(t_1)>f(t_2)，再由奇函数性质得 f(x1)=−f(t1)<−f(t2)=f(x2)f(x_1)=-f(t_1)<-f(t_2)=f(x_2). 因此 ff 在 [−7,−3][-7,-3] 上递增. 又因为 ff 在 [3,7][3,7] 上递增，所以其最小值在 x=3x=3 处取得，即 f(3)=5f(3)=5，从而 f(−3)=−f(3)=−5f(-3)=-f(3)=-5. 因此 ff 在 [−7,−3][-7,-3] 上的最大值为 −5-5，选 B. \end{solution}
A.
增函数且最小值为 −5-5
B.
增函数且最大值为 −5-5
C.
减函数且最小值为 −5-5
D.
减函数且最大值为 −5-5

1991 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x，M={x∣f(x)≠0}M=\{x\mid f(x)\neq 0\}，N={x∣g(x)≠0}N=\{x\mid g(x)\neq 0\}，那么集合 {x∣f(x)g(x)=0}\{x\mid f(x)g(x)=0\} 等于（\quad）
\begin{solution} 由定义，M‾={x∣sin⁡x=0}\overline M=\{x\mid\sin x=0\}，N‾={x∣cos⁡x=0}\overline N=\{x\mid\cos x=0\}. 条件 f(x)g(x)=0f(x)g(x)=0 等价于 sin⁡x=0\sin x=0 或 cos⁡x=0\cos x=0，所以 {x∣f(x)g(x)=0}=M‾∪N‾\{x\mid f(x)g(x)=0\}=\overline M\cup\overline N，选 D. \end{solution}
A.
M‾∩N‾\overline{M} \cap \overline{N}
B.
M‾∪N\overline{M} \cup N
C.
M∪N‾M \cup \overline{N}
D.
M‾∪N‾\overline{M} \cup \overline{N}

1991 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
arctan⁡13+arctan⁡12\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2} 的值是______.
\begin{solution} 设 u=arctan⁡13+arctan⁡12u=\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{2}，则 0<u<π0<u<\pi. 由正切和角公式，tan⁡u=13+121−16=1>0\tan u=\frac{\frac13+\frac12}{1-\frac16}=1>0，且分母为正说明 cos⁡u>0\cos u>0，所以 u∈(0,π2)u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). 因而 u=π4u=\frac{\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 6x2+x−2<16^{x^2+x-2}<1 的解集是______.
\begin{solution} 因为底数 6>16>1，所以 6x2+x−2<16^{x^2+x-2}<1 等价于 x2+x−2<0x^2+x-2<0. 因式分解得 (x+2)(x−1)<0(x+2)(x-1)<0，故解集为 (−2,1)\left(-2,1\right). \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^2-3z+6}{z+1} 的模和辐角的主值.
\begin{solution} 因为 z=1+iz=1+\mathrm{i}，所以 z2=2iz^2=2\mathrm{i}，从而 z2−3z+6=3−iz^2-3z+6=3-\mathrm{i}，且 z+1=2+iz+1=2+\mathrm{i}. 因此
z2−3z+6z+1=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−i\frac{z^2-3z+6}{z+1}=\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=1-\mathrm{i}
故该复数的模为 2\sqrt2. 因为 1−i1-\mathrm{i} 对应的点在第四象限，且其辐角的主值取 [0,2π)[0,2\pi) 内的值，所以主值为 7π4\frac{7\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★☆☆☆
根据函数单调性的定义，证明函数 f(x)=−x3+1f(x)=-x^3+1 在 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right) 上是减函数.
\begin{solution} 任取 x1x_1，x2∈(−∞,+∞)x_2\in\left(-\infty,+\infty\right)，且 x1<x2x_1<x_2. 则
f(x2)−f(x1)=−(x23−x13)=−(x2−x1)(x12+x1x2+x22)f(x_2)-f(x_1)=-(x_2^3-x_1^3)=-(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)
其中 x2−x1>0x_2-x_1>0. 另一方面，
x12+x1x2+x22=(x1+x22)2+34x22⩾0x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac34x_2^2\geqslant0
且等号成立当且仅当 x1=x2=0x_1=x_2=0，这与 x1<x2x_1<x_2 矛盾，所以 x12+x1x2+x22>0x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. 因此 f(x2)−f(x1)<0f(x_2)-f(x_1)<0，即 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2). 根据函数单调性的定义，函数 f(x)=−x3+1f(x)=-x^3+1 在 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right) 上是减函数. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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