数迹
题目列表试卷列表
共找到 23 题
排序：
组题
本页 23 题去组卷
01函数与初等函数★☆☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，函数 f(x)=1−x2f(x) = \sqrt{1 - x^2} 的定义域为 MM，则 ∁RM\complement_{\mathbf{R}} M 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 根式有意义的条件是 1−x2⩾01-x^2\geqslant0，即 −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1，所以 M=[−1,1]M=\left[-1,1\right]. 因此 ∁RM=(−∞,−1)∪(1,+∞)\complement_{\mathbf{R}}M=\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)，故选 D. \end{solution}
A.
[−1,1]\left[-1, 1\right]
B.
(−1,1)\left(-1, 1\right)
C.
(−∞,−1]∪[1,+∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, +\infty\right)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)\left(-\infty, -1\right) \cup \left(1, +\infty\right)

2013 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

查看答案和解析
02函数与初等函数★★☆☆☆
根据下列算法语句，当输入 xx 为 6060 时，输出 yy 的值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 输入 x=60>50x=60>50，程序执行 Else 分支，因此 y=25+0.6×(60−50)=25+6=31y=25+0.6\times(60-50)=25+6=31，故选 C. \end{solution}
A.
2525
B.
3030
C.
3131
D.
6161

2013 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

查看答案和解析
03平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为向量，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| 是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 若 a\boldsymbol{a} 或 b\boldsymbol{b} 是零向量，则两向量平行，且等式两边都为 00. 若两向量都不是零向量，设它们的夹角为 θ\theta，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣∣cos⁡θ∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\cos\theta\right|，所以题设等式成立当且仅当 ∣cos⁡θ∣=1\left|\cos\theta\right|=1，即 θ=0\theta=0 或 π\pi，这也等价于 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}. 因而二者互为充分必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

查看答案和解析
04概率与统计★★☆☆☆
某单位有 840840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 4242 人做问卷调查，将 840840 人按 11，22，⋯\cdots，840840 随机编号，则抽取的 4242 人中，编号落入区间 [481,720][481,720] 的人数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 系统抽样的间隔为 840÷42=20840\div42=20. 设随机确定的第一个样本编号为 rr，其中 1⩽r⩽201\leqslant r\leqslant20，则每个样本组抽取的编号为 r+20(k−1)r+20(k-1)，其中 k=1k=1，22，…\ldots，4242. 区间 [481,720][481,720] 恰好由 [481,500][481,500]，[501,520][501,520]，…\ldots，[701,720][701,720] 这 1212 个连续的长度为 2020 的编号组组成，每组恰抽取 1 人，所以人数为 1212，故选 B. \end{solution}
A.
1111
B.
1212
C.
1313
D.
1414

2013 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
05概率与统计★★☆☆☆
如图，在矩形区域 ABCDABCD 的 AA，CC 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADEADE 和扇形区域 CBFCBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由图可知矩形的长、宽分别为 22，11，所以面积为 22. 两个信号覆盖区域均为半径 11 的四分之一圆，且除边界外不重叠，覆盖总面积为 2×π4=π22\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. 因此无信号区域的面积为 2−π22-\dfrac{\pi}{2}，所求概率为 2−π22=1−π4\dfrac{2-\frac{\pi}{2}}{2}=1-\dfrac{\pi}{4}，故选 A. \end{solution}
A.
1−π41-\dfrac{\pi}{4}
B.
π2−1\dfrac{\pi}{2}-1
C.
2−π22-\dfrac{\pi}{2}
D.
π4\dfrac{\pi}{4}

2013 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
06复数★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2z_{2} 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 中，∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0 得 z1=z2z_1=z_2，共轭后仍有 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}. 选项 B 两边取共轭即可得到结论；选项 C 中 zizi‾=∣zi∣2z_i\overline{z_i}=\left|z_i\right|^2，所以结论成立. 对选项 D，取 z1=1z_1=1，z2=iz_2=\mathrm{i}，则 ∣z1∣=∣z2∣=1\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1，但 z12=1z_1^2=1，z22=−1z_2^2=-1，结论不成立，故选 D. \end{solution}
A.
若 ∣z1−z2∣=0\left|z_1-z_2\right|=0，则 z1‾=z2‾\overline{z_1}=\overline{z_2}
B.
若 z1=z2‾z_1=\overline{z_2}，则 z1‾=z2\overline{z_1}=z_2
C.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z1⋅z1‾=z2⋅z2‾z_1\cdot\overline{z_1}=z_2\cdot\overline{z_2}
D.
若 ∣z1∣=∣z2∣\left|z_1\right|=\left|z_2\right|，则 z12=z22z_1^2=z_2^2

2013 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
07三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则 △ABC\triangle ABC 的形状为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，bcos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}，ccos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}. 两式相加得 bcos⁡C+ccos⁡B=ab\cos C+c\cos B=a. 代入题设并注意 a>0a>0，得 a=asin⁡Aa=a\sin A，即 sin⁡A=1\sin A=1. 因为 0<A<π0<A<\pi，所以 A=π2A=\dfrac{\pi}{2}，三角形为直角三角形，故选 B. \end{solution}
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不确定

2013 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={(x−1x)6,x<0,−x,x⩾0,f(x)=\begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^6, & x<0,\\ -\sqrt{x}, & x\geqslant0, \end{cases}
则当 x>0x>0 时，f[f(x)]f[f(x)] 表达式的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x>0x>0 时，f(x)=−x<0f(x)=-\sqrt{x}<0，因此应使用函数的第一段：f[f(x)]=(−x−1−x)6=(1x−x)6=x−3(1−x)6f[f(x)]=\left(-\sqrt{x}-\dfrac{1}{-\sqrt{x}}\right)^6=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)^6=x^{-3}(1-x)^6. 展开得 x−3∑k=06(−1)kC6kxkx^{-3}\sum_{k=0}^{6}(-1)^k\mathrm C_6^k x^k. 常数项对应 k=3k=3，其系数为 (−1)3C63=−20(-1)^3\mathrm C_6^3=-20，故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
2020
C.
−15-15
D.
1515

2013 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
09不等式★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2300 \mathrm{~m}^{2} 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx（单位 m\mathrm{m}）的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设矩形的另一边长为 yy. 三角形的底边和高均为 4040，由相似三角形可得矩形上边所在的水平截面长为 40−y40-y，所以 x=40−yx=40-y，即 y=40−xy=40-x. 矩形面积不小于 300300 给出 x(40−x)⩾300x(40-x)\geqslant300，整理得 x2−40x+300⩽0x^2-40x+300\leqslant0，即 (x−10)(x−30)⩽0(x-10)(x-30)\leqslant0. 因而 10⩽x⩽3010\leqslant x\leqslant30，故选 C. \end{solution}
A.
[15,20]\left[15,20\right]
B.
[12,25]\left[12,25\right]
C.
[10,30]\left[10,30\right]
D.
[20,30]\left[20,30\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
10函数与初等函数★★★★☆
设 [x][x] 表示不大于 xx 的最大整数，则对任意实数 xx，yy，有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 取 x=12x=\dfrac12，有 [−x]=−1≠0=−[x]\left[-x\right]=-1\neq0=-\left[x\right]. 选项 B 取 x=12x=\dfrac12，有 [2x]=1≠0=2[x]\left[2x\right]=1\neq0=2\left[x\right]. 选项 C 取 x=y=12x=y=\dfrac12，有 [x+y]=1>0=[x]+[y]\left[x+y\right]=1>0=\left[x\right]+\left[y\right]. 对选项 D，设 [x]=m\left[x\right]=m，[y]=n\left[y\right]=n，则可写成 x=m+αx=m+\alpha，y=n+βy=n+\beta，其中 0⩽α0\leqslant\alpha，β<1\beta<1. 于是 [x−y]=m−n+[α−β]\left[x-y\right]=m-n+\left[\alpha-\beta\right]，而 −1<α−β<1-1<\alpha-\beta<1，故 [α−β]⩽0\left[\alpha-\beta\right]\leqslant0，从而 [x−y]⩽m−n=[x]−[y]\left[x-y\right]\leqslant m-n=\left[x\right]-\left[y\right]，故选 D. \end{solution}
A.
[−x]=−[x]\left[-x\right]=-\left[x\right]
B.
[2x]=2[x]\left[2x\right]=2\left[x\right]
C.
[x+y]⩽[x]+[y]\left[x+y\right]\leqslant\left[x\right]+\left[y\right]
D.
[x−y]⩽[x]−[y]\left[x-y\right]\leqslant\left[x\right]-\left[y\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
11解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x216−y2m=1\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{m}=1 的离心率为 54\dfrac54，则 mm 等于______.
\begin{answer} 99 \end{answer}
\begin{solution} 双曲线的半实轴长满足 a2=16a^2=16，所以 a=4a=4. 由离心率公式 e=ca=54e=\dfrac ca=\dfrac54 得 c=5c=5. 又 c2=a2+b2=16+mc^2=a^2+b^2=16+m，所以 25=16+m25=16+m，即 m=9m=9，故填 99. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
12立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则其体积为______.
\begin{answer} π3\dfrac{\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是底面半径为 11 的半个圆锥，圆锥的高为 22. 因而其体积为 12×13π×12×2=π3\dfrac12\times\dfrac13\pi\times1^2\times2=\dfrac\pi3，故填 π3\dfrac\pi3. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
13解析几何★★☆☆☆
若点 (x,y)(x,y) 位于曲线 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 与 y=2y=2 所围成的封闭区域，则 2x−y2x-y 的最小值为______.
\begin{answer} −4-4 \end{answer}
\begin{solution} 封闭区域是由 y=∣x−1∣y=\left|x-1\right| 和 y=2y=2 围成的三角形，其三个顶点为 (−1,2)(-1,2)，(1,0)(1,0)，(3,2)(3,2). 线性函数 2x−y2x-y 在该三角形上的最小值出现在顶点处，分别为 −4-4，22，44，所以最小值为 −4-4，故填 −4-4. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
14数列★★☆☆☆
观察下列等式：12=11^2=1；12−22=−31^2-2^2=-3；12−22+32=61^2-2^2+3^2=6；12−22+32−42=−101^2-2^2+3^2-4^2=-10. 照此规律，第 nn 个等式可为______.
\begin{answer} 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2} \end{answer}
\begin{solution} 记左端前 nn 项的和为 Sn=∑k=1n(−1)k−1k2S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^2. 当 n=1n=1 时，S1=1=(−1)01⋅22S_1=1=(-1)^0\dfrac{1\cdot2}{2}. 假设 Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2}，则 Sn+1=Sn+(−1)n(n+1)2=(−1)n[−n(n+1)2+(n+1)2]=(−1)n(n+1)(n+2)2S_{n+1}=S_n+(-1)^n(n+1)^2=(-1)^n\left[-\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)^2\right]=(-1)^n\dfrac{(n+1)(n+2)}2. 由数学归纳法，Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2，故所填等式为 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
15不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，mm，nn 均为正数，且 a+b=1a+b=1，mn=2mn=2，则 (am+bn)(bm+an)(am+bn)(bm+an) 的最小值为______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 展开并配方得 (am+bn)(bm+an)=ab(m−n)2+mn(a+b)2=ab(m−n)2+2⩾2(am+bn)(bm+an)=ab(m-n)^2+mn(a+b)^2=ab(m-n)^2+2\geqslant2. 当 m=n=2m=n=\sqrt2 时满足 mn=2mn=2，且等号成立，所以最小值为 22，故填 22. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
16解析几何★★★☆☆
如图，弦 ABAB 与 CDCD 相交于 ⊙O\odot O 内一点 EE，过 EE 作 BCBC 的平行线与 ADAD 的延长线相交于点 PP. 已知 PD=2DA=2PD=2DA=2，则 PE=‾PE=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 6\sqrt6 \end{answer}
\begin{solution} 因为 PP，DD，AA 共线且 DD，AA 在 PP 的同一侧，所以 ∠EPD=∠EPA\angle EPD=\angle EPA. 又因 PE∥BCPE\parallel BC，EDED 与 CDCD 共线，EAEA 与 ABAB 共线，有 ∠PED=∠BCD\angle PED=\angle BCD，∠PAE=∠DAB\angle PAE=\angle DAB. 点 AA，BB，CC，DD 共圆，故 ∠BCD=∠DAB\angle BCD=\angle DAB，从而 ∠PED=∠PAE\angle PED=\angle PAE. 因此 △PED∼△PEA\triangle PED\sim\triangle PEA，对应边满足 PEPA=PDPE\dfrac{PE}{PA}=\dfrac{PD}{PE}，即 PE2=PA⋅PDPE^2=PA\cdot PD. 由 PD=2DA=2PD=2DA=2 得 DA=1DA=1，从而 PA=PD+DA=3PA=PD+DA=3. 所以 PE2=3×2=6PE^2=3\times2=6，又 PE>0PE>0，故 PE=6PE=\sqrt6. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
17解析几何★★★☆☆
如图，以过原点的直线的倾斜角 θ\theta 为参数，则圆 x2+y2−x=0x^2+y^2-x=0 的参数方程为______.
\begin{answer} x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta \end{answer}
\begin{solution} 过原点的直线斜率为 tan⁡θ\tan\theta，故非竖直时可写为 y=xtan⁡θy=x\tan\theta. 代入圆方程得 x2(1+tan⁡2θ)−x=0x^2(1+\tan^2\theta)-x=0，除去原点对应的交点后，另一个交点满足 x=11+tan⁡2θ=cos⁡2θx=\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta. 于是 y=xtan⁡θ=cos⁡2θtan⁡θ=sin⁡θcos⁡θy=x\tan\theta=\cos^2\theta\tan\theta=\sin\theta\cos\theta. 当 cos⁡θ=0\cos\theta=0 时，上式给出原点，也满足圆方程，因此参数方程为 x=cos⁡2θx=\cos^2\theta，y=sin⁡θcos⁡θy=\sin\theta\cos\theta. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 填空题

查看答案和解析
18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,−12)\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\dfrac12\right)，b=(3sin⁡x,cos⁡2x)\boldsymbol{b}=\left(\sqrt3\sin x,\cos2x\right)，x∈Rx\in\mathbf{R}，设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 推导 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和公式； (2) 设 q≠1q\neq1，证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 不是等比数列.

2013 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面 ABCDABCD 是正方形，OO 为底面中心，A1O⊥A_{1}O\perp 平面 ABCDABCD，AB=AA1=2AB=AA_{1}=\sqrt2.
(1) 证明：A1C⊥A_{1}C\perp 平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D. (2) 求平面 OCB1OCB_{1} 与平面 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 的夹角 θ\theta 的大小.

2013 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21概率与统计★★★☆☆
在一场娱乐晚会上，有 55 位民间歌手（11 至 55 号）登台演唱. 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 33 名歌手，其中观众甲是 11 号歌手的歌迷，他必选 11 号，不选 22 号，另在 33 至 55 号中随机选 22 名. 观众乙和丙对 55 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 11 至 55 号中随机选 33 名歌手.
(1) 求观众甲选中 33 号歌手且观众乙未选中 33 号歌手的概率； (2) XX 表示 33 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 A(4,0)A(4,0)，且在 yy 轴上截得的弦 MNMN 的长为 88.
(1) 求动圆圆心的轨迹 CC 的方程； (2) 已知点 B(−1,0)B(-1,0)，设不垂直于 xx 轴的直线 ll 与轨迹 CC 交于不同的两点 PP，QQ，若 xx 轴是 ∠PBQ\angle PBQ 的角平分线，证明直线 ll 过定点.

2013 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
23导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 若直线 y=kx+1y=kx+1 与 f(x)f(x) 的反函数的图象相切，求实数 kk 的值； (2) 设 x>0x>0，讨论曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=mx2y=mx^2（m>0m>0）公共点的个数； (3) 设 a<ba<b，比较 f(a)+f(b)2\dfrac{f(a)+f(b)}{2} 与 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析