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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
对任意实数 aa，bb，cc 在下列命题中，真命题是（ ）
\begin{solution} 因为 ac>bcac>bc 等价于 c(a−b)>0c(a-b)>0，当 a>ba>b 且 c=0c=0 时，ac=bcac=bc，所以“ac>bcac>bc”不是“a>ba>b”的必要条件；当 c<0c<0 时，ac>bcac>bc 反而推出 a<ba<b，所以它也不是“a>ba>b”的充分条件.
若 a=ba=b，则无论 cc 取何值都有 ac=bcac=bc，所以“ac=bcac=bc”是“a=ba=b”的必要条件. 反过来取 c=0c=0 且 a≠ba\ne b，仍有 ac=bcac=bc，故它不是充分条件. 因此正确命题是“ac=bcac=bc”是“a=ba=b”的必要条件，与答案一致. \end{solution}
A.
“ac>bcac > bc”是“a>ba > b”的必要条件
B.
“ac=bcac = bc”是“a=ba = b”的必要条件
C.
“ac>bcac > bc”是“a>ba > b”的充分条件
D.
“ac=bcac = bc”是“a=ba = b”的充分条件

2004 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设 PP 是双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−2y=03x - 2y = 0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线的左，右焦点，若 ∣PF1∣=3|PF_1| = 3，则 ∣PF2∣=|PF_2| =（ ）
\begin{solution} 双曲线的标准形式中，半实轴为 aa，半虚轴为 bb，渐近线为 y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x. 题中分母 y2y^2 的系数给出 b=3b=3，而渐近线 3x−2y=03x-2y=0 即 y=32xy=\dfrac32x，所以 ba=32\dfrac{b}{a}=\dfrac32，得 a=2a=2.
对双曲线上任一点 PP，有 ∣PF1−PF2∣=2a=4\left|PF_1-PF_2\right|=2a=4. 已知 PF1=3PF_1=3，故 ∣3−PF2∣=4\left|3-PF_2\right|=4. 距离必须为正，因此只能取 PF2=7PF_2=7，故选 C. \end{solution}
A.
11 或 55
B.
66
C.
77
D.
99

2004 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=3x2−1y = 3^{x^2 - 1}（−1⩽x<0-1 \leqslant x < 0）的反函数是（ ）
\begin{solution} 由 −1⩽x<0-1\leqslant x<0，可知 0<x2⩽10<x^2\leqslant1，所以 −1<x2−1⩽0-1<x^2-1\leqslant0，从而函数值满足 13<y⩽1\dfrac13<y\leqslant1. 由 y=3x2−1y=3^{x^2-1} 得 log⁡3y=x2−1\log_3y=x^2-1，即 x2=1+log⁡3yx^2=1+\log_3y. 原函数的定义域在负半轴上，故反函数应取负平方根： y=−1+log⁡3xy=-\sqrt{1+\log_3x}，且 13<x⩽1\dfrac13<x\leqslant1. 故选 D. \end{solution}
A.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_{3} x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
B.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_{3} x}（x⩾13x \geqslant \frac{1}{3}）
C.
y=1+log⁡3xy = \sqrt{1 + \log_{3} x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）
D.
y=−1+log⁡3xy = -\sqrt{1 + \log_{3} x}（13<x⩽1\frac{1}{3} < x \leqslant 1）

2004 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡(π6−2x)y = 2\sin \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)（x∈[0,π]x \in [0, \pi]）为增函数的区间是（ ）
\begin{solution} 求导得 y′=−4cos⁡(π6−2x)y'=-4\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right). 函数递增时需满足 cos⁡(π6−2x)<0\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right)<0. 在 x∈[0,π]x\in[0,\pi] 内解得 π3<x<5π6\dfrac\pi3<x<\dfrac{5\pi}{6}. 在两个端点处导数为零，且导数在区间内部为正，所以函数在 [π3,5π6]\left[\dfrac\pi3,\dfrac{5\pi}{6}\right] 上为增函数，故选 C. \end{solution}
A.
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
B.
[π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right]
C.
[π3,5π6]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]
D.
[5π6,π]\left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]

2004 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 既是偶函数又是周期函数，若 f(x)f(x) 的最小正周期是 π\pi，且当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，则 f(5π3)f\left(\frac{5\pi}{3}\right) 的值为（ ）
\begin{solution} 由周期为 π\pi，得 f(5π3)=f(2π3)f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right). 又因为 ff 是偶函数， f(2π3)=f(−2π3)=f(π3)f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)，其中最后一次等号利用了周期 π\pi. 由于 π3∈[0,π2]\dfrac\pi3\in\left[0,\dfrac\pi2\right]，所以 f(5π3)=f(π3)=sin⁡π3=32f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)=\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}. 故选 D. \end{solution}
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2004 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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15解析几何★★☆☆☆
如果过两点 A(a,0)A(a,0) 和 B(0,a)B(0,a) 的直线与抛物线 y=x2−2x−3y = x^{2} - 2x - 3 没有交点，那么实数 aa 的取值范围是______.
\begin{solution} 过 A(a,0)A(a,0)，B(0,a)B(0,a) 的直线方程为 x+y=ax+y=a，即 y=a−xy=a-x. 将它与抛物线方程联立，得 a−x=x2−2x−3a-x=x^2-2x-3，整理为 x2−x−a−3=0x^2-x-a-3=0. 直线与抛物线没有交点，等价于这个关于 xx 的方程没有实根，因此判别式满足 Δ=(−1)2−4(−a−3)=4a+13<0\Delta=(-1)^2-4(-a-3)=4a+13<0. 所以 a<−134a< -\dfrac{13}{4}，即 a∈(−∞,−134)a\in\left(-\infty,-\dfrac{13}{4}\right). \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 00，11，22，33，44，55 中任取 33 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 55 整除的三位数共有______ 个.（用数字作答）
\begin{solution} 能被 55 整除的三位数个位必须是 00 或 55.
当个位为 00 时，百位从 11，22，33，44，55 中选取，有 55 种；十位从剩下的 44 个数字中选取，有 44 种，共有 5⋅4=205\cdot4=20 个.
当个位为 55 时，百位不能为 00 或 55，有 44 种；十位从剩下的 44 个数字中选取，共有 4⋅4=164\cdot4=16 个. 因此共有 20+16=3620+16=36 个. \end{solution}

2004 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛.
(1) 求所选 33 人都是男生的概率； (2) 求所选 33 人中恰有 11 名女生的概率； (3) 求所选 33 人中至少有 11 名女生的概率.

2004 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是一个公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列，它的前 1010 项和 S10=110S_{10} = 110 且 a1a_{1}，a2a_{2}，a4a_{4} 成等比数列.
(1) 证明 a1=da_1 = d； (2) 求公差 dd 的值和数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2004 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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