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01不等式★★☆☆☆
不等式组
{x2−1<0,x2−3x<0\begin{cases} x^{2}-1<0,\\ x^{2}-3x<0 \end{cases}
的解集为（ ）
A.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1<x<1\}
B.
{x∣0<x<3}\{x\mid 0<x<3\}
C.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0<x<1\}
D.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★☆☆☆
已知三条直线 mm，nn，ll，三个平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma，下列四个命题中，正确的是（ ）
A.
{α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β\begin{cases} \alpha\perp\gamma,\\ \beta\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow\alpha\parallel\beta
B.
{m∥β,l⊥m⇒l⊥β\begin{cases} m\parallel\beta,\\ l\perp m \end{cases}\Rightarrow l\perp\beta
C.
{m∥γ,n∥γ⇒m∥n\begin{cases} m\parallel\gamma,\\ n\parallel\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n
D.
{m⊥γ,n⊥γ⇒m∥n\begin{cases} m\perp\gamma,\\ n\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的焦点是 F1F_{1}，F2F_{2}，PP 是椭圆上的一个动点. 如果延长 F1PF_{1}P 到 QQ，使得 ∣PQ∣=∣PF2∣\lvert PQ\rvert=\lvert PF_{2}\rvert，那么动点 QQ 的轨迹是（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
如果 θ∈(π2,π)\theta\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)，那么复数 (1+i)(cos⁡θ+isin⁡θ)(1+\mathrm{i})(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) 的辐角的主值是（ ）
A.
θ+9π4\theta+\dfrac{9\pi}{4}
B.
θ+π4\theta+\dfrac{\pi}{4}
C.
θ−π4\theta-\dfrac{\pi}{4}
D.
θ+7π4\theta+\dfrac{7\pi}{4}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
若角 α\alpha 满足条件 sin⁡2α<0\sin2\alpha<0，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，则 α\alpha 在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 66 名志愿者中选出 44 人分别从事翻译、导游、导购、保洁 44 项不同工作. 若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A.
280280 种
B.
240240 种
C.
180180 种
D.
9696 种

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
圆 2x2+2y2=12x^{2}+2y^{2}=1 与直线 xsin⁡θ+y−1=0x\sin\theta+y-1=0（θ∈R\theta\in\mathbf{R}，θ≠π2+kπ\theta\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}）的位置关系是（ ）
A.
相交
B.
相切
C.
相离或相切
D.
不能确定

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，如果一个圆的方程 ρ=4cos⁡θ+6sin⁡θ\rho=4\cos\theta+6\sin\theta，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）
A.
ρsin⁡θ=3\rho\sin\theta=3
B.
ρsin⁡θ=−3\rho\sin\theta=-3
C.
ρcos⁡θ=2\rho\cos\theta=2
D.
ρcos⁡θ=−2\rho\cos\theta=-2

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
对于二项式 (1x+x3)n\left(\dfrac1x+x^{3}\right)^{n} 的展开式（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），四位同学作出了四种判断：
① 存在 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中有常数项； ② 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中没有常数项； ③ 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中没有 xx 的一次项； ④ 存在 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中有 xx 的一次项.
上述判断中正确的是（ ）
A.
①与③
B.
②与③
C.
①与④
D.
②与④

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）
A.
1313 项
B.
1212 项
C.
1111 项
D.
1010 项

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x24−y2m=1\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{m}=1 的渐近线方程为 y=±32xy=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}x，则双曲线的焦点坐标是______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
如果 cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}，θ∈(π,3π2)\theta\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)，那么 cos⁡(θ+π4)\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right) 的值等于______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16复数★★☆☆☆
对于任意两个复数 z1=x1+y1iz_{1}=x_{1}+y_{1}\mathrm{i}，z2=x2+y2iz_{2}=x_{2}+y_{2}\mathrm{i}（x1∈Rx_{1}\in\mathbf{R}，y1∈Ry_{1}\in\mathbf{R}，x2∈Rx_{2}\in\mathbf{R}，y2∈Ry_{2}\in\mathbf{R}），定义运算 ⊙\odot 为：z1⊙z2=x1x2+y1y2z_{1}\odot z_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}. 设非零复数 w1w_{1}，w2w_{2} 在复平面内对应的点分别为 P1P_{1}，P2P_{2}，点 OO 为坐标原点. 如果 w1⊙w2=0w_{1}\odot w_{2}=0，那么在 △P1OP2\triangle P_{1}OP_{2} 中，∠P1OP2\angle P_{1}OP_{2} 的大小为______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AA，BB，CC 成等差数列，求 tan⁡A2+tan⁡C2+3tan⁡A2tan⁡C2\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{C}{2}+\sqrt{3}\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{C}{2} 的值.
\begin{solution} 因为 AA，BB，CC 成等差数列，所以 A+C=2BA+C=2B. 又因为 A+B+C=πA+B+C=\pi，所以 3B=π3B=\pi，从而 B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，且 A+C2=π3\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{\pi}{3}. 设 x=tan⁡A2x=\tan\dfrac{A}{2}，y=tan⁡C2y=\tan\dfrac{C}{2}. 由于 A>0A>0，C>0C>0，且 A2+C2=π3<π2\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}，有 tan⁡A+C2=x+y1−xy=3\tan\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{x+y}{1-xy}=\sqrt{3}. 因此 x+y=3(1−xy)x+y=\sqrt{3}(1-xy)，即 x+y+3xy=3x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}. 所以所求值为 3\sqrt{3}. \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是偶函数，而且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，判断 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
\begin{solution} 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. 任取 x1x_{1}，x2∈(−∞,0)x_{2}\in\left(-\infty,0\right)，且 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0，则 −x1>−x2>0-x_{1}>-x_{2}>0. 由 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，得 f(−x1)>f(−x2)f(-x_{1})>f(-x_{2}). 又因为 f(x)f(x) 是偶函数，所以 f(x1)=f(−x1)f(x_{1})=f(-x_{1})，f(x2)=f(−x2)f(x_{2})=f(-x_{2})，从而 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2}). 因此，当 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0 时总有 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2})，故 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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