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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 −1+3i1+2i=\frac{-1 + 3\mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}} =（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 将分子、分母同乘分母的共轭复数，得
−1+3i1+2i=(−1+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5+5i5=1+i\frac{-1+3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} =\frac{(-1+3\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})} =\frac{5+5\mathrm{i}}{5}=1+\mathrm{i}
因此选 A. \end{solution}
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
5+5i5 + 5\mathrm{i}
C.
−5−5i-5 - 5\mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2010 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=2x+3xf(x)=2^{x}+3x 的零点所在的一个区间是（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 函数 f(x)=2x+3xf(x)=2^x+3x 在 R\mathbf{R} 上连续，且 f(−1)=12−3=−52<0f(-1)=\frac12-3=-\frac52<0，f(0)=1>0f(0)=1>0. 由零点存在定理，f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0) 内至少有一个零点，因此选 B. \end{solution}
A.
(−2,−1)(-2,-1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,2)(1,2)

2010 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若 f(x)f(x) 是奇函数，则 f(−x)f(-x) 是奇函数”的否命题是（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 设命题“f(x)f(x) 是奇函数”为 pp，命题“f(−x)f(-x) 是奇函数”为 qq. 原命题是 p⇒qp\Rightarrow q，其否命题为 ¬p⇒¬q\lnot p\Rightarrow\lnot q，即“若 f(x)f(x) 不是奇函数，则 f(−x)f(-x) 不是奇函数”. 因此选 B. \end{solution}
A.
若 f(x)f(x) 是偶函数，则 f(−x)f(-x) 是偶函数
B.
若 f(x)f(x) 不是奇函数，则 f(−x)f(-x) 不是奇函数
C.
若 f(−x)f(-x) 是奇函数，则 f(x)f(x) 是奇函数
D.
若 f(−x)f(-x) 不是奇函数，则 f(x)f(x) 不是奇函数

2010 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
阅读下面的程序框图，若输出 ss 的值为 −7-7，则判断框内可填写（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 i=1i=1，s=2s=2. 每次判断为真时，先执行 s←s−is\leftarrow s-i，再执行 i←i+2i\leftarrow i+2.
若判断条件为 i<6i<6，循环中的数值依次为
(i,s)=(1,2)⟼(3,1)⟼(5,−2)⟼(7,−7)(i,s)=(1,2)\longmapsto(3,1)\longmapsto(5,-2)\longmapsto(7,-7)
此时 i<6i<6 不成立，输出 s=−7s=-7. 而条件分别为 i<3i<3、i<4i<4、i<5i<5 时，输出值分别为 11、−2-2、−2-2，均不符合题意. 因此选 D. \end{solution}
A.
i<3?i < 3?
B.
i<4?i < 4?
C.
i<5?i < 5?
D.
i<6?i < 6?

2010 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的一条渐近线方程是 y=3xy = \sqrt{3} x，它的一个焦点在抛物线 y2=24xy^2 = 24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 双曲线的渐近线为 y=±baxy=\pm\dfrac ba x，故 ba=3\frac ba=\sqrt3，b2=3a2b^2=3a^2. 抛物线 y2=24x=4⋅6xy^2=24x=4\cdot6x 的准线为 x=−6x=-6，所以双曲线焦点到原点的距离满足 c=6c=6. 又
c2=a2+b2=4a2c^2=a^2+b^2=4a^2
从而 a2=9a^2=9，b2=27b^2=27. 因此双曲线方程为
x29−y227=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1
选 B. \end{solution}
A.
x236−y2108=1\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{108} = 1
B.
x29−y227=1\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{27} = 1
C.
x2108−y236=1\frac{x^2}{108} - \frac{y^2}{36} = 1
D.
x227−y29=1\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{9} = 1

2010 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1 的等比数列，SnS_{n} 是 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且 9S3=S69S_{3} = S_{6}，则数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\} 的前 5 项和为（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 因为首项为 11，所以 S3=1+q+q2S_3=1+q+q^2，S6=S3(1+q3)S_6=S_3(1+q^3). 又 S3=1+q+q2=(q+12)2+34>0S_3=1+q+q^2=\left(q+\frac12\right)^2+\frac34>0. 由 9S3=S69S_3=S_6，得 1+q3=91+q^3=9，即 q=2q=2. 因此
∑n=151an=1+12+14+18+116=3116\sum_{n=1}^{5}\frac1{a_n} =1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16} =\frac{31}{16}
因此选 C. \end{solution}
A.
158\frac{15}{8} 或 5
B.
3116\frac{31}{16} 或 5
C.
3116\frac{31}{16}
D.
158\frac{15}{8}

2010 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别是 aa，bb，cc，若 a2−b2=3bca^2 - b^2 = \sqrt{3}bc，sin⁡C=23sin⁡B\sin C = 2\sqrt{3}\sin B，则 A=A =（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 由正弦定理， cb=sin⁡Csin⁡B=23\frac cb=\frac{\sin C}{\sin B}=2\sqrt3，c=23bc=2\sqrt3b. 代入已知条件得 a2−b2=3bc=6b2a^2-b^2=\sqrt3bc=6b^2，a2=7b2a^2=7b^2. 再由余弦定理，
a2=b2+c2−2bccos⁡A=13b2−43b2cos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A =13b^2-4\sqrt3b^2\cos A
所以 7=13−43cos⁡A7=13-4\sqrt3\cos A，即 cos⁡A=32\cos A=\dfrac{\sqrt3}{2}. 因为 0<A<π0<A<\pi，故 A=30∘A=30^\circ，选 A. \end{solution}
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
120∘120^{\circ}
D.
150∘150^{\circ}

2010 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={log⁡2x,x>0,log⁡12(−x),x<0,f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x > 0,\\ \log_{\frac{1}{2}} (-x), & x < 0, \end{cases}
若 f(a)>f(−a)f(a) > f(-a)，则实数 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 因 f(a)f(a) 与 f(−a)f(-a) 均有意义，故 a≠0a\ne0.
当 a>0a>0 时， f(a)=log⁡2af(a)=\log_2a，f(−a)=log⁡12a=−log⁡2af(-a)=\log_{\frac{1}{2}}a=-\log_2a. 不等式化为 log⁡2a>0\log_2a>0，从而 a>1a>1.
当 a<0a<0 时，令 u=−a>0u=-a>0，则 f(a)=log⁡12u=−log⁡2uf(a)=\log_{\frac{1}{2}}u=-\log_2u，f(−a)=log⁡2uf(-a)=\log_2u. 不等式化为 log⁡2u<0\log_2u<0，所以 0<u<10<u<1，即 −1<a<0-1<a<0. 综合得
a∈(−1,0)∪(1,+∞)a\in(-1,0)\cup(1,+\infty)
选 C. \end{solution}
A.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup(0,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
C.
(−1,0)∪(1,+∞)(-1,0)\cup(1,+\infty)
D.
(−∞,−1)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(0,1)

2010 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x−a∣<1,x∈R}A = \{x \mid |x - a| < 1, x \in \mathbf{R}\}，B={x∣∣x−b∣>2,x∈R}B = \{x \mid |x - b| > 2, x \in \mathbf{R}\}. 若 A⊂BA \subset B，则实数 aa，bb 必满足（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由集合定义， A=(a−1,a+1)A=(a-1,a+1)，B=(−∞,b−2)∪(b+2,+∞)B=(-\infty,b-2)\cup(b+2,+\infty). 区间 AA 连通，若 A⊂BA\subset B，则它必须完全落在 BB 的某一个分支内. 因而或者
a+1≤b−2a+1\le b-2
得到 b−a≥3b-a\ge3；或者
a−1≥b+2a-1\ge b+2
得到 a−b≥3a-b\ge3. 综上 ∣a−b∣≥3|a-b|\ge3，选 D. \end{solution}
A.
∣a+b∣⩽3|a + b| \leqslant 3
B.
∣a+b∣⩾3|a + b| \geqslant 3
C.
∣a−b∣⩽3|a - b| \leqslant 3
D.
∣a−b∣⩾3|a - b| \geqslant 3

2010 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
如图，用四种不同颜色给图中的 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由图可知，上方三角形为 △ADE\triangle ADE，下方三角形为 △BCF\triangle BCF，并且对应竖直线段为 ABAB，DCDC，EFEF. 先给 AA，DD，EE 涂色，有
4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24
种方法.
固定 AA，DD，EE 的颜色分别为 11，22，33，记第4种颜色为 44. 下面按 BB 的颜色分类计数. BB 不能取颜色 11. 当 B=2B=2 时，CC 可取 11，33，44：若 C=1C=1，则 FF 有1种取法；若 C=3C=3，则 FF 有2种取法；若 C=4C=4，则 FF 有1种取法，共4种. 当 B=3B=3 时，CC 可取 1,41,4，对应的 FF 各有2种取法，共4种. 当 B=4B=4 时，CC 可取 1,31,3，对应的 FF 分别有1种、2种取法，共3种. 因而固定上方三点颜色后，下方三点有
4+4+3=114+4+3=11
种涂法. 故总涂色方法数为 24⋅11=26424\cdot11=264，选 B. \end{solution}
A.
288288 种
B.
264264 种
C.
240240 种
D.
168168 种

2010 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
甲，乙两人在 10 天10\text{ 天} 中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数个位数. 则这 10 天10\text{ 天} 甲，乙两人日加工零件的平均数分别为______ 和______.
甲\乙
0  1  3  2  00\;1\;3\;2\;0221  4  2  41\;4\;2\;4
1  1  51\;1\;5330  2  00\;2\;0
\begin{answer} 2424，2323 \end{answer} \begin{solution} 从茎叶图读出甲的数据为 1919，1818，2020，2121，2323，2222，2020，3131，3131，3535 其和为 240240，所以甲的平均数为 24010=24\frac{240}{10}=24. 乙的数据为 1919，1717，2121，2424，2222，2424，3030，3232，3030，1111 其和为 230230，所以乙的平均数为 23010=23\frac{230}{10}=23. 因此两人的平均数分别为 2424 和 2323. \end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.
\begin{answer} 103\frac{10}{3} \end{answer} \begin{solution} 由三视图可知，该几何体由一个底面边长为 11、高为 22 的正方体柱和一个底面边长为 22、高为 11 的四棱锥组成. 因而体积为
V=12⋅2+13⋅22⋅1=2+43=103V=1^2\cdot2+\frac13\cdot2^2\cdot1 =2+\frac43=\frac{10}{3}
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的圆心是直线
{x=t,y=1+t,\begin{cases} x = t,\\ y = 1 + t, \end{cases}
（tt 为参数）与 xx 轴的交点，且圆 CC 与直线 x+y+3=0x + y + 3 = 0 相切，则圆 CC 的方程为______. \begin{answer} (x+1)2+y2=2\left(x+1\right)^2+y^2=2 \end{answer} \begin{solution} 圆心在 xx 轴上，所以由 y=1+t=0y=1+t=0 得 t=−1t=-1，圆心为 (−1,0)(-1,0). 圆与直线 x+y+3=0x+y+3=0 相切，故半径为圆心到该直线的距离：
r=∣−1+0+3∣12+12=2r=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt2
所以圆的方程为
(x+1)2+y2=2(x+1)^2+y^2=2
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是圆 OO 的内接四边形，延长 ABAB 和 DCDC 相交于点 PP，若 PBPA=12\frac{PB}{PA} = \frac{1}{2}，PCPD=13\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}，则 BCAD\frac{BC}{AD} 的值为______.
\begin{answer} 66\frac{\sqrt{6}}{6} \end{answer} \begin{solution} 由圆内接四边形的割线定理，
PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD
设 PA=1PA=1，则 PB=12PB=\dfrac12，且由 PC=PD3PC=\dfrac{PD}{3} 得 12=PD23\frac12=\frac{PD^2}{3}，PD=32PD=\sqrt{\frac32}，PC=16PC=\frac1{\sqrt6}. 设 ∠BPC=∠APD=θ\angle BPC=\angle APD=\theta. 由余弦定理，
BC2=14+16−16cos⁡θ=512−cos⁡θ6BC^2=\frac14+\frac16-\frac1{\sqrt6}\cos\theta =\frac5{12}-\frac{\cos\theta}{\sqrt6}
AD2=1+32−6cos⁡θ=52−6cos⁡θ=6BC2AD^2=1+\frac32-\sqrt6\cos\theta =\frac52-\sqrt6\cos\theta=6BC^2
故
BCAD=16=66\frac{BC}{AD}=\frac1{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =______.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer} \begin{solution} 由 D∈BCD\in BC，有
BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
因此
AC→=AB→+BC→=AB→+3BD→=(1−3)AB→+3AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{BD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{AD}
又因 AD⊥ABAD\perp AB 且 ∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}|=1，所以
AC→⋅AD→=(1−3)AB→⋅AD→+3∣AD→∣2=3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} +\sqrt3\left|\overrightarrow{AD}\right|^2 =\sqrt3
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1，对任意 x∈[32,+∞)x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)，f(xm)−4m2f(x)⩽f(x−1)+4f(m)f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m) 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} (−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right) \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 f(xm)f(\frac{x}{m})，必须有 m≠0m\ne0. 将 f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 代入不等式并移项，得 Qm(x):=(1m2−4m2−1)x2+2x+3≤0Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0，x≥32x\ge\frac32. 记 Am=1m2−4m2−1A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1. 若 Am≥0A_m\ge0，则 Qm(x)Q_m(x) 在充分大的 xx 处为正，不可能恒成立. 设 Am<0A_m<0. 若二次函数顶点 −1Am≥32-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}，则其在定义区间内的最大值为
Qm(−1Am)=3−1Am>0Q_m\left(-\frac1{A_m}\right)=3-\frac1{A_m}>0
仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 x≥32x\ge\frac{3}{2} 有 Qm′(x)=2Amx+2<0Q_m'(x)=2A_mx+2<0，故 QmQ_m 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： Qm(32)=94Am+6≤0Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0，Am≤−83A_m\le-\frac83. 于是
1m2−4m2+53≤0\frac1{m^2}-4m^2+\frac53\le0
令 t=m2>0t=m^2>0，乘以正数 3t3t 得
12t2−5t−3≥012t^2-5t-3\ge0
该二次式的根为 −13-\dfrac13，34\dfrac34，故 t≥34t\ge\dfrac34，即
∣m∣≥32|m|\ge\frac{\sqrt3}{2}
所以 mm 的取值范围为
(−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{2},+\infty\right)
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=23sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x−1f(x) = 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 2\cos^2 x - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值； (2) 若 f(x0)=65f(x_{0})=\frac{6}{5}，x0∈[π4,π2]x_{0}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]，求 cos⁡2x0\cos 2x_{0} 的值.

2010 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某射手每次射击击中目标的概率是 23\frac{2}{3}，且各次射击的结果互不影响.
(1) 假设这名射手射击 5 次5\text{ 次}，求恰有 2 次2\text{ 次} 击中目标的概率； (2) 假设这名射手射击 5 次5\text{ 次}，求有 3 次3\text{ 次} 连续击中目标，另外 2 次2\text{ 次} 未击中目标的概率； (3) 假设这名射手射击 3 次3\text{ 次}，每次射击，击中目标得 1 分1\text{ 分}，未击中目标得 0 分0\text{ 分}，在 3 次3\text{ 次} 射击中，若有 2 次2\text{ 次} 连续击中，而另外 1 次1\text{ 次} 未击中，则额外加 1 分1\text{ 分}；若 3 次3\text{ 次} 全击中，则额外加 3 分3\text{ 分}. 记 ξ\xi 为射手射击 3 次3\text{ 次}后的总的分数，求 ξ\xi 的分布列.

2010 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别是棱 BCBC，CC1CC_{1} 上的点，CF=AB=2CECF = AB = 2CE，AB:AD:AA1=1:2:4AB:AD:AA_{1} = 1:2:4.
(1) 求异面直线 EFEF 与 A1DA_{1}D 所成角的余弦值； (2) 证明 AF⊥AF \perp 平面 A1EDA_{1}ED； (3) 求二面角 A1−ED−FA_{1} - ED - F 的正弦值.

2010 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率 e=32e = \frac{\sqrt{3}}{2}，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 ll 与椭圆相交于不同的两点 AA，BB. 已知点 AA 的坐标为 (−a,0)(-a, 0)，点 Q(0,y0)Q(0, y_{0}) 在线段 ABAB 的垂直平分线上，且 QA→⋅QB→=4\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 4. 求 y0y_{0} 的值.

2010 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 已知函数 y=g(x)y = g(x) 的图象与函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=1x = 1 对称. 证明：当 x>1x > 1 时，f(x)>g(x)f(x) > g(x)； (3) 如果 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，且 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2})，证明：x1+x2>2x_{1} + x_{2} > 2.

2010 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=0a_{1} = 0，且对任意 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，a2k−1a_{2k-1}，a2ka_{2k}，a2k+1a_{2k+1} 成等差数列，其公差为 dkd_{k}.
(1) 若 dk=2kd_{k} = 2k，证明 a2ka_{2k}，a2k+1a_{2k+1}，a2k+2a_{2k+2} 成等比数列（k∈N∗k \in \mathbf{N}^*）； (2) 若对任意 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，a2ka_{2k}，a2k+1a_{2k+1}，a2k+2a_{2k+2} 成等比数列，其公比为 qkq_k.
(i) 设 q1≠1q_{1} \neq 1. 证明 {1qk−1}\left\{\frac{1}{q_{k}-1}\right\} 是等差数列； (ii) 若 a2=2a_2 = 2，证明 32<2n−∑k=2nk2ak⩽2\frac{3}{2} < 2n - \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2}{a_k} \leqslant 2（n⩾2n \geqslant 2）.

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