数迹
题目列表试卷列表
共找到 16 题
排序：
组题
本页 16 题去组卷
03复数★★☆☆☆
复数 3−i\sqrt{3}-\mathrm{i} 的三角形式是______. \begin{answer} 2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right) \end{answer}
\begin{solution} 复数 z=3−iz=\sqrt3-\mathrm{i} 的模为 ∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2. 它的实部为正、虚部为负，辐角在第四象限，且 cos⁡θ=32\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}、sin⁡θ=−12\sin\theta=-\frac12，故可取 θ=11π6\theta=\frac{11\pi}{6}. 所以 z=2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)z=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)，与答案一致. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 填空题

查看答案和解析
04函数与初等函数★★☆☆☆
如果 f(1x)=x1−x2f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1-x^{2}}，则 f(x)=f(x)=______. \begin{answer} xx2−1\frac{x}{x^{2}-1} \end{answer}
\begin{solution} 令 t=1xt=\frac1x，则 x=1tx=\frac1t. 在原式有意义的范围内， f(t)=1t1−1t2=1t(t2−1)t2=tt2−1f(t)=\dfrac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t^{2}}}=\dfrac{\frac{1}{t}}{\frac{(t^{2}-1)}{t^{2}}}=\dfrac{t}{t^{2}-1}. 将字母 tt 改写为 xx，得 f(x)=xx2−1f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}. 这里原条件要求代换时 x≠0x\ne0，±1\pm1，所得函数式在相应定义范围内成立. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 填空题

查看答案和解析
05立体几何初步★★☆☆☆
如果一个圆锥底面的半径增大到原来的 3 倍，但要保持它的体积不变，则其高必须缩小到原来的______. \begin{answer} 19\frac{1}{9} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥原来的底面半径和高分别为 rr、hh，则体积为 V=13πr2hV=\frac13\pi r^{2}h. 半径变为 3r3r 后，若高为 h′h'，由体积不变得 13π(3r)2h′=13πr2h\frac13\pi(3r)^{2}h'=\frac13\pi r^{2}h，所以 9h′=h9h'=h，即 h′=19hh'=\frac19h. 因此填 19\frac19. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 填空题

查看答案和解析
07数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2)}{n(n + 1)} 的值等于______. \begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分子是首项为 11、公差为 33、项数为 nn 的等差数列之和，因此 1+4+7+⋯+(3n−2)=n[1+(3n−2)]2=n(3n−1)21+4+7+\cdots+(3n-2)=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}. 所以 lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)=lim⁡n→∞3n−12(n+1)=32\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\cdots+(3n-2)}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2(n+1)}=\frac32. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 填空题

查看答案和解析
09解析几何★★☆☆☆
双曲线 x23−y2=1\frac{x^2}{3} - y^2 = 1 的两条渐近线所夹的锐角的大小是______ 弧度. \begin{answer} π3\frac{\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 双曲线可写为 x2(3)2−y212=1\frac{x^{2}}{(\sqrt3)^{2}}-\frac{y^{2}}{1^{2}}=1，所以两条渐近线为 y=x3y=\frac{x}{\sqrt3} 和 y=−x3y=-\frac{x}{\sqrt3}. 设它们的锐角为 θ\theta，则 tan⁡θ=∣13−(−13)1−13∣=3\tan\theta=\left|\dfrac{\frac1{\sqrt3}-(-\frac1{\sqrt3})}{1-\frac13}\right|=\sqrt3. 因为 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2，故 θ=π3\theta=\frac\pi3. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
10三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡2(2x)y = \sin^{2}(2x) 的最小正周期是______. \begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由恒等式 sin⁡2(2x)=1−cos⁡4x2\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos4x}{2}，函数的周期由 cos⁡4x\cos4x 决定. 其最小正周期 TT 满足 4T=2π4T=2\pi，所以 T=π2T=\frac\pi2. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
13解析几何★★☆☆☆
以 A(1,3)A(1, 3)，B(−5,1)B(-5, 1) 为端点的线段的垂直平分线的方程是（ ）
\begin{answer} E \end{answer}
\begin{solution} 线段 ABAB 的中点为 M(−2,2)M\left(-2,2\right)，斜率为 1−3−5−1=13\dfrac{1-3}{-5-1}=\frac13. 垂直平分线的斜率为 −3-3，所以其方程为 y−2=−3(x+2)y-2=-3(x+2)，即 3x+y+4=03x+y+4=0. 因此选 E. \end{solution}
A.
3x−y+8=03x - y + 8 = 0
B.
3x+y+8=03x + y + 8 = 0
C.
2x−y−6=02x - y - 6 = 0
D.
2x+y+2=02x + y + 2 = 0
E.
3x+y+4=03x + y + 4 = 0

1985 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 选择题

查看答案和解析
14三角函数★★☆☆☆
下列不等式中，成立的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 sin⁡7π8=sin⁡π8\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\frac\pi8，而 3π8>π8\frac{3\pi}{8}>\frac\pi8 且正弦函数在 (0,π2)\left(0,\frac\pi2\right) 上递增，所以 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，第一项错. cos⁡3π8>0>cos⁡7π8\cos\frac{3\pi}{8}>0>\cos\frac{7\pi}{8}，所以第二项错. 两个正弦值均为正，且 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，取倒数后不等号反向，得到 csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc\frac{3\pi}{8}<\csc\frac{7\pi}{8}，第三项对. 又 cot⁡3π8>0>cot⁡7π8\cot\frac{3\pi}{8}>0>\cot\frac{7\pi}{8}，第四项错；tan⁡3π8>0>tan⁡7π8\tan\frac{3\pi}{8}>0>\tan\frac{7\pi}{8}，第五项错. 故选第三项. \end{solution}
A.
sin⁡3π8<sin⁡7π8\sin \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{7\pi}{8}
B.
cos⁡3π8<cos⁡7π8\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{7\pi}{8}
C.
csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc \frac{3\pi}{8} < \csc \frac{7\pi}{8}
D.
cot⁡3π8<cot⁡7π8\cot \frac{3\pi}{8} < \cot \frac{7\pi}{8}
E.
tan⁡3π8<tan⁡7π8\tan \frac{3\pi}{8} < \tan \frac{7\pi}{8}

1985 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 选择题

查看答案和解析
16三角函数★★☆☆☆
已知 180∘<α<270∘180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}，且 sin⁡(270∘+α)=45\sin (270^{\circ} + \alpha) = \frac{4}{5}，则 tan⁡α2=\tan \frac{\alpha}{2} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡(270∘+α)=−cos⁡α\sin(270^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha，题设给出 cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45. 因为 180∘<α<270∘180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}，故 sin⁡α=−35\sin\alpha=-\frac35. 半角公式给出 tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=−351−45=−3\tan\frac\alpha2=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{1-\frac{4}{5}}=-3. 因此选第四项. \end{solution}
A.
3
B.
2
C.
−2-2
D.
−3-3
E.
−13-\frac{1}{3}

1985 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
18集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 R={实数}R = \{\text{实数}\}，M={纯虚数}M = \{\text{纯虚数}\}，C={复数}C = \{\text{复数}\}，其中 CC 是全集，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在全集 CC 中，R‾\overline R 是实数集 RR 的补集，因此任意复数必属于 RR 或 R‾\overline R，且不可能同时属于二者，从而 R∪R‾=CR\cup\overline R=C，第一项正确. 对第二项，M‾∪R\overline M\cup R 不包含非零纯虚数；对第三项，M∪RM\cup R 不包含实部、虚部均非零的复数；对第四项，按本题“纯虚数”的定义，M∩R=∅≠{0}M\cap R=\varnothing\ne\{0\}；对第五项，C∩R‾=R‾C\cap\overline R=\overline R 是非实数复数集，不等于纯虚数集 MM. 因此只有第一项正确，故选第一项. \end{solution}
A.
R∪R‾=CR \cup \overline{R} = C
B.
M‾∪R=C\overline{M} \cup R = C
C.
M∪R=CM \cup R = C
D.
M∩R={0}M \cap R = \{0\}
E.
C∩R‾=MC \cap \overline{R} = M

1985 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
19复数★★☆☆☆
设向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 对应于复数 −23+4i-2\sqrt{3} + 4\mathrm{i}. 把 OZ→\overrightarrow{OZ} 按顺时针方向旋转 60∘60^\circ 得到 OZ1→\overrightarrow{OZ_1}，则与向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_1} 对应的复数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 顺时针旋转 60∘60^{\circ} 等价于乘以复数 cos⁡(−60∘)+isin⁡(−60∘)=12−32i\cos(-60^{\circ})+\mathrm{i}\sin(-60^{\circ})=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}. 因而旋转后的复数为 (−23+4i)(12−32i)=−3+3i+2i+23=3+5i(-2\sqrt3+4\mathrm{i})\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)=-\sqrt3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+2\sqrt3=\sqrt3+5\mathrm{i}. 所以选第二项. \end{solution}
A.
−33−i-3\sqrt{3} - \mathrm{i}
B.
3+5i\sqrt{3} + 5\mathrm{i}
C.
−23−4i-2\sqrt{3} - 4\mathrm{i}
D.
23+4i2\sqrt{3} + 4\mathrm{i}
E.
1+33i1 + 3\sqrt{3}\mathrm{i}

1985 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 选择题

查看答案和解析
20计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班上午要上语文，数学，体育，外语四门课，其中体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 体育课只能安排在第二节或第三节，有 22 种选择. 确定体育课的位置后，语文、数学、外语在其余三节中任意排列，有 3!=63!=6 种. 因此排课方案数为 2×3!=122\times3!=12，选 B. \end{solution}
A.
10
B.
12
C.
20
D.
22
E.
24

1985 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 选择题

查看答案和解析
21计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)6\left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的展开式中常数项是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 展开通项中，若取 kk 个 xx，取 6−k6-k 个 x−12x^{-\frac{1}{2}}，则该项的幂次为 k−6−k2=3k−62k-\frac{6-k}{2}=\frac{3k-6}{2}. 常数项要求幂次为零，所以 k=2k=2. 其系数为 C62=15\mathrm C_6^2=15，故选第三项. \end{solution}
A.
1
B.
6
C.
15
D.
20
E.
30

1985 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 选择题

查看答案和解析
22不等式★★☆☆☆
不等式 ∣2x−3∣>3|2x-3|>3 的解集是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 绝对值不等式等价于 2x−3>32x-3>3 或 2x−3<−32x-3<-3. 分别解得 x>3x>3 或 x<0x<0，所以解集为 {x∣x>3或x<0}\{x\mid x>3\text{或}x<0\}，选 D. \end{solution}
A.
{x∣x>3}\{x\mid x>3\}
B.
{x∣x<0}\{x\mid x<0\}
C.
{x∣x>3且x<0}\{x\mid x>3 \text{且} x<0\}
D.
{x∣x>3或x<0}\{x\mid x>3\text{或}x<0\}
E.
{x∣0<x<3}\{x\mid 0<x<3\}

1985 · 广东 · 文 · 第 22 题 · 选择题

查看答案和解析
24解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的焦点是 (1,0)(1, 0) 和 (−3,0)(-3, 0)，且短半轴长为 3，则椭圆的方程是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 两焦点的中点是椭圆中心 (−1,0)(-1,0)，半焦距为 c=2c=2. 短半轴长为 b=3b=3，故长半轴满足 a2=b2+c2=9+4=13a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+4=13. 长轴在 xx 轴上，所以椭圆方程为 (x+1)213+y29=1\dfrac{(x+1)^{2}}{13}+\dfrac{y^{2}}9=1，选 A. \end{solution}
A.
(x+1)213+y29=1\frac{(x + 1)^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
B.
x213+y29=1\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
C.
(x−1)213+y29=1\frac{(x - 1)^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1
D.
(x+1)29+y213=1\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{y^2}{13} = 1
E.
x213+(y−1)29=1\frac{x^2}{13} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1

1985 · 广东 · 文 · 第 24 题 · 选择题

查看答案和解析
25立体几何初步★★☆☆☆
在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 两条相交直线可以确定一个平面，但第一、第二、第五项都没有排除直线共点、平行或异面等情形，第三项的三个点也可能共线，均不能保证唯一确定平面. 若三条直线两两相交但不共点，任取其中两条直线确定一个平面；第三条直线分别与这两条直线相交于两个不同的点，因此第三条直线也在该平面内. 所以三条直线共面并确定一个平面，故选第四项. \end{solution}
A.
两两相交的三条直线
B.
三条直线，其中的一条直线与另外两条直线分别相交
C.
三个点
D.
三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
E.
两条直线

1985 · 广东 · 文 · 第 25 题 · 选择题

查看答案和解析