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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 lg⁡(2x+1)+lg⁡x=1\lg(2x+1)+\lg x=1 的解集为______.
\begin{answer} {2}\{2\} \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 x>0x>0，此时 2x+1>02x+1>0. 由对数运算法则，原方程等价于 lg⁡(x(2x+1))=1\lg\bigl(x(2x+1)\bigr)=1，所以 2x2+x=102x^2+x=10，即 2x2+x−10=02x^2+x-10=0. 因式分解得 (2x+5)(x−2)=0(2x+5)(x-2)=0，故 x=−52x=-\frac52 或 x=2x=2. 由定义域舍去 −52-\frac52，解集为 {2}\{2\}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+1x2)9\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{9} 的二项展开式中，常数项的值为______.
\begin{answer} 8484 \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 C9kx9−k(x−2)k=C9kx9−3k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(x^{-2}\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-3k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 要得到常数项，必须有 9−3k=09-3k=0，所以 k=3k=3. 因此常数项的值为 C93=84\mathrm C_9^3=84. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为______（结果用数值表示）.
\begin{answer} 题面缺少所用数字集合，答案无法唯一确定. \end{answer}
\begin{solution} 原 PDF 题干只写“用数字组成”，没有给出所用数字的集合，因此答案不能由题面唯一确定. 例如，若所用数字为 11，22，33，则个位有 22 种奇数可选，百位、十位依次有 22、11 种选择，奇数共有 2×2×1=42\times2\times1=4 个；若所用数字为 00，11，…\ldots，99，则三位数为奇数当且仅当个位为奇数，个位有 55 种选择，百位不能为 00 且不能与个位重复，有 88 种选择，十位有 88 种选择，奇数共有 5×8×8=3205\times8\times8=320 个. 所以在不补充所用数字集合前，本题没有唯一确定的数值答案. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，是奇函数且在 (0,+∞)(0,+\infty)上单调递增的为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=x2y=x^2 不是奇函数；函数 y=x−1y=x^{-1} 虽为奇函数，但在正半轴上单调递减；函数 y=x−12y=x^{-\frac12} 的定义域不是关于原点对称，且在正半轴上递减. 函数 y=x13y=x^{\frac13} 满足 (−x)13=−x13(-x)^{\frac13}=-x^{\frac13}，是奇函数，并且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增. 故选 B. \end{solution}
A.
y=x2y = x^{2}
B.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}
C.
y=x−1y = x^{-1}
D.
y=x−12y = x^{-\frac{1}{2}}

2015 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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22不等式★★☆☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，若 a+b=4a + b = 4，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b=4a+b=4，有 a2+b2≥(a+b)22=8a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=8，且当 a=b=2a=b=2 时取等号，所以选项 A 正确. 另一方面，ab\sqrt{ab} 在 a=ba=b 时取得最大值；1a+1b=4ab\frac1a+\frac1b=\frac4{ab} 在 a=ba=b 时取得最小值而无最大值；由 a+b≤22\sqrt a+\sqrt b\leq2\sqrt2，得 1a+b≥122\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\geq\frac{1}{2\sqrt2}，其在 a=b=2a=b=2 时取得最小值，且上确界 12\frac12 不取到，因而没有最大值. 故选 A. \end{solution}
A.
a2+b2a^2 + b^2有最小值
B.
ab\sqrt{ab}有最小值
C.
1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b}有最大值
D.
1a+b\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}有最大值

2015 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 选择题

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23计数原理与组合数学★★☆☆☆
组合数 Cnm+2Cnm−1+Cnm−2\mathrm C_n^m + 2\mathrm C_n^{m-1} + \mathrm C_n^{m-2}（n≥m≥2n \geq m \geq 2，mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）恒等于（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 利用组合数递推公式，Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_n^m+\mathrm C_n^{m-1}=\mathrm C_{n+1}^m，且 Cnm−1+Cnm−2=Cn+1m−1\mathrm C_n^{m-1}+\mathrm C_n^{m-2}=\mathrm C_{n+1}^{m-1}. 因而原式等于 Cn+1m+Cn+1m−1=Cn+2m\mathrm C_{n+1}^m+\mathrm C_{n+1}^{m-1}=\mathrm C_{n+2}^m. 故选 A. \end{solution}
A.
Cn+2m\mathrm C_{n+2}^{m}
B.
Cn+2m+1\mathrm C_{n+2}^{m+1}
C.
Cn+1m\mathrm C_{n+1}^{m}
D.
Cn+1m+1\mathrm C_{n+1}^{m+1}

2015 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 选择题

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25立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱中 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}， AB=1AB=1， D1BD_{1}B 和平面 ABCDABCD 所成的角的大小为 arctan⁡324\arctan\frac{3\sqrt{2}}{4}，求该四棱柱的表面积.
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 hh. 线段 D1BD_1B 在底面 ABCDABCD 上的射影为底面对角线 DBDB，所以 DB=2DB=\sqrt2. 设 D1BD_1B 与底面所成的角为 θ\theta，则 tan⁡θ=hDB=h2\tan\theta=\frac{h}{DB}=\frac{h}{\sqrt2}. 由题意 tan⁡θ=324\tan\theta=\frac{3\sqrt2}{4}，故 h=2⋅324=32h=\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{4}=\frac32.
正四棱柱的表面积为两个底面积与四个侧面积之和，因此 S=2⋅12+4⋅1⋅32=8S=2\cdot1^2+4\cdot1\cdot\frac32=8. 所以该四棱柱的表面积为 88. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 25 题 · 解答题

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26函数与初等函数★★☆☆☆
已知 aa 为实数，函数 f(x)=x2+ax+4xf(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x} 是奇函数，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的最小值及取到最小值时所对应的 xx 的值.
\begin{solution} 函数定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(x)=x+a+4xf(x)=x+a+\frac4x. 由奇函数条件，对任意 x≠0x\neq0，有 f(−x)=−x+a−4xf(-x)=-x+a-\frac4x，而 −f(x)=−x−a−4x-f(x)=-x-a-\frac4x. 比较两式，得 a=−aa=-a，所以 a=0a=0. 因而在正半轴上 f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x.
当 x>0x>0 时，由基本不等式，x+4x≥2x⋅4x=4x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4，等号成立的条件是 x=4xx=\frac4x，即 x=2x=2. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 44，此时 x=2x=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

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30集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于集合 AA， BB， “A≠BA \neq B”是“A∩B⊊A∪BA \cap B \subsetneq A \cup B”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 总有 A∩B⊆A∪BA\cap B\subseteq A\cup B. 当且仅当存在元素属于 A∪BA\cup B 而不属于 A∩BA\cap B 时，这个包含关系为真包含；这等价于存在元素只属于 AA 或只属于 BB，也就等价于 A≠BA\neq B. 因此两个条件互为充要条件，选 C. \end{solution}
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 春季 · 第 30 题 · 选择题

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35函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段 ABOCDABOCD，不含 A(0,1)A(0,1)， B(1,1)B(1,1)， O(0,0)O(0,0)， C(−1,−1)C(-1,-1)， D(0,−1)D(0,-1) 五个点，若 f(x)f(x) 的图像关于原点对称的图形即为 g(x)g(x) 的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.
\begin{answer}
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
\end{answer}
\begin{solution} 取 ff 的图像为线段 OCOC 与 ABAB 去掉端点后的部分. 线段 OCOC 的两个端点为 (0,0)(0,0)、(−1,−1)(-1,-1)，故其方程为 y=xy=x，对应定义域为 −1<x<0-1<x<0；线段 ABAB 的方程为 y=1y=1，对应定义域为 0<x<10<x<1. 因此可取
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
其图像关于原点对称后为线段 BOBO 与 CDCD 去掉端点后的部分，和原图像恰好拼成折线段 ABOCDABOCD（不含题中五个点），所以该函数符合条件. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 35 题 · 填空题

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