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02函数与初等函数★★☆☆☆
根据下列算法语句，当输入 xx 为 6060 时，输出 yy 的值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 输入 x=60>50x=60>50，程序执行 Else 分支，因此 y=25+0.6×(60−50)=25+6=31y=25+0.6\times(60-50)=25+6=31，故选 C. \end{solution}
A.
2525
B.
3030
C.
3131
D.
6161

2013 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为向量，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| 是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 若 a\boldsymbol{a} 或 b\boldsymbol{b} 是零向量，则两向量平行，且等式两边都为 00. 若两向量都不是零向量，设它们的夹角为 θ\theta，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣∣cos⁡θ∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\cos\theta\right|，所以题设等式成立当且仅当 ∣cos⁡θ∣=1\left|\cos\theta\right|=1，即 θ=0\theta=0 或 π\pi，这也等价于 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}. 因而二者互为充分必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
某单位有 840840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 4242 人做问卷调查，将 840840 人按 11，22，⋯\cdots，840840 随机编号，则抽取的 4242 人中，编号落入区间 [481,720][481,720] 的人数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 系统抽样的间隔为 840÷42=20840\div42=20. 设随机确定的第一个样本编号为 rr，其中 1⩽r⩽201\leqslant r\leqslant20，则每个样本组抽取的编号为 r+20(k−1)r+20(k-1)，其中 k=1k=1，22，…\ldots，4242. 区间 [481,720][481,720] 恰好由 [481,500][481,500]，[501,520][501,520]，…\ldots，[701,720][701,720] 这 1212 个连续的长度为 2020 的编号组组成，每组恰抽取 1 人，所以人数为 1212，故选 B. \end{solution}
A.
1111
B.
1212
C.
1313
D.
1414

2013 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
如图，在矩形区域 ABCDABCD 的 AA，CC 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADEADE 和扇形区域 CBFCBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由图可知矩形的长、宽分别为 22，11，所以面积为 22. 两个信号覆盖区域均为半径 11 的四分之一圆，且除边界外不重叠，覆盖总面积为 2×π4=π22\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. 因此无信号区域的面积为 2−π22-\dfrac{\pi}{2}，所求概率为 2−π22=1−π4\dfrac{2-\frac{\pi}{2}}{2}=1-\dfrac{\pi}{4}，故选 A. \end{solution}
A.
1−π41-\dfrac{\pi}{4}
B.
π2−1\dfrac{\pi}{2}-1
C.
2−π22-\dfrac{\pi}{2}
D.
π4\dfrac{\pi}{4}

2013 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06复数★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2z_{2} 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 中，∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0 得 z1=z2z_1=z_2，共轭后仍有 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}. 选项 B 两边取共轭即可得到结论；选项 C 中 zizi‾=∣zi∣2z_i\overline{z_i}=\left|z_i\right|^2，所以结论成立. 对选项 D，取 z1=1z_1=1，z2=iz_2=\mathrm{i}，则 ∣z1∣=∣z2∣=1\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1，但 z12=1z_1^2=1，z22=−1z_2^2=-1，结论不成立，故选 D. \end{solution}
A.
若 ∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0，则 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}
B.
若 z1=z2‾z_1=\overline{z_2}，则 z1‾=z2\overline{z_1}=z_2
C.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z1⋅z1‾=z2⋅z2‾z_1\cdot\overline{z_1}=z_2\cdot\overline{z_2}
D.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z12=z22z_1^2=z_2^2

2013 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则 △ABC\triangle ABC 的形状为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，bcos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}，ccos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}. 两式相加得 bcos⁡C+ccos⁡B=ab\cos C+c\cos B=a. 代入题设并注意 a>0a>0，得 a=asin⁡Aa=a\sin A，即 sin⁡A=1\sin A=1. 因为 0<A<π0<A<\pi，所以 A=π2A=\dfrac{\pi}{2}，三角形为直角三角形，故选 B. \end{solution}
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不确定

2013 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则其体积为______.
\begin{answer} π3\dfrac{\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是底面半径为 11 的半个圆锥，圆锥的高为 22. 因而其体积为 12×13π×12×2=π3\dfrac12\times\dfrac13\pi\times1^2\times2=\dfrac\pi3，故填 π3\dfrac\pi3. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
若点 (x,y)(x,y) 位于曲线 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 与 y=2y=2 所围成的封闭区域，则 2x−y2x-y 的最小值为______.
\begin{answer} −4-4 \end{answer}
\begin{solution} 封闭区域是由 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 和 y=2y=2 围成的三角形，其三个顶点为 (−1,2)(-1,2)，(1,0)(1,0)，(3,2)(3,2). 线性函数 2x−y2x-y 在该三角形上的最小值出现在顶点处，分别为 −4-4，22，44，所以最小值为 −4-4，故填 −4-4. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
观察下列等式：12=11^2=1；12−22=−31^2-2^2=-3；12−22+32=61^2-2^2+3^2=6；12−22+32−42=−101^2-2^2+3^2-4^2=-10. 照此规律，第 nn 个等式可为______.
\begin{answer} 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2} \end{answer}
\begin{solution} 记左端前 nn 项的和为 Sn=∑k=1n(−1)k−1k2S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^2. 当 n=1n=1 时，S1=1=(−1)01⋅22S_1=1=(-1)^0\dfrac{1\cdot2}{2}. 假设 Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2}，则 Sn+1=Sn+(−1)n(n+1)2=(−1)n[−n(n+1)2+(n+1)2]=(−1)n(n+1)(n+2)2S_{n+1}=S_n+(-1)^n(n+1)^2=(-1)^n\left[-\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)^2\right]=(-1)^n\dfrac{(n+1)(n+2)}2. 由数学归纳法，Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2，故所填等式为 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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