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01三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡α=45\sin \alpha = \frac{4}{5}，并且 α\alpha 是第二象限的角，那么 tan⁡α\tan \alpha 的值等于（\quad）
\begin{solution} 由 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，得 cos⁡2α=1−1625=925\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}. 因为 α\alpha 是第二象限的角，所以 cos⁡α=−35\cos\alpha=-\frac{3}{5}，从而 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−43\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}. 故选 A. \end{solution}
A.
−43-\frac{4}{3}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
34\frac{3}{4}
D.
43\frac{4}{3}

1991 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
焦点在 (−1,0)\left(-1,0\right)，顶点在 (1,0)\left(1,0\right) 的抛物线方程是（\quad）
\begin{solution} 抛物线的焦点和顶点都在 xx 轴上，且焦点 (−1,0)(-1,0) 在顶点 (1,0)(1,0) 的左侧，所以抛物线开口向左. 顶点到焦点的距离为 22，故其标准方程为 y2=−4×2(x−1)=−8(x−1)y^2=-4\times2\left(x-1\right)=-8\left(x-1\right). 故选 D. \end{solution}
A.
y2=8(x+1)y^{2}=8\left(x+1\right)
B.
y2=−8(x+1)y^{2}=-8\left(x+1\right)
C.
y2=8(x−1)y^{2}=8\left(x-1\right)
D.
y2=−8(x−1)y^{2}=-8\left(x-1\right)

1991 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡4x−sin⁡4xy=\cos^4 x-\sin^4 x 的最小正周期是（\quad）
\begin{solution} 利用平方差公式，cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡2x\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos2x. 函数 cos⁡2x\cos2x 的最小正周期为 π\pi，故选 B. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

1991 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 1212 条直线中，异面直线共有（\quad）
\begin{solution} 六棱锥有 66 条底棱和 66 条侧棱. 底棱所在直线都在同一个底面内，任取两条侧棱所在直线都经过顶点，因此这两类直线内部均不构成异面直线. 一条底棱所在直线与一条侧棱所在直线共有 6×6=366\times6=36 对，其中侧棱与底棱有公共端点的情形为 6×2=126\times2=12 对，均相交. 对于其余的底棱直线 ABAB 和侧棱直线 SCSC，若它们共面，则该平面同时包含底面内不共线的 AA、BB、CC，只能是底面，从而包含不在底面内的顶点 SS，矛盾；所以它们既不相交也不共面. 因此异面直线共有 36−12=2436-12=24 对，选 B. \end{solution}
A.
1212 对
B.
2424 对
C.
3636 对
D.
4848 对

1991 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+5π2)y=\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right) 的图象的一条对称轴的方程是（\quad）
\begin{solution} 因为 sin⁡(2x+5π2)=sin⁡(2x+π2)=cos⁡2x\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2x，所以函数图象是 y=cos⁡2xy=\cos2x. 其对称轴为 x=kπ2x=\frac{k\pi}{2}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}，取 k=−1k=-1 得 x=−π2x=-\frac{\pi}{2}. 故选 A. \end{solution}
A.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}
B.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
C.
x=π8x = \frac{\pi}{8}
D.
x=5π4x = \frac{5\pi}{4}

1991 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如果三棱锥 S−ABCS-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 SS 在底面的射影 OO 在 △ABC\triangle ABC 内，那么 OO 是 △ABC\triangle ABC 的（\quad）
\begin{solution} 设 HH 是点 OO 到底面边 BCBC 的垂足. 过 SOSO 作垂直于 BCBC 的截面，则该截面与底面、侧面 SBCSBC 的交线分别为 OHOH、SHSH，所以对应的二面角满足 tan⁡θ=SOOH\tan\theta=\frac{SO}{OH}. 三个侧面与底面所成的二面角相等，且 SO>0SO>0，故点 OO 到三条边的距离相等. 又因 OO 在三角形内部，OO 是 △ABC\triangle ABC 的内心，选 D. \end{solution}
A.
垂心
B.
重心
C.
外心
D.
内心

1991 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，且 an>0a_n>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=25，那么 a3+a5a_3+a_5 的值等于（\quad）
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq，并记 a3=ua_3=u. 则 a2a4=u2a_2a_4=u^2，a3a5=u2q2a_3a_5=u^2q^2，a4a6=u2q4a_4a_6=u^2q^4. 由题意，u2(1+2q2+q4)=u2(1+q2)2=25u^2\left(1+2q^2+q^4\right)=u^2\left(1+q^2\right)^2=25. 因为各项为正数，u>0u>0，所以 u(1+q2)=5u(1+q^2)=5. 因而 a3+a5=u+uq2=5a_3+a_5=u+uq^2=5，选 A. \end{solution}
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

1991 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
如果圆锥曲线的极坐标方程为 ρ=165−3cos⁡θ\rho=\frac{16}{5-3\cos\theta}，那么它的焦点的极坐标为（\quad）
\begin{solution} 令 ρ=x2+y2\rho=\sqrt{x^2+y^2}，则 ρcos⁡θ=x\rho\cos\theta=x. 原极坐标方程化为 5ρ=16+3x5\rho=16+3x. 由于 5−3cos⁡θ>05-3\cos\theta>0，两边平方不引入额外点，得 25(x2+y2)=(16+3x)225(x^2+y^2)=(16+3x)^2，即 16(x−3)2+25y2=40016(x-3)^2+25y^2=400，或 (x−3)225+y216=1\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1. 该椭圆的中心为 (3,0)(3,0)，半长轴为 55，半短轴为 44，焦距的一半为 52−42=3\sqrt{5^2-4^2}=3. 所以两个焦点为 (0,0)(0,0)、(6,0)(6,0)，选 D. \end{solution}
A.
(0,0)\left(0,0\right)，(6,π)\left(6,\pi\right)
B.
(−3,0)\left(-3,0\right)，(3,0)\left(3,0\right)
C.
(0,0)\left(0,0\right)，(3,0)\left(3,0\right)
D.
(0,0)\left(0,0\right)，(6,0)\left(6,0\right)

1991 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 44 台甲型和 55 台乙型电视机中任意取出 33 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 11 台，则不同的取法共有（\quad）
\begin{solution} 从 99 台电视机中取出 33 台的总取法数为 C93\mathrm C_9^3. 其中全取甲型有 C43\mathrm C_4^3 种，全取乙型有 C53\mathrm C_5^3 种. 因而至少各有一台的取法数为 C93−C43−C53=84−4−10=70\mathrm C_9^3-\mathrm C_4^3-\mathrm C_5^3=84-4-10=70，选 C. \end{solution}
A.
140140 种
B.
8484 种
C.
7070 种
D.
3535 种

1991 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
如果 AC<0AC<0 且 BC<0BC<0，那么直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 不通过（\quad）
\begin{solution} 由 AC<0AC<0、BC<0BC<0 可知 AA、BB 同号且与 CC 异号. 将方程整体乘以 −1-1 后不改变直线，可设 A>0A>0、B>0B>0、C<0C<0. 当点在第三象限时，x<0x<0、y<0y<0，于是 Ax+By+C<0Ax+By+C<0，不可能等于 00. 因此直线不通过第三象限，选 C. \end{solution}
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

1991 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★☆☆☆
设甲，乙，丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（\quad）
\begin{solution} “甲是乙的必要条件”表示 乙⇒甲\text{乙}\Rightarrow\text{甲}；“丙是乙的充分条件”表示 丙⇒乙\text{丙}\Rightarrow\text{乙}. 因而 丙⇒乙⇒甲\text{丙}\Rightarrow\text{乙}\Rightarrow\text{甲}，丙是甲的充分条件. 若甲也是丙的充分条件，则有 甲⇒丙⇒乙\text{甲}\Rightarrow\text{丙}\Rightarrow\text{乙}，这将推出 乙⇒丙\text{乙}\Rightarrow\text{丙}，与丙不是乙的必要条件矛盾. 所以丙不是甲的必要条件，选 A. \end{solution}
A.
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.
丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.
丙是甲的充要条件
D.
丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1991 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞[n(1−13)(1−14)(1−15)⋯(1−1n+2)]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right] 的值等于（\quad）
\begin{solution} 将乘积展开可得 n(1−13)(1−14)⋯(1−1n+2)=n⋅23⋅34⋯n+1n+2=2nn+2n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)=n\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n}{n+2}. 因此极限为 lim⁡n→∞2nn+2=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+2}=2，选 C. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

1991 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
如果奇函数 f(x)f(x) 在区间 [3,7][3,7] 上是增函数且最小值为 55，那么 f(x)f(x) 在区间 [−7,−3][-7,-3] 上是（\quad）
\begin{solution} 任取 x1x_1，x2∈[−7,−3]x_2\in[-7,-3]，令 t1=−x1t_1=-x_1、t2=−x2t_2=-x_2，则 t1t_1，t2∈[3,7]t_2\in[3,7]. 当 x1<x2x_1<x_2 时，t1>t2t_1>t_2. 因为 ff 在 [3,7][3,7] 上递增，所以 f(t1)>f(t2)f(t_1)>f(t_2)，再由奇函数性质得 f(x1)=−f(t1)<−f(t2)=f(x2)f(x_1)=-f(t_1)<-f(t_2)=f(x_2). 因此 ff 在 [−7,−3][-7,-3] 上递增. 又因为 ff 在 [3,7][3,7] 上递增，所以其最小值在 x=3x=3 处取得，即 f(3)=5f(3)=5，从而 f(−3)=−f(3)=−5f(-3)=-f(3)=-5. 因此 ff 在 [−7,−3][-7,-3] 上的最大值为 −5-5，选 B. \end{solution}
A.
增函数且最小值为 −5-5
B.
增函数且最大值为 −5-5
C.
减函数且最小值为 −5-5
D.
减函数且最大值为 −5-5

1991 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
圆 x2+2x+y2+4y−3=0x^{2} + 2x + y^{2} + 4y - 3 = 0 上到直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 的距离为 2\sqrt{2} 的点共有（\quad）
\begin{solution} 圆的方程化为 (x+1)2+(y+2)2=8\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=8，圆心为 (−1,−2)(-1,-2)，半径为 222\sqrt2. 设所求点到直线的距离为 2\sqrt2，则 ∣x+y+1∣=2\lvert x+y+1\rvert=2，所以这些点在两条直线 x+y=1x+y=1 或 x+y=−3x+y=-3 上. 直线 x+y=1x+y=1 到圆心的距离为 222\sqrt{2}，与圆相切，有 11 个交点；直线 x+y=−3x+y=-3 经过圆心，与圆有 22 个交点. 共有 33 个点，选 C. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

1991 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x，M={x∣f(x)≠0}M=\{x\mid f(x)\neq 0\}，N={x∣g(x)≠0}N=\{x\mid g(x)\neq 0\}，那么集合 {x∣f(x)g(x)=0}\{x\mid f(x)g(x)=0\} 等于（\quad）
\begin{solution} 由定义，M‾={x∣sin⁡x=0}\overline M=\{x\mid\sin x=0\}，N‾={x∣cos⁡x=0}\overline N=\{x\mid\cos x=0\}. 条件 f(x)g(x)=0f(x)g(x)=0 等价于 sin⁡x=0\sin x=0 或 cos⁡x=0\cos x=0，所以 {x∣f(x)g(x)=0}=M‾∪N‾\{x\mid f(x)g(x)=0\}=\overline M\cup\overline N，选 D. \end{solution}
A.
M‾∩N‾\overline{M} \cap \overline{N}
B.
M‾∪N\overline{M} \cup N
C.
M∪N‾M \cup \overline{N}
D.
M‾∪N‾\overline{M} \cup \overline{N}

1991 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
arctan⁡13+arctan⁡12\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2} 的值是______.
\begin{solution} 设 u=arctan⁡13+arctan⁡12u=\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{2}，则 0<u<π0<u<\pi. 由正切和角公式，tan⁡u=13+121−16=1>0\tan u=\frac{\frac13+\frac12}{1-\frac16}=1>0，且分母为正说明 cos⁡u>0\cos u>0，所以 u∈(0,π2)u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). 因而 u=π4u=\frac{\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 6x2+x−2<16^{x^2+x-2}<1 的解集是______.
\begin{solution} 因为底数 6>16>1，所以 6x2+x−2<16^{x^2+x-2}<1 等价于 x2+x−2<0x^2+x-2<0. 因式分解得 (x+2)(x−1)<0(x+2)(x-1)<0，故解集为 (−2,1)\left(-2,1\right). \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台上底面边长为 22，下底面边长为 44，且侧棱与底面所成的角是 45∘45^\circ，那么这个正三棱台的体积等于______.
\begin{solution} 设该正三棱台的高为 hh. 正三棱台上下底面的中心在同一条高线上，对应顶点连线在底面上的投影长等于两底面外接圆半径之差. 正三角形边长分别为 22、44 时，外接圆半径分别为 23\frac{2}{\sqrt3}、43\frac{4}{\sqrt3}，故投影长为 23\frac{2}{\sqrt3}. 在由侧棱、其投影和高组成的直角三角形中，tan⁡45∘=h23=1\tan45^\circ=\frac{h}{\frac{2}{\sqrt3}}=1，所以 h=23h=\frac{2}{\sqrt3}. 上、下底面积分别为 3\sqrt3、434\sqrt3，故正棱台体积为
V=h3(S1+S2+S1S2)=233(3+43+23)=143V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{3}\left(\sqrt3+4\sqrt3+2\sqrt3\right)=\frac{14}{3}
\end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19计数原理与组合数学★★★☆☆
(ax+1)7\left(ax+1\right)^7 的展开式中，x3x^3 的系数是 x2x^2 的系数与 x4x^4 的系数的等差中项，若实数 a>1a>1，那么 a=a=______.
\begin{solution} 在 (ax+1)7(ax+1)^7 的展开式中，xkx^k 的系数为 C7kak\mathrm C_7^k a^k. 因而 x2x^2，x3x^3，x4x^4 的系数分别为 21a221a^2、35a335a^3、35a435a^4. 由等差中项关系，2×35a3=21a2+35a42\times35a^3=21a^2+35a^4. 因为 a>1a>1，可除以 7a27a^2，得到 5a2−10a+3=05a^2-10a+3=0，所以 a=1±105a=1\pm\frac{\sqrt{10}}{5}. 结合 a>1a>1，得 a=1+105a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★☆☆
在球面上有四个点 PP，AA，BB，CC，如果 PAPA，PBPB，PCPC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=aPA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是______.
\begin{solution} 以 PP 为原点，分别以 PAPA、PBPB、PCPC 所在方向为三个坐标轴正方向，则可设 P=(0,0,0)P=(0,0,0)、A=(a,0,0)A=(a,0,0)、B=(0,a,0)B=(0,a,0)、C=(0,0,a)C=(0,0,a). 设球心为 O=(u,v,w)O=(u,v,w). 由 OP=OAOP=OA 得 u2+v2+w2=(u−a)2+v2+w2u^2+v^2+w^2=(u-a)^2+v^2+w^2，所以 u=a2u=\frac a2. 由 OP=OBOP=OB 得 u2+v2+w2=u2+(v−a)2+w2u^2+v^2+w^2=u^2+(v-a)^2+w^2，所以 v=a2v=\frac a2. 由 OP=OCOP=OC 得 u2+v2+w2=u2+v2+(w−a)2u^2+v^2+w^2=u^2+v^2+(w-a)^2，所以 w=a2w=\frac a2. 因而球半径满足 R2=(a2)2+(a2)2+(a2)2=3a24R^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}，球面面积为 4πR2=3πa24\pi R^2=3\pi a^2. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21三角函数★★★☆☆
求函数 y=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xy=\sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2 x 的最小值，并写出使函数 yy 取最小值的 xx 的集合.
\begin{solution} 由 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}、cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} 及 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x，得
y=2+cos⁡2x+sin⁡2x=2+2sin⁡(2x+π4)≥2−2y=2+\cos2x+\sin2x=2+\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\geq 2-\sqrt2
当且仅当 sin⁡(2x+π4)=−1\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 时取等号，即 2x+π4=−π2+2kπ2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi，所以 x=kπ−3π8x=k\pi-\frac{3\pi}{8}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因此最小值为 2−22-\sqrt2，使函数取最小值的 xx 的集合为 {x∣x=kπ−3π8, k∈Z}\left\{x\mid x=k\pi-\frac{3\pi}{8},\ k\in\mathbf{Z}\right\}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^2-3z+6}{z+1} 的模和辐角的主值.
\begin{solution} 因为 z=1+iz=1+\mathrm{i}，所以 z2=2iz^2=2\mathrm{i}，从而 z2−3z+6=3−iz^2-3z+6=3-\mathrm{i}，且 z+1=2+iz+1=2+\mathrm{i}. 因此
z2−3z+6z+1=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−i\frac{z^2-3z+6}{z+1}=\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=1-\mathrm{i}
故该复数的模为 2\sqrt2. 因为 1−i1-\mathrm{i} 对应的点在第四象限，且其辐角的主值取 [0,2π)[0,2\pi) 内的值，所以主值为 7π4\frac{7\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 44 的正方形，EE，FF 分别是 ABAB，ADAD 的中点，GCGC 垂直于 ABCDABCD 所在的平面，且 GC=2GC=2，求点 BB 到平面 EFGEFG 的距离.
\begin{solution} 建立直角坐标系，使正方形所在平面为 z=0z=0，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)、B=(4,0,0)B=(4,0,0)、C=(4,4,0)C=(4,4,0)、D=(0,4,0)D=(0,4,0). 由题意可取 E=(2,0,0)E=(2,0,0)、F=(0,2,0)F=(0,2,0)、G=(4,4,2)G=(4,4,2). 于是 EF→=(−2,2,0)\overrightarrow{EF}=(-2,2,0)，EG→=(2,4,2)\overrightarrow{EG}=(2,4,2)，平面 EFGEFG 的一个法向量为 (1,1,−3)(1,1,-3)，其方程为 x+y−3z−2=0x+y-3z-2=0. 因此点 B=(4,0,0)B=(4,0,0) 到该平面的距离为
d=∣4+0−3×0−2∣12+12+(−3)2=211=21111d=\frac{\lvert4+0-3\times0-2\rvert}{\sqrt{1^2+1^2+(-3)^2}}=\frac{2}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11}}{11}
\end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★☆☆☆
根据函数单调性的定义，证明函数 f(x)=−x3+1f(x)=-x^3+1 在 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right) 上是减函数.
\begin{solution} 任取 x1x_1，x2∈(−∞,+∞)x_2\in\left(-\infty,+\infty\right)，且 x1<x2x_1<x_2. 则
f(x2)−f(x1)=−(x23−x13)=−(x2−x1)(x12+x1x2+x22)f(x_2)-f(x_1)=-(x_2^3-x_1^3)=-(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)
其中 x2−x1>0x_2-x_1>0. 另一方面，
x12+x1x2+x22=(x1+x22)2+34x22⩾0x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac34x_2^2\geqslant0
且等号成立当且仅当 x1=x2=0x_1=x_2=0，这与 x1<x2x_1<x_2 矛盾，所以 x12+x1x2+x22>0x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. 因此 f(x2)−f(x1)<0f(x_2)-f(x_1)<0，即 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2). 根据函数单调性的定义，函数 f(x)=−x3+1f(x)=-x^3+1 在 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right) 上是减函数. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25指数函数与对数函数★★★★☆
已知 nn 为自然数，实数 a>1a>1，解关于 xx 的不等式：log⁡ax−4log⁡a2x+12log⁡a3x+⋯+n(−2)n−1log⁡anx>1−(−2)n3log⁡a(x2−a)\log_a x-4\log_{a^2} x+12\log_{a^3} x+\cdots+n(-2)^{n-1}\log_{a^n} x>\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a\left(x^2-a\right).
\begin{solution} 由定义域知 x>0x>0 且 x2−a>0x^2-a>0，所以必须有 x>ax>\sqrt a. 又由换底公式 log⁡akx=1klog⁡ax\log_{a^k}x=\frac1k\log_a x，左端等于
∑k=1nk(−2)k−1log⁡akx=∑k=1n(−2)k−1log⁡ax=1−(−2)n3log⁡ax\sum_{k=1}^{n}k(-2)^{k-1}\log_{a^k}x=\sum_{k=1}^{n}(-2)^{k-1}\log_a x=\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a x
因此原不等式化为 1−(−2)n3log⁡ax>1−(−2)n3log⁡a(x2−a)\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a x>\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a\left(x^2-a\right).
当 nn 为奇数时，1−(−2)n3>0\frac{1-(-2)^n}{3}>0. 因为 a>1a>1，不等式等价于 x>x2−ax>x^2-a，即 x2−x−a<0x^2-x-a<0. 记 r=1+1+4a2r=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}，则二次式的两个根为 1−1+4a2<0\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}<0、r>0r>0，所以不等式的正根区间为 0<x<r0<x<r. 与定义域交得 a<x<r\sqrt a<x<r；并且由 r2=r+a>ar^2=r+a>a 知该区间确实非空.
当 nn 为偶数时，1−(−2)n3<0\frac{1-(-2)^n}{3}<0，不等式变为 x<x2−ax<x^2-a，即 x2−x−a>0x^2-x-a>0. 因为负根小于 0<a0<\sqrt a，结合定义域得 x>rx>r. 综上，当 nn 为奇数时，解集为 {x∣a<x<1+1+4a2}\left\{x\mid\sqrt a<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}；当 nn 为偶数时，解集为 {x∣x>1+1+4a2}\left\{x\mid x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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