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02不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{x−y⩽0,x+y⩽1,x⩾0,\begin{cases} x - y \leqslant 0,\\ x + y \leqslant 1,\\ x \geqslant 0, \end{cases}
则 z=x+2yz = x + 2y 最大值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x−y⩽0x-y\leqslant0、x+y⩽1x+y\leqslant1 和 x⩾0x\geqslant0，可知可行域的顶点为 (0,0)(0,0)、(0,1)(0,1)、(12,12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). 目标函数 z=x+2yz=x+2y 在这些顶点处的值分别为 00、22、32\frac{3}{2}，故最大值为 22，所以选 D. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

2015 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 初始时 (x,y,k)=(1,1,0)(x,y,k)=(1,1,0). 每循环一次先计算 s=x−ys=x-y、t=x+yt=x+y，再令 x=sx=s、y=ty=t，并使 kk 增加 11. 因而各次循环后的状态为 (x,y,k)=(0,2,1)(x,y,k)=(0,2,1)，(−2,2,2)(-2,2,2)，(−4,0,3)(-4,0,3). 此时满足 k⩾3k\geqslant3，输出 (−4,0)(-4,0)，所以选 B. \end{solution}
A.
(−2,2)(-2, 2)
B.
(−4,0)(-4,0)
C.
(−4,−4)(-4, -4)
D.
(0,8)(0, 8)

2015 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
设 α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，mm 是直线且 m⊂αm \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta 是“α∥β\alpha \parallel \beta”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 α∥β\alpha\parallel\beta，则 α\alpha 内任意直线都与平面 β\beta 平行，因此 α∥β\alpha\parallel\beta 能推出 m∥βm\parallel\beta，所以前者是后者的必要条件.
反之，若 α\alpha 与 β\beta 相交，取 mm 为 α\alpha 内平行于交线 α∩β\alpha\cap\beta 的直线，则 m∥βm\parallel\beta，但 α\alpha 不平行于 β\beta. 因此该条件不是充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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11解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 (2,π3)\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right) 到直线 ρ(cos⁡θ+3sin⁡θ)=6\rho(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)=6 的距离为______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 极坐标点 (2,π3)\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right) 的直角坐标为 (x,y)=(1,3)(x,y)=(1,\sqrt3). 直线方程化为 x+3y=6x+\sqrt3y=6. 因此点到直线的距离为
∣1+3⋅3−6∣1+(3)2=22=1\frac{|1+\sqrt3\cdot\sqrt3-6|}{\sqrt{1+(\sqrt3)^2}}=\frac{2}{2}=1
\end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 MM，NN 满足 AM→=2MC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}，BN→=NC→\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}. 若 MN→=xAB→+yAC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=x =______；y=y =______.
\begin{answer} x=12x=\dfrac{1}{2}，y=−16y=-\dfrac{1}{6} \end{answer}
\begin{solution} 由 AM→=2MC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}，得 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. 又由 BN→=NC→\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，得 NN 是 BCBC 的中点. 以 AA 为起点，用 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示位置向量，则 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AC}，AN→=AB→+12BC→=12AB→+12AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}. 于是
MN→=AN→−AM→=12AB→−16AC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB}-\frac16\overrightarrow{AC}
故 x=12x=\dfrac12，y=−16y=-\dfrac16. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x2cos⁡x2−2sin⁡2x2f(x)=\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\sin^2\dfrac{x}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π,0]\left[-\pi,0\right] 上的最小值.

2015 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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