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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=2x+3xf(x)=2^{x}+3x 的零点所在的一个区间是（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 函数 f(x)=2x+3xf(x)=2^x+3x 在 R\mathbf{R} 上连续，且 f(−1)=12−3=−52<0f(-1)=\frac12-3=-\frac52<0，f(0)=1>0f(0)=1>0. 由零点存在定理，f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0) 内至少有一个零点，因此选 B. \end{solution}
A.
(−2,−1)(-2,-1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,2)(1,2)

2010 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
阅读下面的程序框图，若输出 ss 的值为 −7-7，则判断框内可填写（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 i=1i=1，s=2s=2. 每次判断为真时，先执行 s←s−is\leftarrow s-i，再执行 i←i+2i\leftarrow i+2.
若判断条件为 i<6i<6，循环中的数值依次为
(i,s)=(1,2)⟼(3,1)⟼(5,−2)⟼(7,−7)(i,s)=(1,2)\longmapsto(3,1)\longmapsto(5,-2)\longmapsto(7,-7)
此时 i<6i<6 不成立，输出 s=−7s=-7. 而条件分别为 i<3i<3、i<4i<4、i<5i<5 时，输出值分别为 11、−2-2、−2-2，均不符合题意. 因此选 D. \end{solution}
A.
i<3?i < 3?
B.
i<4?i < 4?
C.
i<5?i < 5?
D.
i<6?i < 6?

2010 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={log⁡2x,x>0,log⁡12(−x),x<0,f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x > 0,\\ \log_{\frac{1}{2}} (-x), & x < 0, \end{cases}
若 f(a)>f(−a)f(a) > f(-a)，则实数 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 因 f(a)f(a) 与 f(−a)f(-a) 均有意义，故 a≠0a\ne0.
当 a>0a>0 时， f(a)=log⁡2af(a)=\log_2a，f(−a)=log⁡12a=−log⁡2af(-a)=\log_{\frac{1}{2}}a=-\log_2a. 不等式化为 log⁡2a>0\log_2a>0，从而 a>1a>1.
当 a<0a<0 时，令 u=−a>0u=-a>0，则 f(a)=log⁡12u=−log⁡2uf(a)=\log_{\frac{1}{2}}u=-\log_2u，f(−a)=log⁡2uf(-a)=\log_2u. 不等式化为 log⁡2u<0\log_2u<0，所以 0<u<10<u<1，即 −1<a<0-1<a<0. 综合得
a∈(−1,0)∪(1,+∞)a\in(-1,0)\cup(1,+\infty)
选 C. \end{solution}
A.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup(0,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
C.
(−1,0)∪(1,+∞)(-1,0)\cup(1,+\infty)
D.
(−∞,−1)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(0,1)

2010 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x−a∣<1,x∈R}A = \{x \mid |x - a| < 1, x \in \mathbf{R}\}，B={x∣∣x−b∣>2,x∈R}B = \{x \mid |x - b| > 2, x \in \mathbf{R}\}. 若 A⊂BA \subset B，则实数 aa，bb 必满足（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由集合定义， A=(a−1,a+1)A=(a-1,a+1)，B=(−∞,b−2)∪(b+2,+∞)B=(-\infty,b-2)\cup(b+2,+\infty). 区间 AA 连通，若 A⊂BA\subset B，则它必须完全落在 BB 的某一个分支内. 因而或者
a+1≤b−2a+1\le b-2
得到 b−a≥3b-a\ge3；或者
a−1≥b+2a-1\ge b+2
得到 a−b≥3a-b\ge3. 综上 ∣a−b∣≥3|a-b|\ge3，选 D. \end{solution}
A.
∣a+b∣⩽3|a + b| \leqslant 3
B.
∣a+b∣⩾3|a + b| \geqslant 3
C.
∣a−b∣⩽3|a - b| \leqslant 3
D.
∣a−b∣⩾3|a - b| \geqslant 3

2010 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.
\begin{answer} 103\frac{10}{3} \end{answer} \begin{solution} 由三视图可知，该几何体由一个底面边长为 11、高为 22 的正方体柱和一个底面边长为 22、高为 11 的四棱锥组成. 因而体积为
V=12⋅2+13⋅22⋅1=2+43=103V=1^2\cdot2+\frac13\cdot2^2\cdot1 =2+\frac43=\frac{10}{3}
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的圆心是直线
{x=t,y=1+t,\begin{cases} x = t,\\ y = 1 + t, \end{cases}
（tt 为参数）与 xx 轴的交点，且圆 CC 与直线 x+y+3=0x + y + 3 = 0 相切，则圆 CC 的方程为______. \begin{answer} (x+1)2+y2=2\left(x+1\right)^2+y^2=2 \end{answer} \begin{solution} 圆心在 xx 轴上，所以由 y=1+t=0y=1+t=0 得 t=−1t=-1，圆心为 (−1,0)(-1,0). 圆与直线 x+y+3=0x+y+3=0 相切，故半径为圆心到该直线的距离：
r=∣−1+0+3∣12+12=2r=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2
所以圆的方程为
(x+1)2+y2=2(x+1)^2+y^2=2
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =______.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer} \begin{solution} 由 D∈BCD\in BC，有
BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
因此
AC→=AB→+BC→=AB→+3BD→=(1−3)AB→+3AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{BD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{AD}
又因 AD⊥ABAD\perp AB 且 ∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}|=1，所以
AC→⋅AD→=(1−3)AB→⋅AD→+3∣AD→∣2=3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} +\sqrt3\left|\overrightarrow{AD}\right|^2 =\sqrt3
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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