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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 A={x∣x2−2x>0}A = \{x \mid x^2 - 2x > 0\}，则 ∁UA\complement_U A 等于（ ）
\begin{solution} 由x2−2x=x(x−2)>0x^2-2x=x(x-2)>0，得x<0x<0或x>2x>2，所以 A=(−∞,0)∪(2,+∞)A=(-\infty,0)\cup(2,+\infty).在全集R\mathbf{R}中取补集，得到 ∁UA=[0,2]={x∣0⩽x⩽2}\complement_U A=[0,2]=\{x\mid 0\leqslant x\leqslant2\}，选 A. \end{solution}
A.
{x∣0⩽x⩽2}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 2\}
B.
{x∣0<x<2}\{x\mid 0 < x < 2\}
C.
{x∣x<0 或 x>2}\{x\mid x < 0\text{ 或 }x > 2\}
D.
{x∣x⩽0 或 x⩾2}\{x\mid x\leqslant 0\text{ 或 }x\geqslant 2\}

2009 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
\begin{solution} 程序开始时S=2S=2，n=1n=1.循环第一次计算 S=11−S=11−2=−1S=\frac{1}{1-S}=\frac{1}{1-2}=-1，随后n=2n=2；第二次计算 S=11−(−1)=12S=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}，随后n=4n=4；第三次计算 S=11−12=2S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2，随后n=8n=8.此时满足S=2S=2，输出n=8n=8，选 C. \end{solution}
A.
22
B.
44
C.
88
D.
1616

2009 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%40\%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出00到99之间取整数值的随机数，指定11，22，33，44表示命中，55，66，77，88，99，00表示不命中；再以每33个随机数为一组，代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了2020组随机数：
907907966966191191925925271271
932932812812458458569569683683
431431257257393393027027556556
488488730730113113537537989989
据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为（ ）
\begin{solution} 把每组的三个数字按“11，22，33，44 命中，其余不命中”判断.恰有两次命中的组为 191191、271271、932932、812812、393393，共55组.总共模拟了2020组，所以频率为 520=0.25\frac{5}{20}=0.25.因此估计的概率为0.250.25，选 B. \end{solution}
A.
0.350.35
B.
0.250.25
C.
0.200.20
D.
0.150.15

2009 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12概率与统计★★☆☆☆
某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，99位评委为参赛作品 AA 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算术平均分为9191，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 xx）无法看清. 若记分员计算无误，则数字 xx 应该是______.
\begin{array}{c} \phantom{8} & \multicolumn{6}{|c}{作品 A} \\ \hline $8$ & $8$ & $9$ & $9$ & & & \\ $9$ & $2$ & $3$ & $x$ & $2$ & $1$ & $4$ \end{array}
\begin{solution} 茎叶图中的九个分数为8888，8989，8989，9191，9292，9292，9393，9494，90+x90+x.去掉最低分8888后，最高分为9494（当x⩽4x\leqslant4）或90+x90+x（当x⩾5x\geqslant5）.去掉最高、最低分后，七个分数的和应为7×91=6377\times91=637.
九个分数的总和为818+x818+x.若x⩽4x\leqslant4，去掉88,9488,94后有 818+x−88−94=637818+x-88-94=637，解得x=1x=1，符合x⩽4x\leqslant4.若x⩾5x\geqslant5，去掉8888，90+x90+x后总和为640640，不等于637637.因此x=1x=1. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
M=(2−31−1)M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
所对应的线性变换把点 A(x,y)A(x, y) 变成点 A′(13,5)A'(13, 5)，试求 MM 的逆矩阵及点 AA 的坐标.
\begin{solution} 矩阵MM的行列式为 det⁡M=2×(−1)−(−3)×1=1≠0\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0，所以MM可逆，且
M−1=1det⁡M(−13−12)=(−13−12)M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
由线性变换关系
M(xy)=(135)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
得
(xy)=M−1(135)=(−13−12)(135)=(2−3)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
因此A=(2,−3)A=(2,-3). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll：3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 与圆 CC：
{x=−1+2cos⁡θ,y=2+2sin⁡θ,\begin{cases} x = -1 + 2\cos \theta,\\ y = 2 + 2\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），试判断他们的公共点个数.
\begin{solution} 圆CC的圆心为O1=(−1,2)O_1=(-1,2)，半径为22.圆心到直线l:3x+4y−12=0l:3x+4y-12=0的距离为
d=∣3(−1)+4×2−12∣32+42=75<2d=\frac{|3(-1)+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}<2
因此直线与圆相交于两个不同的公共点，公共点个数为22. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
解不等式 ∣2x−1∣<∣x∣+1|2x - 1| < |x| + 1.
\begin{solution} 两边均为非负数，可以平方而不改变不等号方向，得
(2x−1)2<(∣x∣+1)2⟺3x2−4x<2∣x∣(2x-1)^2<(|x|+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-4x<2|x|
当x⩾0x\geqslant0时，∣x∣=x|x|=x，所以 3x2−6x<03x^2-6x<0，即0<x<20<x<2. 当x<0x<0时，∣x∣=−x|x|=-x，所以 3x2−2x<03x^2-2x<0，即x(3x−2)<0x(3x-2)<0，但此时两个因子均为负，乘积为正，无解. 综上，不等式的解集为(0,2)(0,2). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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