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03概率与统计★★☆☆☆
在一组样本数据 (x1,y1)(x_{1}, y_{1})，(x2,y2)(x_{2}, y_{2})，⋯\cdots，(xn,yn)(x_{n}, y_{n})（n⩾2n \geqslant 2，x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 不全相等）的散点图中，若所有样本点 (xi,yi)(x_{i}, y_{i})（i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn）都在直线 y=12x+1y = \frac{1}{2}x + 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 记样本相关系数为 rr，由 yi=12xi+1y_i=\frac12x_i+1 及 y‾=12x‾+1\overline{y}=\frac12\overline{x}+1，有 yi−y‾=12(xi−x‾)y_i-\overline{y}=\frac12(x_i-\overline{x}). 由于 x1x_1，x2x_2，…\ldots，xnx_n 不全相等，∑i=1n(xi−x‾)2>0\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2>0，从而
r=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2=12∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(xi−x‾)2⋅14∑i=1n(xi−x‾)2=1r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\frac12\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\cdot\frac14\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}}=1
故应选 D. \end{solution}
A.
−1-1
B.
00
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行下面的程序框图，输入正整数 NN（N⩾2N \geqslant 2）和实数 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aNa_{N}，输出 AA，BB，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 初始化时 A=B=a1A=B=a_1. 每次循环令 x=akx=a_k：若 x>Ax>A，就把 AA 更新为 xx，所以循环后 AA 是已经读入数据中的最大值；若 x<Bx<B，就把 BB 更新为 xx，所以循环后 BB 是已经读入数据中的最小值. 循环读完 a1a_1，a2a_2，…\ldots，aNa_N 后，AA 和 BB 分别为这些数中的最大值和最小值，应选 C. \end{solution}
A.
A+BA+B 为 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N 的和
B.
A+B2\frac{A+B}{2} 为 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N 的算术平均数
C.
AA 和 BB 分别是 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N 中最大的数和最小的数
D.
AA 和 BB 分别是 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N 中最小的数和最大的数

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，网格上小正方形的边长为 11，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体为三棱锥，俯视图为底面. 底面是斜边长为 66、高为 33 的等腰直角三角形，面积为 12×6×3=9\frac12\times6\times3=9；由另一视图可知三棱锥的高为 33. 因此体积为 13×9×3=9\frac13\times9\times3=9，应选 B. \end{solution}
A.
66
B.
99
C.
1212
D.
1818

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08立体几何初步★★☆☆☆
平面 α\alpha 截球 OO 的球面所得圆的半径为 11，球心 OO 到平面 α\alpha 的距离为 2\sqrt{2}，则此球的体积为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设球的半径为 RR. 球心、截面圆心和截面圆上一点构成直角三角形，所以 R2=12+(2)2=3R^2=1^2+(\sqrt2)^2=3，即 R=3R=\sqrt3. 故球的体积为 43πR3=43π(3)3=43π\frac43\pi R^3=\frac43\pi(\sqrt3)^3=4\sqrt3\pi，应选 B. \end{solution}
A.
6π\sqrt{6}\pi
B.
43π4\sqrt{3}\pi
C.
46π4\sqrt{6}\pi
D.
63π6\sqrt{3}\pi

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09三角函数★★☆☆☆
已知 ω>0\omega > 0，0<φ<π0 < \varphi < \pi，直线 x=π4x = \frac{\pi}{4} 和 x=5π4x = \frac{5\pi}{4} 是函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi) 图象的两条相邻的对称轴，则 φ=\varphi =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 相邻对称轴之间的距离等于半个周期，因此 πω=5π4−π4=π\frac{\pi}{\omega}=\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\pi，得 ω=1\omega=1. 对正弦函数而言，对称轴满足 x+φ=π2+kπx+\varphi=\frac\pi2+k\pi. 由 0<φ<π0<\varphi<\pi 及 x=π4x=\frac\pi4，只有 π4+φ=π2\frac\pi4+\varphi=\frac\pi2 可能，故 φ=π4\varphi=\frac\pi4，应选 A. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
3π4\frac{3\pi}{4}

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=x(3ln⁡x+1)y = x(3\ln x + 1) 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程为______.
\begin{answer} y=4x−3y = 4x - 3 \end{answer}
\begin{solution} 由 y=x(3ln⁡x+1)y=x(3\ln x+1) 得 y′=3ln⁡x+4y'=3\ln x+4，所以在 x=1x=1 处的切线斜率为 44. 利用点斜式，切线方程为 y−1=4(x−1)y-1=4(x-1)，即 y=4x−3y=4x-3. \end{solution}

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14数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S3+3S2=0S_{3} + 3S_{2} = 0，则公比 q=q =______.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 设首项为 a1a_1，公比为 qq. 由 S3=a1(1+q+q2)S_3=a_1(1+q+q^2)、S2=a1(1+q)S_2=a_1(1+q)，且等比数列首项非零，得 0=S3+3S2=a1(1+q+q2+3+3q)=a1(q+2)20=S_3+3S_2=a_1(1+q+q^2+3+3q)=a_1(q+2)^2. 因此 q=−2q=-2. \end{solution}

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15平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 夹角为 45∘45^{\circ}，且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣2a−b∣=10|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{10}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}| =______.
\begin{answer} 323\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 ∣b∣=t|\boldsymbol{b}|=t. 由夹角为 45∘45^{\circ}，得 a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡45∘=t2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\cos45^{\circ}=\frac{t}{\sqrt2}. 于是 10=∣2a−b∣2=4∣a∣2−4a⋅b+∣b∣2=4−22t+t210=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=4|\boldsymbol{a}|^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2=4-2\sqrt2t+t^2. 即 t2−22t−6=0t^2-2\sqrt2t-6=0，解得 t=32t=3\sqrt2 或 t=−2t=-\sqrt2. 因为 t>0t>0，所以 ∣b∣=32|\boldsymbol{b}|=3\sqrt2. \end{solution}

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