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共找到 22 题
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组题
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01不等式★★☆☆☆
不等式组
{x2−1<0,x2−3x<0\begin{cases} x^{2}-1<0,\\ x^{2}-3x<0 \end{cases}
的解集为（ ）
A.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1<x<1\}
B.
{x∣0<x<3}\{x\mid 0<x<3\}
C.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0<x<1\}
D.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★☆☆☆
已知三条直线 mm，nn，ll，三个平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma，下列四个命题中，正确的是（ ）
A.
{α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β\begin{cases} \alpha\perp\gamma,\\ \beta\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow\alpha\parallel\beta
B.
{m∥β,l⊥m⇒l⊥β\begin{cases} m\parallel\beta,\\ l\perp m \end{cases}\Rightarrow l\perp\beta
C.
{m∥γ,n∥γ⇒m∥n\begin{cases} m\parallel\gamma,\\ n\parallel\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n
D.
{m⊥γ,n⊥γ⇒m∥n\begin{cases} m\perp\gamma,\\ n\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的焦点是 F1F_{1}，F2F_{2}，PP 是椭圆上的一个动点. 如果延长 F1PF_{1}P 到 QQ，使得 ∣PQ∣=∣PF2∣\lvert PQ\rvert=\lvert PF_{2}\rvert，那么动点 QQ 的轨迹是（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
如果 θ∈(π2,π)\theta\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)，那么复数 (1+i)(cos⁡θ+isin⁡θ)(1+\mathrm{i})(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) 的辐角的主值是（ ）
A.
θ+9π4\theta+\dfrac{9\pi}{4}
B.
θ+π4\theta+\dfrac{\pi}{4}
C.
θ−π4\theta-\dfrac{\pi}{4}
D.
θ+7π4\theta+\dfrac{7\pi}{4}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
若角 α\alpha 满足条件 sin⁡2α<0\sin2\alpha<0，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，则 α\alpha 在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 66 名志愿者中选出 44 人分别从事翻译、导游、导购、保洁 44 项不同工作. 若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A.
280280 种
B.
240240 种
C.
180180 种
D.
9696 种

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB=2，BC=1.5BC=1.5，∠ABC=120∘\angle ABC=120^{\circ}. 若使三角形绕直线 BCBC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A.
32π\dfrac{3}{2}\pi
B.
52π\dfrac{5}{2}\pi
C.
72π\dfrac{7}{2}\pi
D.
92π\dfrac{9}{2}\pi

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
圆 2x2+2y2=12x^{2}+2y^{2}=1 与直线 xsin⁡θ+y−1=0x\sin\theta+y-1=0（θ∈R\theta\in\mathbf{R}，θ≠π2+kπ\theta\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}）的位置关系是（ ）
A.
相交
B.
相切
C.
相离或相切
D.
不能确定

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，如果一个圆的方程 ρ=4cos⁡θ+6sin⁡θ\rho=4\cos\theta+6\sin\theta，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）
A.
ρsin⁡θ=3\rho\sin\theta=3
B.
ρsin⁡θ=−3\rho\sin\theta=-3
C.
ρcos⁡θ=2\rho\cos\theta=2
D.
ρcos⁡θ=−2\rho\cos\theta=-2

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
对于二项式 (1x+x3)n\left(\dfrac1x+x^{3}\right)^{n} 的展开式（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），四位同学作出了四种判断：
① 存在 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中有常数项； ② 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中没有常数项； ③ 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中没有 xx 的一次项； ④ 存在 n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}，展开式中有 xx 的一次项.
上述判断中正确的是（ ）
A.
①与③
B.
②与③
C.
①与④
D.
②与④

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）
A.
1313 项
B.
1212 项
C.
1111 项
D.
1010 项

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
用一张钢板制作一个容积为 4 m34\mathrm{~m}^{3} 的无盖长方体水箱. 可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×\times宽的尺寸如各选项所示，单位均为 m\mathrm{m}），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（ ）
A.
2×52\times5
B.
2×5.52\times5.5
C.
2×6.12\times6.1
D.
3×53\times5

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x24−y2m=1\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{m}=1 的渐近线方程为 y=±32xy=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}x，则双曲线的焦点坐标是______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
如果 cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}，θ∈(π,3π2)\theta\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)，那么 cos⁡(θ+π4)\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right) 的值等于______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
正方形 ABCDABCD 的边长是 22，EE，FF 分别是 ABAB 和 CDCD 的中点，将正方形沿 EFEF 折成直二面角（如图所示）. MM 为矩形 AEFDAEFD 内一点，如果 ∠MBE=∠MBC\angle MBE=\angle MBC，MBMB 和平面 BCFBCF 所成角的正切值为 12\dfrac{1}{2}，那么点 MM 到直线 EFEF 的距离为______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16复数★★☆☆☆
对于任意两个复数 z1=x1+y1iz_{1}=x_{1}+y_{1}\mathrm{i}，z2=x2+y2iz_{2}=x_{2}+y_{2}\mathrm{i}（x1∈Rx_{1}\in\mathbf{R}，y1∈Ry_{1}\in\mathbf{R}，x2∈Rx_{2}\in\mathbf{R}，y2∈Ry_{2}\in\mathbf{R}），定义运算 ⊙\odot 为：z1⊙z2=x1x2+y1y2z_{1}\odot z_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}. 设非零复数 w1w_{1}，w2w_{2} 在复平面内对应的点分别为 P1P_{1}，P2P_{2}，点 OO 为坐标原点. 如果 w1⊙w2=0w_{1}\odot w_{2}=0，那么在 △P1OP2\triangle P_{1}OP_{2} 中，∠P1OP2\angle P_{1}OP_{2} 的大小为______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AA，BB，CC 成等差数列，求 tan⁡A2+tan⁡C2+3tan⁡A2tan⁡C2\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{C}{2}+\sqrt{3}\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{C}{2} 的值.
\begin{solution} 因为 AA，BB，CC 成等差数列，所以 A+C=2BA+C=2B. 又因为 A+B+C=πA+B+C=\pi，所以 3B=π3B=\pi，从而 B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，且 A+C2=π3\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{\pi}{3}. 设 x=tan⁡A2x=\tan\dfrac{A}{2}，y=tan⁡C2y=\tan\dfrac{C}{2}. 由于 A>0A>0，C>0C>0，且 A2+C2=π3<π2\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}，有 tan⁡A+C2=x+y1−xy=3\tan\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{x+y}{1-xy}=\sqrt{3}. 因此 x+y=3(1−xy)x+y=\sqrt{3}(1-xy)，即 x+y+3xy=3x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}. 所以所求值为 3\sqrt{3}. \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是偶函数，而且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，判断 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
\begin{solution} 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. 任取 x1x_{1}，x2∈(−∞,0)x_{2}\in\left(-\infty,0\right)，且 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0，则 −x1>−x2>0-x_{1}>-x_{2}>0. 由 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，得 f(−x1)>f(−x2)f(-x_{1})>f(-x_{2}). 又因为 f(x)f(x) 是偶函数，所以 f(x1)=f(−x1)f(x_{1})=f(-x_{1})，f(x2)=f(−x2)f(x_{2})=f(-x_{2})，从而 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2}). 因此，当 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0 时总有 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2})，故 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，如图，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90∘\angle SAB=\angle SAC=\angle ACB=90^{\circ}，AC=2AC=2，BC=13BC=\sqrt{13}，SB=29SB=\sqrt{29}.
(1) 证明：SC⊥BCSC\perp BC； (2) 求侧面 SBCSBC 与底面 ABCABC 所成的二面角大小； (3) 求异面直线 SCSC 与 ABAB 所成的角的大小（用反三角函数表示）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 ∠SAB=∠SAC=90∘\angle SAB=\angle SAC=90^{\circ}，且直线 ABAB，ACAC 在平面 ABCABC 内相交于 AA，可知 SA⊥平面 ABCSA\perp\text{平面 }ABC. 取直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，C=(2,0,0)C=(2,0,0)，B=(2,13,0)B=(2,\sqrt{13},0)，则由 SB=29SB=\sqrt{29} 得 S=(0,0,h)S=(0,0,h)，且 4+13+h2=294+13+h^{2}=29，所以 h=23h=2\sqrt{3}. 因此 SC→=(2,0,−23)\overrightarrow{SC}=(2,0,-2\sqrt{3})，BC→=(0,−13,0)\overrightarrow{BC}=(0,-\sqrt{13},0)，从而 SC→⋅BC→=0\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BC}=0，故 SC⊥BCSC\perp BC. \item 由第（1）问，直线 SCSC 垂直于棱 BCBC，而直线 ACAC 也垂直于 BCBC，所以侧面 SBCSBC 与底面 ABCABC 所成的二面角等于 ∠ACS\angle ACS. 又 CA→=(−2,0,0)\overrightarrow{CA}=(-2,0,0)，CS→=(−2,0,23)\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3})，故 ∣CA∣=2\lvert CA\rvert=2，∣CS∣=4\lvert CS\rvert=4，且 CA→⋅CS→=4\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CS}=4. 因而 cos⁡∠ACS=42×4=12\cos\angle ACS=\dfrac{4}{2\times4}=\dfrac12，所以二面角大小为 π3\dfrac{\pi}{3}. \item 直线 SCSC 与 ABAB 的方向向量可分别取 CS→=(−2,0,23)\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3}) 和 AB→=(2,13,0)\overrightarrow{AB}=(2,\sqrt{13},0). 两向量的数量积为 −4-4，长度分别为 44 和 17\sqrt{17}. 设异面直线所成的锐角为 φ\varphi，则 cos⁡φ=∣−4∣417=117\cos\varphi=\dfrac{\lvert-4\rvert}{4\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}，所以 φ=arccos⁡117=arctan⁡4\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{17}}=\arctan4. \end{enumerate} \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★☆☆
假设 AA 型进口车关税税率在 2001 年2001\text{ 年}是 100%100\%，在 2006 年2006\text{ 年}是 25%25\%，2001 年2001\text{ 年} AA 型进口车每辆价格为 64 万元64\text{ 万元}（其中含 32 万元32\text{ 万元}关税税款）.
(1) 已知与 AA 型车性能相近的 BB 型国产车，2001 年2001\text{ 年}每辆价格为 46 万元46\text{ 万元}，若 AA 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 2006 年2006\text{ 年} BB 型车的价格不高于 AA 型车价格的 90%90\%，BB 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ (2) 某人在 2001 年2001\text{ 年}将 33 万元33\text{ 万元}存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%1.8\%（5 年5\text{ 年}内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的 BB 型车一辆？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 AA 型车的完税前价格为 pp 万元. 由 2001 年2001\text{ 年}的关税税率为 100%100\%，且关税为 32 万元32\text{ 万元}，得 p=32p=32. 因而 2006 年2006\text{ 年}的 AA 型车价格为 32(1+25%)=4032(1+25\%)=40 万元. 为使 BB 型车价格不高于该价格的 90%90\%，其 2006 年2006\text{ 年}价格至多为 40×90%=3640\times90\%=36 万元. 由 2001 年2001\text{ 年}的 4646 万元降至至多 3636 万元，五年间至少下降 46−36=1046-36=10 万元. 因此平均每年至少下降 102006−2001=2\dfrac{10}{2006-2001}=2 万元. \item 按每年至少下降 22 万元计算，2006 年2006\text{ 年}的 BB 型车价格至多为 3636 万元. 五年后存款本息为 33(1+1.8%)5=33(1.018)5≈36.0833(1+1.8\%)^{5}=33(1.018)^{5}\approx36.08 万元，而 36.08>3636.08>36. 所以五年到期时这笔钱一定够买按上述降价后的 BB 型车一辆. \end{enumerate} \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
已知点的序列 An(xn,0)A_n(x_n,0)，n∈Nn\in\mathbf{N}，其中 x1=0x_1=0，x2=ax_2=a（a<0a<0），A3A_3 是线段 A1A2A_1A_2 的中点，A4A_4 是线段 A2A3A_2A_3 的中点，⋯\cdots，AnA_n 是线段 An−2An−1A_{n-2}A_{n-1} 的中点，⋯\cdots.
(1) 写出 xnx_n 与 xn−1x_{n-1}，xn−2x_{n-2} 之间的关系式（n⩾3n\geqslant3）； (2) 设 an=xn+1−xna_n=x_{n+1}-x_n，计算 a1a_1，a2a_2，a3a_3，由此推测数列 {an}\{a_n\} 的通项公式，并加以证明； (3) 求 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AnA_n 是线段 An−2An−1A_{n-2}A_{n-1} 的中点，所以 xn=xn−2+xn−12x_n=\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}，即 2xn=xn−1+xn−22x_n=x_{n-1}+x_{n-2}（n⩾3n\geqslant3）. \item 由 x1=0x_1=0，x2=ax_2=a，得 x3=x1+x22=a2x_3=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{a}{2}，x4=x2+x32=3a4x_4=\dfrac{x_2+x_3}{2}=\dfrac{3a}{4}. 因而 a1=x2−x1=aa_1=x_2-x_1=a，a2=x3−x2=−a2a_2=x_3-x_2=-\dfrac{a}{2}，a3=x4−x3=a4a_3=x_4-x_3=\dfrac{a}{4}. 对任意 n⩾1n\geqslant1，由递推关系有 an+1=xn+2−xn+1=xn+xn+12−xn+1=−12ana_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{x_n+x_{n+1}}{2}-x_{n+1}=-\dfrac12a_n. 所以 {an}\{a_n\} 是首项为 aa、公比为 −12-\dfrac12 的等比数列，从而 an=a(−12)n−1a_n=a\left(-\dfrac12\right)^{n-1}. \item 由 xn=x1+∑k=1n−1akx_n=x_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k，得 xn=a∑k=0n−2(−12)k=2a3(1−(−12)n−1)x_n=a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}\left(-\dfrac12\right)^k=\dfrac{2a}{3}\left(1-\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\right). 因为 (−12)n−1→0\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\to0，所以 lim⁡n→∞xn=2a3\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac{2a}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知某椭圆的焦点是 F1(−4,0)F_1(-4,0)，F2(4,0)F_2(4,0)，过点 F2F_2，并垂直于 xx 轴的直线与椭圆的一个交点为 BB，且 ∣F1B∣+∣F2B∣=10\lvert F_1B\rvert+\lvert F_2B\rvert=10. 椭圆上不同的两点 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，C(x2,y2)C(x_2,y_2) 满足条件：∣F2A∣\lvert F_2A\rvert，∣F2B∣\lvert F_2B\rvert，∣F2C∣\lvert F_2C\rvert 成等差数列.
(1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦 ACAC 中点的横坐标； (3) 设弦 ACAC 的垂直平分线的方程为 y=kx+my=kx+m，求 mm 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的长半轴为 a0a_{0}，短半轴为 b0b_{0}，半焦距为 c0c_{0}. 由焦点坐标得 c0=4c_{0}=4. 又因为 BB 在椭圆上，故 ∣F1B∣+∣F2B∣=2a0=10\lvert F_{1}B\rvert+\lvert F_{2}B\rvert=2a_{0}=10，从而 a0=5a_{0}=5，且 b02=a02−c02=25−16=9b_{0}^{2}=a_{0}^{2}-c_{0}^{2}=25-16=9. 所以椭圆方程为 x225+y29=1\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1. \item 对椭圆上任意点 P(x,y)P(x,y)，记 r1=∣F1P∣r_{1}=\lvert F_{1}P\rvert，r2=∣F2P∣r_{2}=\lvert F_{2}P\rvert. 由椭圆定义，r1+r2=10r_{1}+r_{2}=10，又 r12−r22=(x+4)2+y2−((x−4)2+y2)=16xr_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}-\bigl((x-4)^{2}+y^{2}\bigr)=16x，所以 r1−r2=85xr_{1}-r_{2}=\dfrac{8}{5}x，从而 ∣F2P∣=r2=5−45x\lvert F_{2}P\rvert=r_{2}=5-\dfrac45x. 由第（1）问，点 BB 的横坐标为 44，故 ∣F2B∣=5−45×4=95\lvert F_{2}B\rvert=5-\dfrac45\times4=\dfrac95. 设 MM 为弦 ACAC 的中点. 由三项成等差数列，∣F2A∣+∣F2C∣=2∣F2B∣=185\lvert F_{2}A\rvert+\lvert F_{2}C\rvert=2\lvert F_{2}B\rvert=\dfrac{18}{5}. 若 M=(xM,yM)M=(x_{M},y_{M})，则 xM=xA+xC2=12[54(5−∣F2A∣)+54(5−∣F2C∣)]=4x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac54\left(5-\lvert F_{2}A\rvert\right)+\dfrac54\left(5-\lvert F_{2}C\rvert\right)\right]=4. 所以弦 ACAC 中点的横坐标为 44. \item 记弦 ACAC 的中点为 M=(4,yM)M=(4,y_{M})，并设 A=(xA,yA)A=(x_{A},y_{A})，C=(xC,yC)C=(x_{C},y_{C}). 由两点在椭圆上，作差得 xA2−xC225+yA2−yC29=0\dfrac{x_{A}^{2}-x_{C}^{2}}{25}+\dfrac{y_{A}^{2}-y_{C}^{2}}{9}=0. 又 xA+xC=8x_{A}+x_{C}=8，yA+yC=2yMy_{A}+y_{C}=2y_{M}，所以弦的方向向量 (xA−xC,yA−yC)(x_{A}-x_{C},y_{A}-y_{C}) 满足 825(xA−xC)+2yM9(yA−yC)=0\dfrac{8}{25}(x_{A}-x_{C})+\dfrac{2y_{M}}{9}(y_{A}-y_{C})=0. 因而向量 (825,2yM9)\left(\dfrac{8}{25},\dfrac{2y_{M}}{9}\right) 是弦的一个法向量，弦的垂直平分线斜率为 k=(2yM9)(825)=25yM36k=\dfrac{(2\frac{y_{M}}{9})}{(\frac{8}{25})}=\dfrac{25y_{M}}{36}，这个推导也包含 yM=0y_{M}=0 的情形. 该直线经过 MM，故 m=yM−4k=−169yMm=y_{M}-4k=-\dfrac{16}{9}y_{M}.
又因为 MM 是椭圆内一个非边界点，且 xM=4x_{M}=4，所以 1625+yM29<1\dfrac{16}{25}+\dfrac{y_{M}^{2}}{9}<1，即 −95<yM<95-\dfrac95<y_{M}<\dfrac95. 反之，直线 x=4x=4 上任意满足此不等式的点均在椭圆内部，均可作为某条非退化弦的中点，故取值范围没有遗漏. 由 m=−169yMm=-\dfrac{16}{9}y_{M}，得 −165<m<165-\dfrac{16}{5}<m<\dfrac{16}{5}. \end{enumerate} \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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